Metropolis Hastings 算法是一种非常简单的算法，用于从难以采样的分布中生成样本。
假设我们要从分布 π 中进行采样，我们将其称为“目标”分布。为简单起见，我们假设 π是实线上的一维分布，尽管它很容易扩展到一维以上（见下文）。
MH 算法通过模拟马尔可夫链来工作，其平稳分布为 π。这意味着，从长远来看，来自马尔可夫链的样本看起来像来自 π的样本。
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正如我们将看到的，该算法非常简单和灵活。
其实我们在训练模型的过程，都会经常进行数据采样，为了就是让我们的模型可以更好的去学习数据的特征，从而让效果更佳。但这是比较浅层的理解，更本质上，数据采样就是对随机现象的模拟，根据给定的概率分布从而模拟一个随机事件。另一说法就是用少量的样本点去近似一个总体分布，并刻画总体分布中的不确定性。
因为我们在现实生活中，大多数数据都是庞大的，所以总体分布可能就包含了无数多的样本点，模型是无法对这些海量的数据进行直接建模的（至少目前而言），而且从效率上也不推荐。
因此，我们一般会从总体样本中抽取出一个子集来近似总体分布，这个子集被称为“训练集”，然后模型训练的目的就是最小化训练集上的损失函数，训练完成后，需要另一个数据集来评估模型，也被称为“测试集”。
采样的一些高级用法，比如对样本进行多次重采样，来估计统计量的偏差与方法，也可以对目标信息保留不变的情况下，不断改变样本的分布来适应模型训练与学习（经典的应用如解决样本不均衡的问题）。
MH算法
转移核
要实现 MH 算法，用户必须提供一个“转移核”QQ。
转移核只是一种在 给定当前位置（例如 xx）的情况下随机移动到空间中新位置（例如 y）的方式。也就是说，Q 是给定 x 在 y 上的分布，我们将其写成 Q(y|x)。在许多应用中，Q将是一个连续分布，在这种情况下 Q(y|x) 将是 y 上的密度，因此∫Q(y|x)dy=1（对于所有 x）。
例如，从当前位置 x 生成新位置 y 的一种非常简单的方法是向 x添加一个 N(0,1) 随机数。即设置y=x+N(0,1)，或者转移y|x∼N(x,1)。所以
这种在当前位置x加上一些随机数得到y的核，在实际中经常使用，被称为“随机游走”核。
MH算法
使用转移核 Q 从目标分布 π 中采样的 MH 算法包括以下步骤：
- 初始化，X1=x1 。
- 对于 t=1,2，…
- 从 Q(y|xt)中采样 y。将 y 视为 xt+1 的“建议”值。
- 计算
- AA通常被称为“接受概率”。
- 以概率 A“接受”提议的值，并设置 xt+1=y。否则设置 xt+1=xt。
- Metropolis 算法请注意，上面给出的示例随机游走建议 Q 对于所有 x,y 满足 Q(y|x)=Q(x|y) 任何满足这一点的建议都称为“对称”。当 Q 是对称时，MH 算法中 A 的公式 简化为：
该算法的这种特殊情况，具有 Q 对称，首先由 Metropolis 等人在 1953 年提出，因此它有时被称为“Metropolis 算法”。
示例
为了帮助理解 MH 算法，我们现在做一个简单的例子：我们实现算法以从指数分布中采样：
当然，以其他方式从指数分布中采样会容易得多；我们只是用它来说明算法。
请记住，π 被称为“目标”分布，因此我们调用函数来计算 π target：
现在我们实现 MH 算法，使用上面提到的简单正态随机游走转移核 Q。
这是代码：
x = rep(0,10000)
x\[1\] = 3 #初始化；我任意地将其设置为3
for(i in 2:10000){
if(){
x\[i\] = proposed_x # 以最小(1,A)的概率接受移动。
} else {
x\[i\] = current_x # 否则就 "拒绝 "移动，并留在原地。
}
}
运行此代码后，我们可以绘制马尔可夫链 x 访问的位置（有时称为轨迹图）。
请记住，我们设计此算法是为了从指数分布中采样。这意味着（只要我们运行算法足够长的时间！）x 的直方图应该看起来像一个指数分布。在这里我们检查一下：
hist(x) lines
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x 中的值的直方图确实提供了与指数分布的紧密拟合。
结束语
MH 算法的一个特别有用的特性是，即使 只知道π 是一个常数，它也可以实现：也就是说，对于一些已知的 f，π(x)=cf(x) , 但未知常数 c。这是因为该算法仅通过比率
依赖于π 。
这个问题出现在贝叶斯应用中，其中后验分布与先验概率成正比，但比例常数通常是未知的。因此，MH 算法对于从后验分布进行采样以执行难以解析的贝叶斯计算特别有用。
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关于作者
Kaizong Ye是拓端研究室（TRL）的研究员。Kaizong Ye是拓端研究室（TRL）的研究员。在此对他对本文所作的贡献表示诚挚感谢，他在上海财经大学完成了统计学专业的硕士学位，专注人工智能领域。擅长Python.Matlab仿真、视觉处理、神经网络、数据分析。
本文借鉴了作者最近为《R语言数据分析挖掘必知必会 》课堂做的准备。
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