要真正理解一般正规算子的谱分解是困难的，你几乎是绕不开“算子代数”的，我现在说一下思路：

1:有界的正规算子

设 是希尔伯特空间上的有界线性算子，它可以生成一个交换的 算子代数 ，而且它的极大理想可以和 构成的对应，因此我们可以有一个从 到 的Gelfand map ，而且这个映射是 代数同构的，也就是说，反过来，我们随便给一个连续函数 ，那么 是一个有界线性算子，特别的，我们可以有 , , 假设 ，也就是说谱刚刚好是有限个点谱, 如果是一个矩阵，那么它的谱肯定是点谱。那么如果这个时候我们考虑函数 ，也就是每一个点上的示性函数，在这个离散的情况下，这个函数是连续函数，所以我们可以构造 ,不难证明 是正交投影算子，而且

.

发现核心问题了吗？对于一般的 ,示性函数不是连续函数，也就是说Gelfand map没用了，可是投影算子是对应示性函数的，事实上 设 是投影算子，那么 ,如果它对应一个 的函数 ，那么 ,所以在每个点这个函数只能是0或者1.

为了处理一般的算子，我们需要引入 -算子代数 ，本质上是 在一个弱拓扑 下的闭包，

最大的优点是可以让 可以覆盖示性函数从而得到

（这里也从离散和变为一般的积分）

“一般的对称算子“

首先根据上面的结论，对于任何unitary算子 ,因为它的谱肯定在一个圆环上，我们可以找到一个谱分解

，

然后对于任何无界的对称算子 ，Cayley 变换 是一个unitary算子，也就是说

,如我们引入定义 ，那么变换可以把一个圆环拉成实数轴，这个时候

,

如果我们定义算子

，

可以证明 ，这里主要需要一些Cayley变换和对称算子的一些性质。

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这种“通俗易通”地学习是容易的，但是却没啥价值，我这里引用一下某个数学家的话：一个东西如果你自己不能用，举不出例子，那么你就压根没学会。