Matlab正态分布、历史模拟法、加权移动平均线 EWMA估计风险价值VaR和回测Backtest标准普尔指数 S&P500时间序列

此示例说明如何使用三种方法估计风险价值 (VaR) 并执行 VaR 回测分析。

 

由Kaizong Ye,Liao Bao撰写

这三种方法是:

  • 正态分布
  • 历史模拟
  • 指数加权移动平均线 (EWMA)
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关于 VaR 的争议,一直都存在。

不少投资界的大腕批评过 VaR 的使用,Charlie Munger 算是他们中最著名的的一位。其他的专门撰写长文的包括著名的 Trader 和风险研究专家 Nassim Taleb (对,就是那个写一本叫做 Black Swan 的书的作者)和 David Einhorn (这位做投资的都知道吧)

David 在 GARP 的杂志(就是那个发 FRM 牌子的组织的杂志)上发了一篇长文【1】,写他是如何看空美国银行业的,其中对 VaR 的批评很到位(果然,好的投资者都是优秀的风控经理):

  1. 风控经理的职责是关注那些很少发生但是影响重大的风险,而不是常规损失。VaR 在设计上,把尾部风险直接砍掉了,也就是说,VaR 能够回答你 95% 或 99% 的情况下,你的最大能损失是 XX 百万刀,但是不能回答你,在那1%或 5% 的情况下(装一点的说,就是 black swan event 发生的情况下)你的最大损失是多少,在极端情况下,你的损失最小是 VaR 所统计的数,最大,不知道,也许是一个天文数字。用统计的术语说,就是让风控经理把注意力集中在那些处在分布接近中央的可以管理的常规风险,而忽略了尾部风险。

  2. 由于VaR 不能很好的度量尾部风险,所以在那些用 VaR 去衡量风险并约束交易员的银行里面,交易员会有意规避这个监管指标(game the system),去投资那些风险非常低但是一风险损失巨大的投资机会(take excessive but remote risks),这也是为什么大银行会出现大的 trading loss 的原因之一。这里有一个小例子,就是开一个针对抛硬币的赌局,赔率是 1:127,赌硬币不可能7次都出现正面。从概率上说,这个赌很安全,出现 7 次正面的概率只有1/128,约等于 0.78%。也就是说,在 99% 的情况下,这个赌是赚钱的,这个投资机会的 VaR 值是0,因为在 99% 的情况下你是赢钱的,但是你输一次,你亏损是你平时赚的127倍,通常的金融机构都有很高的杠杆,出现一次,就会破产。

  3. 第三个重要的问题,就是 VaR 是给高管汇报和监管层看的,监管者通常不是专门的风险专家,他们没有对 VaR 的深刻理解,容易让高管和监管层低估风险(have a false sense of security)。在美国 SEC 经常被讥讽为 toothless 的监管机构,就是因为在大投行的监管上,SEC 一再让步。VaR 值作为 SEC 认可的风险监管披露方式,不出意外是投行游说的结果。按照 SEC 2004年通过的条例【2】,大投行可以选择用自己的一套方法去管理风险,只要他们愿意向 SEC 做更多披露,SEC 并不具备审查投行日益复杂的资产负债表的能力,所以,基本上就是你报一个 VaR 我就认为你没问题了。在中国,大家都知道,报数会有水分的。在美国也一样。

【1】Private Profits and Socialized Risk

by David Einhorn

【2】Alternative Net Capital Requirements for Broker-Dealers That Are Part of Consolidated Supervised Entities,SEC:

http://www.sec.gov/rules/final/34-



风险价值是一种量化与投资组合相关的风险水平的统计方法。VaR 衡量指定时间范围内和给定置信水平的最大损失量。

回测衡量 VaR 计算的准确性。使用 VaR 方法,计算损失预测,然后与第二天结束时的实际损失进行比较。预测损失和实际损失之间的差异程度表明 VaR 模型是低估还是高估了风险。因此,回测回顾数据并有助于评估 VaR 模型。

本示例中使用的三种估计方法在 95% 和 99% 的置信水平下估计 VaR。

加载数据并定义测试窗口

加载数据。本例中使用的数据来自标准普尔指数从 1993 年到 2003 年的时间序列收益率。

将估计窗口定义为 250 个交易日。测试窗口从 1996 年的第一天开始,一直持续到样本结束。

对于 95% 和 99% 的 VaR 置信水平。

这些值意味着分别有至多 5% 和 1% 的概率发生的损失将大于最大阈值(即大于 VaR)。

使用正态分布方法计算 VaR

对于正态分布法,假设投资组合的损益呈正态分布。使用此假设,通过将每个置信水平的_z_分数乘以收益率的标准差来计算 VaR  。由于 VaR 回溯测试对数据进行追溯,因此“今天”的 VaR 是根据过去_N_  = 250 天(但不包括“今天”)的收益率值计算得出的 。


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风险价值VaR原理与Python蒙特卡罗Monte Carlo模拟计算投资组合实例

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正态分布方法也称为参数 VaR,因为它的估计涉及计算收益率标准差的参数。正态分布方法的优点是简单。然而,正态分布方法的弱点是假设收益率是正态分布的。正态分布方法的另一个名称是方差-协方差方法。

使用历史模拟方法计算 VaR

与正态分布方法不同,历史模拟 (HS) 是一种非参数方法。它不假设资产收益的特定分布。历史模拟通过假设过去的损益可以作为下一个收益期的损益分配来预测风险。“今天”的 VaR 计算为“今天” 之前 最后_N 次_收益率的 _第 p_个分位数 。


Python蒙特卡罗(Monte Carlo)模拟计算投资组合的风险价值(VaR)

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从上图可以看出,历史模拟曲线具有分段不变的轮廓。其原因是,在极端事件发生之前,量值在几天内不会发生变化。因此,历史模拟方法对波动率的变化反应缓慢。

使用指数加权移动平均法 (EWMA) 计算 VaR

前两个 VaR 方法假设所有过去的收益率都具有相同的权重。指数加权移动平均 (EWMA) 方法分配不相等的权重,尤其是指数递减的权重。最近的收益率具有更高的权重,因为它们对“今天”收益率的影响比过去更远的收益率更大。大小估计窗口上的 EWMA 方差公式 $ W_E $ 是:


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$$\hat{\sigma}^2_t=\frac{1}{c}\sum_{i=1}^{W_E}\lambda^{i-1} y^2_{ti}$$

$c$ 是归一化常数:

$$c=\sum_{i=1}^{W_E}\lambda^{i-1} = \frac{1-\lambda^{W_E}}{1-\lambda}\quad\rightarrow \frac{1 }{1-\lambda} ~ as ~ W_E\rightarrow\infty$$

为方便起见,我们假设一个无限大的估计窗口来近似方差:

$$\hat{\sigma}^2_t\approx(1-\lambda)(y^2_{t-1}+\sum^{\infty}_{i=2}\lambda^{i-1}y ^2_{ti})=(1-\lambda)y^2_{t-1}+\lambda\hat{\sigma}^2_{t-1}$$

实践中经常使用的衰减因子的值为0.94。这是本示例中使用的值。

启动 EWMA 设置标准偏差。

在测试窗口中使用 EWMA 来估计 VaR。

在上图中,EWMA 对大(或小)收益率时期的反应非常迅速。

VaR回测

在本示例的第一部分中,使用三种不同的方法和两种不同的 VaR 置信水平在测试窗口上估计了 VaR。VaR 回测的目标是评估 VaR 模型的性能。95% 置信度的 VaR 估计值仅在大约 5% 的时间内被违反。VaR 失败的集群表明缺乏跨时间的独立性,因为 VaR 模型对不断变化的市场条件反应缓慢。

VaR 回测分析中常见的第一步是将收益率和 VaR 估计值绘制在一起。在 95% 的置信水平上绘制所有三种方法,并将它们与收益率进行比较。

为了突出不同的方法如何对不断变化的市场条件做出不同的反应,您可以放大收益率值发生巨大和突然变化的时间序列。

例如,大约在 1998 年 8 月:

当收益为负 VaR 时,就会发生 VaR 失败。仔细观察 8 月 27 日至 8 月 31 日,会发现收益率显着下降。从 8 月 27 日起,EWMA 更密切、更准确地跟踪收益率趋势。因此,与正态分布方法(7次失败,蓝色)或历史模拟方法(8次失败,红色)相比,EWMA 的 VaR 失败(2)次失败,紫色)较少。

除了可视化工具,您还可以使用统计测试进行 VaR 回测。在此示例中,首先比较正态分布方法在 95% 和 99% VaR 水平下的不同测试结果。

摘要报告显示观察到的水平与定义的 VaR 水平足够接近。95% 和 99% VaR 水平至多具有期望失败,其中 N 是观察次数。失败率表明  VaR 水平在范围内,而  VaR 水平不精确并且低估了风险。运行所有支持的测试 (1-VaR_level) x _N_

95%的VaR通过了测试,如二项式和失败比例测试(TL、BIN和POF列)。99%的VaR没有通过这些相同的测试,如拒绝结果所示。在条件覆盖率独立性和间隔时间独立性(ci和tbfi列)中,两个置信度都被拒绝。这个结果表明,VaR的违反不是独立的,可能在短时间内有多次失败的时期。另外,一次失败可能会使其他失败在随后的日子里更有可能发生。

在两个 VaR 置信水平下对三种方法的投资组合运行相同的测试。

结果和之前的结果差不多,在95%的水平上,结果基本可以接受。然而,在 99% 水平的结果通常是拒绝。关于独立性,大多数测试通过了条件覆盖独立性测试,连续几天测试独立性。请注意,所有测试都失败了独立性测试之间的时间间隔,它考虑了所有失败之间的时间。这个结果表明所有方法都存在独立性假设的问题。

为了更好地了解这些结果如何在市场条件下发生变化,请查看 2000 年和 2002 年的 95% VaR 置信水平。

2000年,这三种方法都通过了所有的测试。但是,2002 年的测试结果大多是所有方法都被拒绝。EWMA 方法似乎在 2002 年表现更好,但所有方法都未能通过独立性测试。

要更深入地了解独立性测试,请查看条件覆盖独立性和失败间隔时间独立性2002 年的测试详细信息。运行各个测试功能。

在 CCI 测试中,知道在时间_t_ -1没有失败的情况下,  在时间_t_发生失败 的概率 p 由下式给出01

$$ p_{01} = \frac{N_{01}}{N_{01}+N_{00}}$$

在时间_t_发生失败 的概率 p ,知道在时间_t_ -1发生失败, 由下式给出11

$$ p_{11} = \frac{N_{11}}{N_{11}+N_{10}}$$

从 测试结果中的N00, N10N01N11列来看 ,  三种方法的_p_ 值 01都在 5% 左右,而_p_ 值 11 都在 20% 以上。因为有证据表明一个失败之后出现另一个失败的频率远高于 5%,所以这个 CCI 测试失败了。

在失败间隔时间独立性测试中,查看失败间隔时间分布的最小值、最大值和四分位数,在TBFMin、  TBFQ1、  TBFQ2、  TBFQ3、 列中 TBFMax

对于 95% 的 VaR 水平,您预计失败之间的平均时间为 20 天,或每 20 天发生一次失败。但是,对于这三种方法,2002 年的失败间隔时间的中位数介于 5 到 7.5 之间。该结果表明,在一半的情况下,连续两次失败发生在 5 到 7 天内,比期望的 20 天要频繁得多。因此,会发生更多的测试失败。对于正态方法,第一个四分位数是 1,这意味着 25% 的失败发生在连续几天。

参考

Danielsson, J. 金融风险预测:预测市场风险的理论和实践。威利财经,2012 年。


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关于作者

Kaizong Ye拓端研究室(TRL)的研究员。

本文借鉴了作者最近为《R语言数据分析挖掘必知必会 》课堂做的准备。

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