最近我们被客户要求撰写关于2SLS的研究报告。
我们要估计的模型是
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其中
是解释变量,
和
是我们想要估计的系数。 x是控制变量，d是治疗变量。我们对我们治疗d对y的影响特别感兴趣。
生成数据
工具变量法(IV)与两阶段最小二乘法
工具变量法(IV)：
是为了解决一个违反经典假设问题而设计的，假设条件是：解释变量与随机扰动项不相关。如果出现了违反该假设的问题，就需要找一个和解释变量高度相关的、同时和随机扰动项不相关的变量。要注意的问题是，工具变量的设定除了上述两个条件以外，工具变量的个数至少要大于或者等于解释变量的个数，常数项是默认的工具变量，和随机扰动项不相关的解释变量也可以作为工具变量。
两阶段最小二乘法：
其本质上是属于工具变量法，回归分两个阶段进行，因此而得名。第一阶段，解释变量对工具变量进行回归，得到解释变量的拟合值（估计值）；第二阶段，得到的解释变量拟合值对被解释变量进行回归，即为TSLS(2SLS)的回归结果。
首先，让我们生成数据。
假设x，d，z（d的工具变量）和e之间的相关矩阵如下：
## x d z e
## x 1.000 0.001 0.002 0.001
## d 0.001 1.000 0.700 0.300
## z 0.002 0.700 1.000 0.001
## e 0.001 0.300 0.001 1.000具体而言，相关性表明
- cor（d，e）= 0.3，这意味着d是内生的;
- cor（d，z）= 0.7，这意味着z是d的强大工具变量;
- cor（z，e）= 0.001，这意味着工具变量z满足排除限制，因为它只通过d影响y。
现在，让我们用指定的相关性为x、d、z和e生成数据。
nvars = dim(U) 1
numobs = 1000
random.normal = matrix(rnorm(nvars*numobs, 0 , nrow=nvars, ncol=numobs);
X = U %*% random.normal
newX = t(X)
data = as.data.frame(newX)
数据看起来像这样：
## x d z e
## 1 -0.62645381 0.1830168 -0.4694601 1.7474361
## 2 0.32950777 -0.8201385 -0.2255741 0.2818908
## 3 0.57578135 -0.3048125 0.8670061 -0.1795257
## 4 -0.62124058 -2.2153200 -0.7481687 -1.0350488
## 5 -0.01619026 0.9438195 1.2471197 0.5820200
## 6 0.91897737 0.7830549 0.6025820 -1.5924689以及数据之间的相关性
## x d z e
## x 1.00000000 0.00668391 -0.012319595 0.016239235
## d 0.00668391 1.00000000 0.680741763 0.312192680
## z -0.01231960 0.68074176 1.000000000 0.006322354
## e 0.01623923 0.31219268 0.006322354 1.000000000
正如我们前面所指出的那样。
现在让我们指定真实的数据生成过程并生成已解释变量y
如果我们假装不知道真正的关系，用x和d来解释y，我们对x和d的正确系数应该接近1。否则，我们的结果就错误了。
OLS
如果我们只使用OLS来估计系数：
##
## Call:
## lm(formula = y ~ x + d)
##
## Residuals:
## Min 1Q Median 3Q Max
## -3.2395 -0.5952 -0.0308 0.6617 2.7592
##
## Coefficients:
## Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)
## (Intercept) 9.99495 0.03105 321.89 <2e-16 ***
## x 1.01408 0.02992 33.89 <2e-16 ***
## d 1.31356 0.03023 43.46 <2e-16 ***
## ---
## Signif. codes: 0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
##
## Residual standard error: 0.9817 on 997 degrees of freedom
## Multiple R-squared: 0.7541, Adjusted R-squared: 0.7536
## F-statistic: 1528 on 2 and 997 DF, p-value: < 2.2e-16b的估计系数为1.31，而不是1。
2SLS
现在我们使用2SLS来估计关系。我们用z作为d的工具变量
第1阶段：回归x和z上的d，并将d的拟合值保存为d
##
## Call:
## lm(formula = d ~ x + z)
##
## Residuals:
## Min 1Q Median 3Q Max
## -2.59344 -0.52572 0.04978 0.53115 2.01555
##
## Coefficients:
## Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)
## (Intercept) -0.01048 0.02383 -0.44 0.660
## x 0.01492 0.02296 0.65 0.516
## z 0.68594 0.02337 29.36 <2e-16 ***
## ---
## Signif. codes: 0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
##
## Residual standard error: 0.7534 on 997 degrees of freedom
## Multiple R-squared: 0.4636, Adjusted R-squared: 0.4626
## F-statistic: 430.9 on 2 and 997 DF, p-value: < 2.2e-16第2阶段：在x和d.hat上回归y
##
## Call:
## lm(formula = y ~ x + d.hat)
##
## Residuals:
## Min 1Q Median 3Q Max
## -4.4531 -1.0333 0.0228 1.0657 4.0104
##
## Coefficients:
## Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)
## (Intercept) 9.99507 0.04786 208.85 <2e-16 ***
## x 1.01609 0.04612 22.03 <2e-16 ***
## d.hat 1.00963 0.06842 14.76 <2e-16 ***
## ---
## Signif. codes: 0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
##
## Residual standard error: 1.513 on 997 degrees of freedom
## Multiple R-squared: 0.4158, Adjusted R-squared: 0.4146
## F-statistic: 354.8 on 2 and 997 DF, p-value: < 2.2e-16结果
b的真值：1 ，b的OLS估计值：.00963 ，2SLS b的估计值：1.31356
如果治疗变量be是内生的，我们应该为治疗变量找到一个工具变量），并使用2SLS。
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