在此，简单介绍copula的基本知识，以二元copula为例。

定义1.1 ：若二元函数  C(u,v) $C\left(u,v\right)$ 满足

1) C的定义域：  U=(u,v)∈[0,1]2 $\text{U}=\left(u,v\right)\in {\left[0,1\right]}^2$ ；

2)  C(u,v) $C\left(u,v\right)$ 有零基面且是二维递增的；

3) 对于U中的任意两点  u,v $u,v$ ，有  C(u,0)=0=C(0,v),C(u,1)=u,C(1,v)=v $C\left(u,0\right)=0=C\left(0,v\right),C\left(u,1\right)=u,C\left(1,v\right)=v$

4) 对于U中的任意四个点  u1,u2,v1,v2 $u_1,u_2,v_1,v_2$ ，如果  u1≤u2,v1≤v2 $u_1\le u_2,v_1\le v_2$ ，则

C(u2,u2)−C(u2,v1)−C(u1,v2)=C(u1,v1)≥0 $C\left(u_2,u_2\right)-C\left(u_2,v_1\right)-C\left(u_1,v_2\right)=C\left(u_1,v_1\right)\ge 0$

则称函数  C(u,v) $C\left(u,v\right)$ 为Copula函数。

定理1.1：(Sklar定理)设二维随机变量  (X1,X2) $\left(X_1,X_2\right)$ 的联合分布为  F(x1,x2) $F\left(x_1,x_2\right)$ ，边缘分布分别为  F1(x1) $F_1\left(x_1\right)$ 、  F2(x2) $F_2\left(x_2\right)$ ，则对  ∀(x1,x2)∈R2 $\forall \left(x_1,x_2\right)\in R^2$ ，存在一个Copula函数C，使得

F(x1,x2)=C(F1(x1),F(x2)) $F\left(x_1,x_2\right)=C\left(F_1\left(x_1\right),F\left(x_2\right)\right)$(1)

若  F1(x1) $F_1\left(x_1\right)$ 、  F2(x2) $F_2\left(x_2\right)$ 都是连续的，那么C是唯一存在的；反之，若  F1(x1) $F_1\left(x_1\right)$ 、  F2(x2) $F_2\left(x_2\right)$ 是一元分布函数，  C(u1,u2) $C\left(u_1,u_2\right)$ 为对应的Copula函数，那么(1)式定义的  F(x1,x2) $F\left(x_1,x_2\right)$ 函数是一个多元联合分布函数，边缘分布为  F1(x1) $F_1\left(x_1\right)$ 、  F2(x2) $F_2\left(x_2\right)$ 。这个定理描述了Copula函数和边缘分布函数的关系，指出可以通过一个Copula连接函数将一个多维联合概率分布函数同其对应的一维边缘概率分布函数结合起来。

Aas和Czado (2009) 在文章中详细介绍了Pair-Copula的相关理论，认为多元变量联合密度函数按照某种结构可分解为一系列Pair-Copula密度函数和边缘分布函数的乘积。对于n维随机变量向量  X=(x1,x2,⋯,xn) $X=\left(x_1,x_2,\cdots ,x_n\right)$ ，根据条件密度函数性质，X的联合密度函数可表示为

f(x1,x2,⋯,xn)=fn(xn)⋅f(xn−1|xn)⋅f(xn−2|xn−1,xn)⋅⋯⋅f(x1|x2,⋯,xn) $f\left(x_1,x_2,\cdots ,x_n\right)=f_n\left(x_n\right)\cdot f\left(x_{n-1}|x_n\right)\cdot f\left(x_{n-2}|x_{n-1},x_n\right)\cdot \cdots \cdot f\left(x_1|x_2,\cdots ,x_n\right)$(2)

根据定理1.1，多元变量联合分布函数的密度函数可表示为

f(x1,x2,⋯,xn)=c12⋯n(F1(x1),F2(x2),⋯,Fn(xn))⋅f1(x1)⋅⋯⋅fn(xn) $f\left(x_1,x_2,\cdots ,x_n\right)=c_{12\cdots n}(F_1\left(x_1\right),F_2\left(x_2\right),\cdots ,F_n\left(x_n\right))\cdot f_1\left(x_1\right)\cdot \cdots \cdot f_n\left(x_n\right)$(3)

其中，  c12⋯n $c_{12\cdots n}$ 为n维Copula密度函数，  fi(xi) $f_i\left(x_i\right)$ 为边缘密度函数。

进而推导可得，任一条件密度函数可分解为二元Copula与条件密度函数，表达式为：

f(x|v)=cxvj|v−j(F(x|v−j),F(vj|v−j))⋅f(x|v−j) $f\left(x|v\right)=c_{x{v}_j|v_{-j}}\left(F\left(x|v_{-j}\right),F\left(v_j|v_{-j}\right)\right)\cdot f\left(x|v_{-j}\right)$(4)

其中，  vj $v_j$ 为n维向量v中的任一分量，  v−j $v_{-j}$ 为v除去  vj $v_j$ 的  n−1 $n-1$ 维分量，  F(x|v) $F\left(x|v\right)$ 为条件边际分布函数。对于任意的j，  cxvj|v−j(⋅|⋅) $c_{x{v}_j|v_{-j}}\left(\cdot |\cdot \right)$ 是二元Pair-Copula密度函数，有

f(x|v)=∂Cxvj∣∣v−j(F(x|v−j),F(vj|v−j))∂F(vj|v−j) $f\left(x|v\right)=\frac{\partial C_{x{v}_j|v_{-j}}\left(F\left(x|v_{-j}\right),F\left(v_j|v_{-j}\right)\right)}{\partial F\left(v_j|v_{-j}\right)}$(5)