本文对结构方程模型进行效能分析。
本文从一些简单的例子开始。其余部分提供了一些关于统计背景的说明，各种效应大小的定义，以及本包所含函数的详细描述。
背景介绍
数学模型的统计评价通常是通过考虑测试统计量来进行的，测试统计量表示观察数据和拟合模型的数据之间的差异。在SEM中，大小为N的样本的相关测试统计量由T = Fˆ(N – 1)给出。Fˆ表示所选差异函数（如最大似然）的最小化样本值，从而表明模型与样本数据的不匹配。因此，T允许对模型正确的无效假设（H0）进行似然比检验。
检验效能或把握度，是指两总体确有差别，按β水准能发现它们有差别的能力。用1-β表示其概率大小。
检验效能的大小主要与以下四个因素有关。
(1)总体差别的大小：正确选择被试因素及其水平，这是实验成败的首要环节。被试因素的有效性越强，H0与H1涉及的不同总体均数之间的差距越大，两者在分布上的重叠面积就越小。由于β较小，1-β就必然较大。
(2)检验水准(α)的大小：通常H0与H1两个总体存在一定的重叠面积，界值移动必然引起α与β同时改变。由于α与β存在反变关系，故通过增大口值可提高检验效能1-β。然而假设检验的目的大多是希望提示被试因素有效性高，应当要求d值越小越好；若将α值过分增大，显然是不恰当的。相反，如将α过分缩小，势必引起β增大，检验效能降低。因此，在实验设计时，必须合理地兼顾α与β。在通常情况下，实验设计时α取0．05，β取0．10或0．05。
(3)标准差的大小：由于α与β呈反比，两全其美的方法就是使两个相互比较的总体分布都很集中，重叠面积缩小，这样就可收到α与β均减小的效果。在两个总体均数与样本含量固定的条件下，各总体分布的面积不变，但其扩布范围与标准差成正比。因此，尽量减小个体差异，严格控制实验条件，认真遵守操作规程，努力使标准差减小到合理水平，这是提高检验效能的重要途径之一。
(4)样本含量的多少：在两总体均数与标准差固定的条件下，尽管总体分布的扩布范围不变，但随着样本含量(n)增大，标准误缩小，总体分布趋向集中，α与β都减小，因而检验效能增加。所以，对于提高检验效能而言，增大样本含量，这也是一种两全其美的办法。在理论上，任何真实存在的差异不论大小与有无实际意义，只要有足够大的咒，通过假设检验都可以检出具有统计意义。然而在科研中必须首先考虑差异程度的实际意义，不能盲目地扩大样本含量。同时也应看到：样本含量由n增大至m倍(即m×n)，标准误仅缩小至倍。例如，样本含量由n增至9n，标准误仅减至原来的1／3。因此，通过增大n来提高检验效能，其代价是相当高的，在数量上必须适可而止。
检验效能，又称假设检验的功效(power of a test)，用1-β表示，其意义是，当所研究的总体与H0确有差别时，按照检验水准α能够发现它(拒绝H0)的概率。若1-β=0.90，则意味着当H0不成立时，理论上在100次抽样实验中，在α检验水准上平均有90次能拒绝H0。检验效能可用小数(或百分数)表示，一般取0．99、0．95、0．90、0．80、0．50。研究中要求的检验效能越高，所需的样本含量也越大。样本含量、客观事物差异的大小、个体间变异的大小和α值都是影响检验功效的要素。当样本含量固定时，α与β呈反向变化的关系，即α增大，β减小，反之亦然；若欲同时减小α与β，则只有增加样本含量。因此，若要增大检验效能(增大1-β，减小β)，一是增大α，二是增大样本含量。
检验效能虽然不是设计时需要解决的，但在查阅文献和借鉴前人经验时应当认真考虑。当假设检验根据P>0．05做出无统计学意义的结论时，研究者则面临着犯Ⅱ型错误的可能性，应当考虑是否总体间的差异确实存在，但由于检验效能不足而未能把该差异反映出来。
综上所述，提高检验效能的方法有：1、增加样本量；2、提高测量精准度；3、提高检验水平。
参考文献
1.王家良主编.临床流行病学临床科研设计、测量与评价.上海科学技术出版社,2009.12.
2.贺石林,李元建主编.医学科研方法学.人民军医出版社,2003.10.
3.丁元林,高歌主编.卫生统计学.科学出版社,2008.07.
如果假设的模型在总体中成立，可以证明T在渐进上遵循中心χ 2（df）分布，df=.5-p（p+1）-q自由度，其中p是表现变量的数量，q表示自由参数的数量。这就是为什么T经常被称为 “卡方模型检验统计量”。
给出一个卡方检验统计量的观察值，可以进行一个无效假设的显著性检验。通常的检验过程如下。给定一个特定的α-误差水平（通常是α=0.05），从渐近中心χ 2（df）分布中得到一个临界卡方值。如果卡方检验统计量的观察值超过临界值，则拒绝模型符合数据的无效假设。否则，H0被保留。发现观察统计量超过临界值（意味着上尾概率低于指定的α水平），就会导致统计学上的判断，即假设和实际人口协方差矩阵之间的差异太大，不能仅仅归因于抽样误差。因此，具有统计学意义的卡方检验统计数字提供了反对假设模型有效性的证据。
当使用这个框架测试统计假设时，会出现两种类型的错误。不正确地拒绝一个真正的H0（一个正确的模型）的α错误（或I型错误）和不正确地保留一个错误的H0（一个错误的模型）的β错误（或II型错误）。
如果H0为假，则卡方检验统计量不再是中心χ 2（df）分布，而是可以证明遵循非中心χ 2（df，λ）分布，具有非中心性参数λ和期望值df + λ（MacCallum, Browne, & Sugawara, 1996）。
非中心性参数λ将非中心χ 2（df，λ）分布的期望值移到相应中心分布的右边。在确定了与中心χ 2（df）分布的期望α概率相关的临界值之后，可以通过构建具有一定非中心性参数λ的相应非中心χ 2（df，λ）分布并获得该分布向右的面积（即。相应地，统计效能是非中心χ 2（df，λ）分布在临界值右边的面积（即积分）。一般情况如图1所示。
图1描述了中心（实线）χ 2（df）和非中心（虚线）χ 2（df，λ）分布，df=200，λ=100。中心分布χ 2（df）在临界值右侧的面积反映了α误差。实线表示临界值为234，对应于α=0.05。虚线表示从折衷效能分析中得到的临界值为244，与α=0.018有关。临界值左边的χ 2（df，λ）分布区域是β-错误概率（临界值234和244的β=0.006和β=0.018）。统计效能定义为1-β，即临界值右边的非中心χ 2（df，λ）分布下的面积。
衡量标准
为了定义H0和H1模型之间的差异，可以使用任何基于非中心性的效果测量。
F0
F0是最大似然拟合函数的总体最小值，定义为
其中Σ是p总体协方差矩阵，Σˆ是p模型隐含的协方差矩阵，p是观测变量的数量。如果模型是正确的，Σˆ=Σ，F0=0。否则，F0>0，数值越大，表示模型与数据的差异越大（不匹配）。
RMSEA
近似根均方误差（RMSEA；Browne & Cudeck, 1992；Steiger & Lind, 1980）通过模型的自由度来衡量F0。
使RMSEA以零为界，较低的值表示较好的拟合。隐含的F0是：
用RMSEA来定义一个效应需要说明自由度。
随时关注您喜欢的主题
Mc
Mc（McDonald，1989）是F0在0-1区间上的变换，数值越大表示越适合。
GFI
拟合指数（GFI；Jöreskog & Sörbom, 1984；Steiger, 1990）在0-1的区间内对F0进行标度，数值越高表示拟合度越好。
由于GFI取决于观察变量的数量（p），在用GFI定义效能时需要提供这个数字。
AGFI
调整后的拟合指数（AGFI；Jöreskog & Sörbom，1984；Steiger，1990）对GFI进行了修改，包括对自由参数数量的惩罚，由模型的自由度来衡量。
用AGFI来说明效果，需要同时说明观察变量的数量（p）和模型的自由度（df）。
不基于非中心性的方法
不基于非中心性的拟合指数与F0没有直接的关系，因此不太适合于效能分析。但是，如果通过H0和H1协方差矩阵来定义效应，至少可以计算出度量。
SRMR
标准化根-均方残差（SRMR）是对（标准化）模型和总体协方差矩阵之间平均（平方）差值的衡量，因此它的范围是0到1，数值越小表示拟合度越高。设E0为模型隐含与人群协方差矩阵之间的差值，E0=Σ-Σˆ，vech表示矢量化变换，Q为维度为.5p(p+1)的对角矩阵，包含观测变量i和j的标准差的乘积的逆值，那么，SRMR可以定义为
残差矩阵E0与F0的关系很复杂，取决于模型隐含的协方差矩阵，所以SRMR不太适合用F0来定义效应（基于ML估计）。
CFI
比较拟合指数（CFI）是一个增量指数，表示假设模型（F0H）相对于空模型（F0N）的不合适比例减少，空模型被定义为一个将所有协方差约束为零的模型。在总体中，CFI的范围是0到1，数值越高表示越适合。
虽然从CFI获得F0很简单，但这需要知道F0N，而这是很难先验确定的。
Power Analysis效能分析
进行效能分析时，一般需要说明要检测的效应的量度和大小，并提供模型的自由度。根据效能分析的类型，还需要进一步的论据。
本节假设效应是以上述方法之一来指定的，如何借助模型隐含的和总体协方差矩阵来定义效应。
A-Priori：确定所需的N，给定α、β、效应和df
先验效能分析的目的是在给定的α误差下，确定检测一个效应所需的样本量。在结构方程模型的语言中，先验能力分析问的是：”我需要多少个观测值才能达到效果？如果我的模型实际上是错误的（在所选效应定义的范围内），我需要多少个观测值才能以X%的概率（力量）来证伪我的模型？
进行先验的效能分析需要指定α误差、所需的效能（或者，等同于可接受的β误差）、效应的类型和大小以及模型df。根据所选择的效应大小指标，可能还需要定义观察变量的数量。
假设，我们想要检测一个模型（涉及df=100个自由度）的错误说明所需的样本量，在α误差为0.05的情况下，效能为80%，其中失拟量对应于RMSEA=0.05。将结果存储在一个名为ap1的列表中。
effect = .05, effect.measure = 'RMSEA',
alpha = .05, power = .80, df = 100在ap1上调用总结方法，输出结果和相关的中心和非中心卡方分布图
这表明N=164产生了大约80%的效能来检测指定的效果。
输出结果进一步显示了临界Chi-Square，非中心性参数（NCP），以及错误概率之间的比率（隐含Alpha/Beta比率）。在这个例子中，阿尔法和贝塔之间的比率是0.25，表明犯Beta错误的可能性是犯Alpha错误的四倍。这显然是所选输入参数的结果，因为0.80的效能（1-β）意味着0.20的β误差，是所选0.05的α误差的四倍。
effect = .05, effect.measure = 'RMSEA',
alpha = .05, power = .80
现在我们也得到了RMSEA=0.05的GFI和AGFI等效值，假设df=100，p=20。当然也可以不指定所需的效能，而是指定可接受的β误差。例如，调用
effect.measure = 'RMSEA',
alpha = .05, beta = .20, df = 100, p = 20
给出了与上述相同的输出。如果你对一定范围内的样本量的效能变化感兴趣，要求提供效能图是很有用的，下面会详细说明。
事后分析Post-hoc：给定α、N、效应和df，确定达到的效能
事后效能分析的目的是确定在给定的样本量下，在一定的α误差下检测特定效应的实际达到的效能。用结构方程模型的语言来说，事后效能分析问的是：”在我手头的样本中，有多大？在我手头的样本中，如果我的模型确实是错误的（至少在所选效应定义的范围内），那么伪造我的模型的概率（力量）有多大？进行事后效能分析需要明确阿尔法误差、样本量、效应的类型和大小以及模型df。同样，根据所选择的效应大小指标，可能还需要定义观察变量的数量。假设，我们希望在样本量为N=1000的情况下达到的效能能够检测到模型（涉及df=100自由度）的错误，α误差为0.05，其中错误拟合量对应于RMSEA=0.05。我们将结果存储在一个名为ph1的列表中。
posthoc(effect = .05, effect.measure = 'RMSEA',
alpha = .05, N = 1000
在ph1上调用总结方法，显示效能非常高（效能>.9999）。相关的误差概率是以更高的精度提供的。具体来说，β误差为β=2.903302e-17，转化为2.9-10-17=0.000000000000000029。在实践中，在这些条件下，一个RMSEA>=.05（或F0>=0.25或Mc<=.882）的模型很不错。隐含的α/β比率是1.722177e+15，表明犯α错误的可能性是犯β错误的2万亿（1015）倍。如果你对一系列不同程度的效果（例如，对于RMSEA从0.01到0.15）的效能变化感兴趣，要求提供效能图是很有用的，下面会详细说明。
折衷效能分析：给定α/β比率、N、效应和df，确定α和β
折衷效能分析的目的是在给定的效应、一定的样本量以及期望的α和β比率的情况下，确定α和β（以及相关的卡方检验统计量的临界值）（Moshagen & Erdfelder, 2016）。用结构方程模型的语言来说，折衷分析问的是：”在我手头的样本中，应该如何处理？在我手头的样本中，我应该如何选择卡方模型检验的临界值，来决定我的模型是与完全拟合的假设相一致时获得相应的α和β误差？
假设，我们想确定临界卡方和相关的α和β误差，使它们相等（即比率为1）。我们的模型涉及100个df，我们的样本量为N=1000，我们将不可接受的不合适H1模型定义为RMSEA至少为0.08的模型。将结果存储在一个名为cp1的列表中。
compromise(effect = .08, effect.measure = 'RMSEA',
N = 1000, df = 100)
结果显示，选择临界Chi-Square=312与平衡错误概率有关，α=1.2e-23和β=1.2e-23。按照要求，这两个错误概率都一样大。如果出于某种原因，你希望错误概率不同（例如，因为你认为错误地接受一个不正确的模型比错误地拒绝一个正确的模型要差100倍），你可以改变abratio参数。例如，要求α误差是β误差的100倍，可以通过设置 abratio = 100 来实现。
compromise(effect = .08, effect.measure = 'RMSEA',
abratio = 100, N = 1000, df = 100)
Power Plots效能图
效能图显示了隐含的效能与其他一些变量的关系。你可以绘制在不同样本量范围内检测某一效应的实现效能。或者，你可以在给定的N下绘制达到的效能，以检测不同效应大小的范围。
确定给定效应的效能是N的函数
创建了一个图，显示了在一定的样本量范围内检测一个给定的效应的达到的效能。然而，由于很难指定给定效应的诊断样本量，我们需要提供所需的效能范围。例如，假设我们对检测RMSEA=.05的效应的效能如何随N的变化而变化感兴趣，我们对从.05到.99的效能感兴趣（注意效能不能小于α）。可以通过设置参数power.min = .05和power.max = .99来实现。此外，与任何先验的效能分析一样，需要定义效应的类型和大小、df和α误差。
powerPlot
这表明，当N>250时，一个相关的RMSEA=0.05的模型被拒绝的效能非常大，而当N<100时，效能就很小。
在给定的N下，确定效能与效应大小的函数关系
创建了一个图，显示在给定的样本量下，在效应大小范围内达到的效能。例如，假设我们对N=500时的效能如何随效应大小的变化而变化感兴趣，对应的RMSEA范围是0.001到0.10。此外，与任何事后效能分析一样，需要定义样本量、df和α误差。
PlotEffect
这表明，在N=500的情况下，一个相关的RMSEA>0.04的模型被检测到的效能非常大，而RMSEA<0.03的效能则相当小。
参考文献
• Browne, M. W., & Cudeck, R. (1992). Alternative ways of assessing model fit. Sociological Methods & Research, 21, 230–258.
• Jöreskog, K. G., & Sörbom, D. (1984). LISREL VI user’s guide (3rd ed.). Mooresville: Scientific Software.
【视频】因子分析简介及R语言应用实例：对地区经济研究分析重庆市经济指标
R语言宏观经济学：IS-LM曲线可视化货币市场均衡
R语言代做编程辅导和解答GLM Coursework
R语言分析上海空气质量数据：kmean聚类、层次聚类、时间序列分析：arima模型、指数平滑法
