VaR的定义：

风险价值 VaR (Value at Risk)， 是指在一定概率水平（置信水平）下，在一定时间内（如一天，十天等），持有某种证券或投资组合可能遭受的最大损失。

VaR的两个基本要素：置信水平 c，时间段 T

VaR 在概率统计意义上是一个特殊的分位数（Quantile）。（ q th quantile, q = 1 – c. ） 设 L 为损失变量，L = – 收益。当收益为负时，L 为正，则

VaR的优缺点：

优点：简单明了。它直接用货币单位来表示市场风险的大小，即使是没有任何专业背景的投资者或管理者，也能通过 VaR 值对当前市场风险的大小进行评价，方便信息披露，有利于市场监管。

缺点：不满足次可加性（Subadditivity），VaR 对损失或收益变量的尾部分布具体是什么样的一无所知。

我们可以用一个叫尾部均值 （ES）的东西来弥补VaR的不足，它不仅满足次可加性，还刻画了尾部分布的均值（期望值），对 VaR 的功能是一个很好的补充。

ES的定义

尾部均值 ES (Expected Shortfall)，又叫 条件 VaR (Conditional VaR)或 预期尾部损失 ETL (Expected Tail Loss)，是指在损失超过 VaR 的条件下，投资组合遭受的平均损失（期望值）。

计算VaR的几种方法

Delta-normal 方法

假设：

•正态性假设：投资组合中每种资产的收益率都服从正态分布。

•线性假设：投资组合的收益率是各项资产收益率的线性组合。

投资组合每天的收益率相互独立（无相关性）。

一个价值 W_0 元的投资组合，在 c 的置信水平下，在未来 T 天内的 VaR 为：

其中 α 为标准正态分布的q分位数，是一个固定的值。我们可以通过GARCH模型对 σ 进行估计。

GARCH(p, q) 模型假设： 

(volatility equation) 其中，  ,  , 

历史模拟法，蒙特卡罗模拟法 和 分位数回归法

假设：过去的模式将在一定程度上延续到未来，不会发生改变。

历史模拟法：假设随机变量在未来的分布等同于在过去的分布。

蒙特卡罗模拟法：人为设定随机变量在未来的分布类型（一种特殊的分布，如正态分布、学生 t 分布等），用历史数据估计这种分布的具体参数。

分位数回归是一种特殊的线性回归。

线性回归和分位数回归的主要区别在于被解释变量上。线性回归的被解释变量是期望值，也就是均值。而分位数回归的被解释变量是分位数。

我们可以直接用分位数回归来对分位数进行建模，而对于损失随机变量L来说，分位数其实就是VaR。