最近我们被客户要求撰写关于Copula 的研究报告。copula是将多变量分布函数与其边缘分布函数耦合的函数，通常称为边缘。
Copula是建模和模拟相关随机变量的绝佳工具。Copula的主要吸引力在于，通过使用它们，你可以分别对相关结构和边缘（即每个随机变量的分布）进行建模。
copulas如何工作
首先，让我们了解copula的工作方式。
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set.seed（100）
m < - 3
n < - 2000
z < - mvrnorm（n，mu = rep（0，m），Sigma = sigma，empirical = T）
假定我们的组合中有两个可违约的资产a，b，我们想对其违约时间进行模拟。我们假定风险资产a和b的违约时间服从Gamma和Beta分布：
如果我们分别对 或者
进行模拟很简单，分别从各自的分布抽样就可以了。但事实上，两种资产之间违约与否很可能存在相关性。分别抽样他们两个之间肯定是不相关的。与此同时，求Gamma和Beta分布的联合密度函数也是非常难求的。
因此我们就引入Coplua函数来假定这两个分布之间的联系。比如高斯Copula。
当然这种关系都是你假定的，并不一定是真的。比如，你也可以用阿基米德Copula来刻画。2008年次贷危机也是因为业界都是只用单纯的高斯Copula来刻画联系低估了风险造成的。
当我们假定了他们之间的联系之后，我们就可以模拟两种风险资产存在相关性的违约时间了。
具体方法为：
1）先从一个二维高斯分布产生随机产生(x1 , x2)两个变量，x1，x2是存在相关性的。相关性通过设定二维正态分布的协方差矩阵来确定。
2）根据多维正态分布的性质，x1, x2的边缘分布都是一维正态分布。将生成的x1, x2带入一维正态分布得到对应的概率u1, u2。需要注意的是u1, u2此时也是存在关系的。
3）根据风险资产a、b违约时间各自的CDF逆函数就可以产生相关联的违约时间了：
我们使用cor()和散点图矩阵检查样本相关性。
pairs.panels（Z）
[，1] [，2] [，3]
[1，] 1.0000000 0.3812244 0.1937548
[2，] 0.3812244 1.0000000 -0.7890814
[3，] 0.1937548 -0.7890814 1.0000000
pairs.panels（U）
这是包含新随机变量的散点图矩阵u。
我们可以绘制矢量的3D图表示u。
现在，作为最后一步，我们只需要选择边缘并应用它。我选择了边缘为Gamma，Beta和Student，并使用下面指定的参数。
x1 < - qgamma（u [，1]，shape = 2，scale = 1）
x2 < - qbeta（u [，2]，2,2）
x3 < - qt（u [，3]，df = 5）
下面是我们模拟数据的3D图。
df < - cbind（x1，x2，x3）
pairs.panels（DF）
x1 x2 x3
x1 1.0000000 0.3812244 0.1937548
x2 0.3812244 1.0000000 -0.7890814
x3 0.1937548 -0.7890814 1.0000000
这是随机变量的散点图矩阵：
使用copula
让我们使用copula复制上面的过程。
现在我们已经通过copula（普通copula）指定了相依结构并设置了边缘，mvdc()函数生成了所需的分布。然后我们可以使用rmvdc()函数生成随机样本。
set.seed（100）
myCop < - （param = c（0.4,0.2，-0.8），dim = 3，dispstr =“un”）
myMvd < - （copula = myCop，margin = c（“gamma”，“beta”，“t”）
）
现在我们已经通过copula（普通copula）指定了相依结构并设置了边缘，mvdc()函数生成了所需的分布。然后我们可以使用该rmvdc()函数生成随机样本。
colnames（Z2）< - c（“x1”，“x2”，“x3”）
pairs.panels（Z2）
模拟数据当然非常接近之前的数据，显示在下面的散点图矩阵中：
应用示例
现在为现实世界的例子。我们将拟合两个股票 ，并尝试使用copula模拟 。
让我们在R中加载 ：
cree < - read.csv（'cree_r.csv'，header = F）$ V2
yahoo < - read.csv（'yahoo_r.csv'，header = F）$ V2
在直接进入copula拟合过程之前，让我们检查两个股票收益之间的相关性并绘制回归线：
我们可以看到 正相关 ：
在上面的第一个例子中，我选择了一个正态的copula模型，但是，当将这些模型应用于实际数据时，应该仔细考虑哪些更适合数据。例如，许多copula更适合建模非对称相关，其他强调尾部相关性等等。我对股票回报的猜测是，t-copula应该没问题，但是猜测肯定是不够的。本质上， 允许我们通过函数使用BIC和AIC执行copula选择 ：
pobs（as.matrix（cbind（cree，yahoo）））[，1]
selectedCopula
$ PAR
[1] 0.4356302
$ PAR2
[1] 3.844534
拟合算法确实选择了t-copula并为我们估计了参数。
让我们尝试拟合建议的模型，并检查参数拟合。
t.cop
set.seed（500）
m < - pobs（as.matrix（cbind（cree，yahoo）））
COEF（FIT）
rho.1 df
0.43563 3.84453
我们来看看我们刚估计的copula的密度
rho < - coef（fit）[1]
df < - coef（fit）[2]
现在我们只需要建立Copula并从中抽取3965个随机样本。
rCopula（3965，tCopula（ = 2， ，df = df））
[，1] [，2]
[1，] 1.0000000 0.3972454
[2，] 0.3972454 1.0000000
这是包含的样本的图：
t-copula通常适用于在极值（分布的尾部）中存在高度相关性的现象。
现在我们面临困难：对边缘进行建模。为简单起见，我们将假设正态分布 。因此，我们估计边缘的参数。
两个直方图显示如下
现在我们在函数中应用copula，从生成的多变量分布中获取模拟观测值。最后，我们将模拟结果与原始数据进行比较。
这是在假设正态分布边缘和相依结构的t-copula的情况下数据的最终散点图：
正如您所看到的，t-copula导致结果接近实际观察结果 。
让我们尝试df=1和df=8：
显然，该参数df对于确定分布的形状非常重要。随着df增加，t-copula倾向于高斯copula。
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