R语言使用混合模型GMM 进行聚类

高斯混合模型(Gaussian Mixture Model，简称GMM)是在高斯分布的基础上逐渐发展起来的一种聚类算法，高斯分布即为正态分布，是最为常见的数据分布形式。

假设混合高斯模型由k个高斯模型组成，则高斯混合密度函数表达式如下

$\mathrm{G }( \mathrm{X }) = {\displaystyle {\sum }_{\mathrm{k }= \mathrm{1 }}^{\mathrm{k }}\mathrm{p }( \mathrm{k }) \mathrm{g }( \mathrm{X }; {\mathrm{\mu }}_{\mathrm{k }}, {\mathrm{C }}_{\mathrm{k }}) }= \frac{\mathrm{p }( \mathrm{k }) }{\sqrt{{( \mathrm{2 }\text{π }) }^{\mathrm{D }}| {\mathrm{C }}_{\mathrm{k }}| }}{\mathrm{e }}^{- \frac{\mathrm{1 }}{\mathrm{2 }}{( \mathrm{X }- {\mathrm{\mu }}_{\mathrm{k }}) }^{\mathrm{T }}{\mathrm{C }}_{\mathrm{k }}^{- \mathrm{1 }}( \mathrm{X }- {\mathrm{\mu }}_{\mathrm{k }})}$(1)

其中  $\mathrm{g }( \mathrm{X }; {\mathrm{\mu }}_{\mathrm{k }}, {\mathrm{C }}_{\mathrm{k }})$、  $\mathrm{p }( \mathrm{k })$、  ${\mathrm{\mu }}_{\mathrm{k }}$、  ${\mathrm{C }}_{\mathrm{k }}$、D分别表示第k个高斯模型的概率密度函数、权重、期望、协方差矩阵和维度，从高斯混合密度函数公式可以看出，高斯混合模型就是从多个高斯分布中生成的数据模型，即无论是什么形状的分布，只要高斯函数的数量足够多，大量的高斯函数进行线性组合，就可以准确地表示出任意形状的分布，即构建出任意的高斯混合模型，随着高斯函数数量的增加，这个高斯混合模型就会变得足够复杂，就可以用来逼近任意连续的概率密度分布，正是由于高斯混合模型能够近似地模拟任意形状函数的密度分布，高斯函数的计算性能良好，并且其结果准确可靠，因此近年来高斯混合模型在生物识别中得到广泛的应用。