如果你了解数据科学领域，你可能听说过LASSO。LASSO是一个对目标函数中的参数大小进行惩罚的模型，试图将不相关的变量从模型中排除。
最近我们被客户要求撰写关于LASSO的研究报告。它有两个非常自然的用途，第一个是变量选择，第二个是预测。因为通常情况下，LASSO选择的变量会比普通最小二乘法（OLS）少得多，其预测的方差会小得多，代价是样本中出现少量的偏差。
LASSO最重要的特点之一是它可以处理比观测值多得多的变量，我说的是成千上万的变量。这是它最近流行的主要原因之一。
可下载资源
实例
在这个例子中，我使用最流行的LASSO，glmnet。我们可以非常快速地估计LASSO，并使用交叉验证选择最佳模型。
0. 预备知识-最小二乘估计的理论推导
上一篇文章中写了最小二乘估计的解为 ，过程略去了，但我觉得为了更好的理解其思想还是应该把推导过程给大家列出来。（接下来的推导过程摘自王松桂—《线性模型引论》4.1节）
线性模型如下：
获取参数向量的估计的最小二乘法的基本思想为： 的真值应该使误差向
达到最小，也就是它的长度平方
达到最小。因此，我们应该通过求 的最小值来求
的估计，注意到
对 求偏导为
于是 ，令其等于0，得到：
，称之为正则方程。
补充一个定理：设为相容线性方程组，且
，那么当
取遍
的所有广义逆时，
构成了该方程组的全部解。
因为向量 ，于是正则方程是相容的，根据定理，正则方程的解为
明明我们对正则方程左乘一个就能得到上式了，为啥还要说其相容、广义逆什么的？因为只是简单左乘那是线性代数的运算，不是方程解。只有通过这样一个定理，才可以说这样得到的
是方程的解。
根据函数极值理论，我们知道 只是函数
的驻点，我们还需证明它确实使
达到最小。事实上，对任意一个
，（下面这个公式我们在后面讲SCAD还会用到）
因为 满足正则方程，于是上式第三项
为
，而第二项总是非负的，于是
此式表示， 确使
达到最小。
现在我们再进一步证明，使 达到最小的必是
。事实上，上式等号成立，当且仅当
等价地，
，不难证明，该式又等价于
.
这就证明了，使 达到最小值的点必为正则方程的解
.
1. Adaptive Lasso
Adaptive Lasso 是Hui Zou（中文名应该是邹辉）于2006年在《The Adaptive Lasso and Its Oracle Properties》中提出的，是一篇高被引的文章，很多论文中都有它的身影。
Lasso估计是使 达到最小的估计，Hui Zou在文中指出Lasso在变量选择时会出现不一致性。Adaptive Lasso在里面增加了一个权重
，具体为
权重的选择可以依赖数据驱动，通过交叉验证的方式得到。若 是root n consistent estimator，可取
可取1，这方面的研究可以看下《Adaptive Lasso For Sparse High-Dimensional Regression Models》。
2. Dantzig Selector
Dantzig Selector是Emmanuel Cansed 和 Terence Tao于2007年在《The Dantzig Selector: Statistical Estimation When p Is Much Larger Than n 》中提出的。
Dantzig Selector方法即求解 -正则问题：
其中 ，上面的问题可以转换成一个线性规划(LP)问题：
3. SCAD
SCAD方法是大佬范剑青于2001年发表在 Journal of the American Statistical Association的文章《Variable Selection via Nonconcave Penalized Likelihood and its Oracle Properties》中提出的。
还是那个线性模型：
为了避免与惩罚函数 的
冲突，我们这里的
设为
的。
首先要说明，为了在变量选择过程中看的更清晰，这里假设 是标准正交的，这个假设在很多论文、教材中都有广泛的使用，在该假设下，最小二乘估计
的形式就变成了
.
我们的目标是最小化目标函数：
岭回归就是在上式的基础上添加了惩罚函数 ，Lasso添加的是
，目前很多人都是在这个惩罚函数上做文章，称为惩罚最小二乘（penalized least squares），应用较多的是1-范数，因为其性质可以使不重要的参数压缩到0，因此我们以
表示（Lasso就是这里面最简单的形式
）。
因此惩罚最小二乘的形式为：
这里添加 是常用的一种写法，求导后可消去。上式中的第三项我们在预备知识说过了，它等于0。对于第二项，因为
是标准正交的，因此第二项就成了
（这里之所以写了这么多形式，是为了让大家了解论文中常用的这几种变形），这样我们得到最终形式：
为了和论文中的符号对齐，令 ，这样我们就和论文中的公式完全一致了
最后，为了让惩罚函数 可以表示其与
相关，下面用
来表示惩罚函数。
关于公式（2），使其最小等价于最小化 ，简写为
你可能会有疑问，前面还一个怎么就不管了呢？在预备知识的公式（1）下面我们说过，第二项
是非负的，若使等号成立就要求其等于0，这样
。公式（2）也是同理，
与
相差
，因此我们只要使其最小即可。
接下来就是惩罚函数SCAD（Smoothly Clipped Absolute Deviation）了：
这个惩罚函数使得比较大的
不会被过度惩罚并且保证了解的连续性，其解为
对于该惩罚中的两个参数
，可以通过交叉验证来得到，不过文章中也给出了一个较为通用的值，
，在
时，
。
根据我的经验，在时间序列的背景下，使用信息准则（如BIC）来选择最佳模型会更好。它更快，并避免了时间序列中交叉验证的一些复杂问题。
本文估计LASSO，并使用信息标准来选择最佳模型。我们将使用LASSO来预测通货膨胀。
## == 数据分解成训练和测试
y.in=y\[1:100\]; y.out=y\[-c(1:100)\]
x.in=x\[1:100,\]; x.out=x\[-c(1:100),\]
## == LASSO == ##
glmnet(x.in,y.in,crit = "bic")
plot(lasso)
上面的第一个图显示，当我们增加LASSO目标函数中的惩罚时，变量会归零。第二张图显示了BIC曲线和选定的模型。现在我们可以计算预测了。
## == 预测 == ##
predict(lasso,x.out)
adaptive LASSO
LASSO有一个自适应版本，在变量选择方面有一些更好的特性。请注意，这并不总是意味着更好的预测。该模型背后的想法是使用一些以前知道的信息来更有效地选择变量。一般来说，这些信息是由LASSO或其他一些模型估计的系数。
## = adaLASSO = ##
adalasso(x.in,y.in,crit="bic",penalty=factor)
predict(adalasso, x.out)
随时关注您喜欢的主题
## = 比较误差 = ##
sqrt(mean((y.out-pred.ada)^2)
在这种情况下，adaLASSO产生了一个更精确的预测。一般来说，adaLASSO比简单的LASSO的预测效果更好。然而，这不是一个绝对的事实。我见过很多简单LASSO做得更好的案例。
参考文献
[1] Bühlmann, Peter, and Sara Van De Geer. Statistics for high-dimensional data: methods, theory and applications. Springer Science & Business Media, 2011.
[2] Jerome Friedman, Trevor Hastie, Robert Tibshirani (2010). Regularization Paths for
Generalized Linear Models via Coordinate Descent. Journal of Statistical Software, 33(1), 1-22. URL http://www.jstatsoft.org/v33/i01/
[3] Marcio Garcia, Marcelo C. Medeiros , Gabriel F. R. Vasconcelos (2017). Real-time inflation forecasting with high-dimensional models: The case of Brazil. Internationnal Journal of Forecasting, in press.
【视频】R语言支持向量回归SVR预测水位实例讲解|附代码数据
数据分享|R语言Python机器学习预测4案例合集：众筹平台、机票折扣、糖尿病患者、员工满意度
Python套索回归lasso、SCAD、LARS分析棒球运动员薪水3个实例合集|附数据代码
R语言神经网络模型金融应用预测上证指数时间序列可视化
