状态转换模型，尤其是马尔可夫转换（MS）模型，被认为是识别时间序列非线性的不错的方法。
估计非线性时间序列的方法是将MS模型与自回归移动平均 – 广义自回归条件异方差（ARMA – GARCH）模型相结合，但给参数估计的计算带来了困难。
我们建立了完整的MS- ARMA – GARCH模型及其贝叶斯估计。使用马尔可夫链蒙特卡罗（MCMC）方法，我们开发一种算法来计算我们模型的方案和参数的贝叶斯估计。
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options = optimset('fmincon');
options = optimset(options , 'Algorithm ','interior-point');
% options = optimset(options , 'Algorithm ','active-set');
options = optimset(options, 'Hessian','bfgs');
fmincon(@(x) msarmagarch(x,data,reg,ORDERS,flag),beq,LB,UB,@(x) MSARMAGARCH(x,k,nbpara),options);
fmincon(@(x) msarmagarch(x,data,reg,ORDERS,flag),startvaltot,[],[],[],[],[],[],@(x) MSARMAGARCH(x,k,nbpara),options);
[LLF,likelihoods,~,p,pt,smoothprob,h] = msarmagarch(thetahat,data,reg,ORDERS,flag);
金融数据存在着尖峰厚尾、波动聚集性以及杠杆效应等重要统计特征。ARCH模型、GARCH类模型以及衍生的GARCH类模型能很好的刻画这些特征。然而,随着全球经济一体化,金融市场总是不断变换,使得金融时间序列在不同时期可能呈现出不同的波动状态,金融市场波动就可能存在结构突变,因此对波动率的变结构建模是很有必要的。
传统的GARCH模型由于单结构、参数固定,不能反映该结构变化,使得波动的描述和预测不够准确。Hamilton年提出Markov Switching模型(MS模型),为金融数据的变结构建模提供了新的思路和方法。为了更好地描述金融时间序列波动普遍存在的结构突变问题,在单一状态GARCH模型的基础上引入Markov状态转换模型,建立的马尔科夫转换GARCH模型,将波动划分为高、低两种波动状态,使得各个状态机制对应的GARCH模型拥有不同的参数结构,状态的转移服从马尔科夫过程。由于模型存在路径依赖问题,极大似然估计不可行。
图1和图2比较了两种模型的估计后验概率。我们的模型能够更清晰地区分不同的状态。
图1.修正的Hamilton-Susmel模型每周收益的不同状态的后验概率。
图2.对于我们的模型，状态1-3的后验概率。
figure()
subplot(4,1,1);
plot(Domain, Data,'color'
ylim([-30,30])
接下来，我们比较两个模型的样本ACF。由于在两个模型中估计ARMA参数大致相同，因此我们仅显示样本ACF的平方残差。
然而，两种算法都在估计中显示出问题，其特征在于MCMC链收敛得非常慢以及在基于EM的算法的情况下对初始参数的强烈依赖性。
估计参数化的MS- GARCH的第二状态的后验概率
Haas 等人的第二状态的后验概率。
结论
我们开发了一种MCMC方法来计算完整MS- ARMA – GARCH模型的参数估计值，用于描述在不同市场中观察到的计量经济时间序列中的现象。
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