多项式

多项式是描述生物过程的最灵活的工具。它们简单，并且虽然是曲线状的，但它们在参数上是线性的，并且可以通过使用线性回归来拟合。一个缺点是它们不能描述渐近过程，而这在生物学中非常常见。此外，它们容易过度拟合，因为我们可能会试图添加项来改善拟合，而很少关心生物现实性。

凹/凸曲线

让我们进入非线性领域。凹/凸曲线描述了非线性关系，通常带有渐近线和无拐点。我们将列出以下最常用的曲线类型。

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指数方程

指数方程描述了递增/递减的趋势，具有恒定的相对速率。最常见的参数化形式是：

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其他可能的参数化形式包括：

上述参数化形式是等价的，可以通过设置

以及

参数的含义很明确：当 X=0 时， a 是 Y 的值，而 k 表示 X 增加一个单位对 Y 的相对增加/减少。如果我们计算指数函数的一阶导数：

plt(mdel, log="")

‘drc’ 包还包含 ‘EXD.2()’ 函数，它拟合了一个稍微不同参数化的指数衰减模型：

其中，d与上述模型中的a相同，e=1/k。

我将同时展示EXD.2（蓝色曲线）和EXD.3（红色曲线）的示例。

curve(EX.fun(x, 0, 100, -1/0.05), col="blue", xlab = "X",
      xlim = c(0, 100), ylim = c(0,100))
curve(EXD.fn(x, 20, 100, -1/0.05), col="red", add = T)

渐近回归模型

渐近回归模型描述了有限增长，其中当X趋于无穷大时，Y趋近于一个水平渐近线。

由于其生物学意义，最常见的参数化形式是：

其中a是最大可达到的Y，b是x=0时Y的值为0，c与Y随X增加而相对速率成比例。事实上，我们可以看出它的一阶导数是：

D(exeion(a - (a - b) * exp (- c * X)), "X")

即：

我们可以看到生长的相对速率并不是常数（如指数模型中），而是在Y=0时最大，并随着Y的增加而减小。

让我们模拟一个示例。

model <- rmY ~ X, fct = DC.seg())
plot(odl, log="", main = "渐近回归")

负指数方程

如果我们在上述方程中加上限制条件b=0，我们得到以下方程，通常被称为“负指数方程”：

这个方程的形状与渐近回归类似，但当X=0时，Y=0（曲线通过原点）。它通常用于建模吸收的光合有效辐射（Y=PARa）与入射光合有效辐射（a=PARi）、叶面积指数（X=LAI）和消光系数（c=k）之间的关系。

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幂函数曲线

幂函数曲线也被称为弗洛伊德方程或者等比方程，最常用的参数化形式如下：

这个曲线与X的对数上的指数曲线等效，实际上可以表示为：

对于X→∞，曲线并没有渐近线。斜率（一阶导数）为：

D(expessin(a * X^b), "X")

我们可以看到两个参数与曲线的斜率有关，b决定了曲线的形状。当0<−b<1时，随着X的增加，Y也会增加，曲线呈现凸向上的形状。例如，这个模型可以用于根据采样面积来建模植物物种数量（Muller-Dumbois方法）。

moel <- dm(nuSces ~ Aea, fct = DCowrve(),
             data = speAra)
summary(mdel)

plot(oel, log="")

如果b<0，曲线将呈现凹向上的形状，Y随着X的增加而减少。

curve

如果b>1且为负数，曲线将呈现凹向上的形状，Y随着X的增加而增加。

curve(powerC

对数方程

这确实是一个对数转化后的线性模型:

plot(model, 

# b 是负值
X <- c(1,2,4,5,7,12)
a <- 2; b <- -0.5

summary(model)

plot(model, log="", 

Michaelis-Menten方程

这是一个双曲线形状的方程，通常参数化为:

事实上，很容易证明:

斜率（一阶导数）为:

D(expression( (a*X) / (b + X) ), "X")

res <- rnorm(8, 0, 0.1)
Y <- Ye + res

# nls拟合
mol <- nls(Y ~ SSien(X, a, b))
summary(model)

# drm拟合
summary(model)

plot(model, log="", main = "Mic

“drc”包还包含自启动函数 “MM.3()”，其中当 X=0 时，允许 Y ≠ c ≠ 0。

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产量损失/密度曲线

杂草与农作物竞争研究使用重新参数化的Michaelis-Menten模型。实际上，Michaelis-Menten的初始斜率可以被视为竞争的测量，即在首次添加杂草到系统中时产量（Y）的减少。因此，将Michaelis-Methen模型重新参数化以将i=a/b=α/β作为显式参数进行描述。重新参数化的方程为：

该模型可用于描述杂草密度对产量损失的影响。因此需要使用无杂草的产量和以下方程来计算产量损失（百分比）：

其中，YW是观测到的产量，YWF是无杂草的产量。下面以日葵种植在增加密度的Sinapis arvensis杂草中的情况为例进行说明。

competition$YL <- (Ywf - competition$Yield) / Ywf * 100

# nls拟合

summary(model)

# drm拟合

summary(model)

plot(model, log="

上述拟合约束了当杂草密度为0时，产量损失为0。

确实，从上述方程我们推导出：

和所示：

model <- dr
summary(model)

plot(model

S 型曲线

S 型曲线具有 S 形状，可以是递增、递减、对称或非对称的。它们有许多参数化方法，有时可能让人困惑。因此，我们将展示一种常见的参数化方法，这在生物学方面非常有用。

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逻辑曲线

逻辑曲线来源于累积逻辑分布函数；曲线在拐点处对称，并可以参数化为：

其中，d 是上渐近线，c 是下渐近线，e 是在 d 和 c 之间产生响应的 X 值，而 b 是拐点附近的斜率。参数 b 可以是正数或负数，因此 Y 可以随着 X 的增加而增加或减少。

逻辑函数非常有用，例如用于植物生长研究。

model <- dm(weightFree ~ DAE, fct =
sum

plot(model, log="", 

Gompertz 曲线

Gompertz 曲线有许多参数化方法。我们倾向于使用与逻辑函数相似的参数化方法：

其中参数的含义与逻辑函数中的参数相同。不同之处在于该曲线在拐点处不对称。

另一种不对称性

我们已经看到，相对于逻辑函数，Gompertz 函数在开始时呈现更长的延迟，但之后稳步上升。我们可以通过以下方式更改 Gompertz 函数来描述不同的模式：

该函数的自启动函数尚不可用，至少在我所知道的范围内。此外，我也不知道这个函数的特定名称。

通过在图表中比较这三个逻辑函数，我们可以看到它们在偏斜和对称性方面的差异。

curve( E.fun(x, b, c, d, e), add = T, col = "blue" )
legen

基于对数的 S 型曲线

在生物学中，测量的数值通常是严格为正的（时间、重量、高度、计数）。因此，使用对非正数也定义的函数可能看起来不现实。因此，通常更倾向于使用独立变量 X 被限制为正的函数。所有上述描述的 S 型曲线都可以基于 X 的对数进行，这样我们可以得到更现实的模型。

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对数-逻辑曲线

在许多应用中，S 型响应曲线在 x 的对数上是对称的，这需要一个对数-逻辑曲线（对数正态曲线实际上几乎等效，但很少使用）。例如，在生物测定中（但也在萌发测定中），对数-逻辑曲线定义如下：

参数的含义与上述逻辑方程中的含义相同。很容易看出上述方程等价于：

另一种可能的参数化方法是所谓的 Hill 函数：

确实：

对数-逻辑函数用于作物生长、种子萌发和生物测定，它们可以具有与逻辑函数相同的约束条件。

我们展示了一个基于对数-逻辑拟合的示例，涉及到对一个除草剂处理的甘蓝菜生物测定中不断增加剂量的关系。

model fct = LL.4(), data = bra
summary(model)

plot(model, main = "对数-逻辑方程")

Weibull 曲线（类型 1）

类型 1 Weibull 曲线与替代 Gompertz 曲线的对数-逻辑曲线相似。方程如下：

参数与上述其他 S 型曲线的含义相同。

Weibull 曲线（类型 2）

类型 2 Weibull 曲线与 Gompertz 曲线的对数-逻辑曲线相似。方程如下：

参数与上述其他 S 型曲线的含义相同。

我们将对这些 Weibull 曲线拟合数据集。

plot(model, main = "Weibulltions")
plo