本文将说明单变量和多变量金融时间序列的不同模型，特别是条件均值和条件协方差矩阵、波动率的模型。
均值模型
本节探讨条件均值模型。
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iid模型
我们从简单的iid模型开始。iid模型假定对数收益率xt为N维高斯时间序列：
均值和协方差矩阵的样本估计量分别是样本均值
平稳性在时间序列中是非常重要的。我们说对于一个单变量时间序列 ，平稳性分为严格平稳和弱平稳（又称协方差平稳）。我们通常讨论的平稳性都是协方差平稳，平稳的序列称为I(0)序列——即差分0次之后可以得到平稳序列。平稳的序列可以用常用的ARMA模型进行拟合。
但对于多变量时间序列来说，问题就会变得复杂。比方说 是一个多变量时间序列，它包含k个变量：
在通常情况下，如果每一个都是平稳的，
基本上也可以说是平稳的。那这种情况下，我们就可以直接分析这个多变量序列，最常见的是VARMA模型（Vector Autoregression Moving Average，向量自回归移动平均模型），也就是ARMA的多变量版。通常情况下，我们用的更多的是VAR（向量自回归）模型而忽略MA项。通过VAR我们可以进行种类繁多的各类分析和预测，包括格兰杰因果检验（Granger causality test）、脉冲响应函数（Impulse response function）和方差分解（Variance decomposition）等。
但是当中的其中一些或者全部变量是不平稳的，问题就比较麻烦了。（这里我们只考虑I(1)的情况，不考虑高阶的单整。）其实我们只需要考虑变量全部不平稳的情况就好了，如果
一部分变量平稳，一部分变量不平稳，那我们直接拆成两部分就好了，拆开来各自分析不影响整体结果。因此这里我们假定所有变量都是I(1)序列。
不平稳怎么办？最简单的办法就是差分啦，这是最方便的方法。但这里又有一个显著的问题叫信息损失，凡是差分都有这个毛病。考虑一个最常见的不平稳序列，k阶随机游走过程（random walk）
这里的 是一个k阶的白噪声（white noise）。
现在对它差分，我们得到一个平稳序列
然后我们可以对这个序列进行分析。我们要知道这个序列描述的是由第 期到第
期的变化，也就是一个短期关系。对于时间序列分析来说，我们通常长更关注的是长期关系而不是短期关系。比方说财政赤字货币化（无限印钞票）这件事，从宏观模型上看，短期内通胀不会很高，甚至还可以拉动GDP上扬，看起来就是个百利而无一害的事。但是长期来看，赤字货币化会导致恶性通货膨胀（Hyperinflation）并永久性地损害经济。如果我们用差分后的模型来做预测的话，就会陷入这样的麻烦事之中。
那什么叫长期呢？我们说“长期均衡=无条件均衡”。举个例子，假设一个AR(1)过程
那么 的长期均衡值就是
也就是说，在计算长期均衡的时候我们令第 期到第
期的取值相等！想象一下我们现在要预测2120年和2121年的失业率，我们真的会认为这两个数有什么不同么，除非去开个天眼吧……
同理，对于这个随机游走的 来说，我们的长期关系也可以通过令
来找到。这种情况下，
就会变成
所以差分并不是什么受欢迎的处理方法。那么问题来了，除了差分，我们还有别的解决方案吗？Engle和Granger给出了解决方案——协整（cointegration）。
仍然考虑随机游走模型，这里我们限制 仅包含两个变量
和
。对于一个随机游走过程来说，它最大的毛病在于随着时间的推移，这个序列可能会发散到任何地方去。
和样本协方差矩阵
我们从生成数据开始，熟悉该过程并确保估计过程给出正确的结果（即完整性检查）。然后使用真实的市场数据并拟合不同的模型。
让我们生成合成iid数据并估算均值和协方差矩阵：
# 生成综合收益数据
X <- rmvnorm(n = T, mean = mu, sigma = Sigma)
# 样本估计（样本均值和样本协方差矩阵）
mu_sm <- colMeans(X)
Sigma_scm <- cov(X)
# 误差
norm(mu_sm - mu, "2")
#> [1] 2.44
norm(Sigma_scm - Sigma, "F")
#> [1] 70.79现在，让我们针对不同数量的观测值T再做一次：
# 首先生成所有数据
X <- rmvnorm(n = T_max, mean = mu, sigma = Sigma)
# 现在遍历样本的子集
for (T_ in T_sweep) {
# 样本估算
mu_sm <- colMeans(X_)
Sigma_scm <- cov(X_)
# 计算误差
error_mu_vs_T <- c(error_mu_vs_T, norm(mu_sm - mu, "2"))
error_Sigma_vs_T <- c(error_Sigma_vs_T, norm(Sigma_scm - Sigma, "F"))
# 绘图
plot(T_sweep, error_mu_vs_T,
main = "mu估计误差",
plot(T_sweep, error_Sigma_vs_T
main = "Sigma估计中的误差", ylab = "误差"
单变量ARMA模型
对数收益率xt上的ARMA（p，q）模型是
其中wt是均值为零且方差为σ2的白噪声序列。模型的参数是系数ϕi，θi和噪声方差σ2。
请注意，ARIMA（p，d，q）模型是时间差分为d阶的ARMA（p，q）模型。因此，如果我们用xt代替对数价格，那么先前的对数收益模型实际上就是ARIMA（p，1，q）模型，因为一旦对数价格差分，我们就获得对数收益。
rugarch生成数据
我们将使用rugarch包 生成单变量ARMA数据，估计参数并进行预测。
首先，我们需要定义模型：
# 指定具有给定系数和参数的AR（1）模型
#>
#> *----------------------------------*
#> * ARFIMA Model Spec *
#> *----------------------------------*
#> Conditional Mean Dynamics
#> ------------------------------------
#> Mean Model : ARFIMA(1,0,0)
#> Include Mean : TRUE
#>
#> Conditional Distribution
#> ------------------------------------
#> Distribution : norm
#> Includes Skew : FALSE
#> Includes Shape : FALSE
#> Includes Lambda : FALSE
#> Level Fixed Include Estimate LB UB
#> mu 0.01 1 1 0 NA NA
#> ar1 -0.90 1 1 0 NA NA
#> ma 0.00 0 0 0 NA NA
#> arfima 0.00 0 0 0 NA NA
#> archm 0.00 0 0 0 NA NA
#> mxreg 0.00 0 0 0 NA NA
#> sigma 0.20 1 1 0 NA NA
#> alpha 0.00 0 0 0 NA NA
#> beta 0.00 0 0 0 NA NA
#> gamma 0.00 0 0 0 NA NA
#> eta1 0.00 0 0 0 NA NA
#> eta2 0.00 0 0 0 NA NA
#> delta 0.00 0 0 0 NA NA
#> lambda 0.00 0 0 0 NA NA
#> vxreg 0.00 0 0 0 NA NA
#> skew 0.00 0 0 0 NA NA
#> shape 0.00 0 0 0 NA NA
#> ghlambda 0.00 0 0 0 NA NA
#> xi 0.00 0 0 0 NA NA
fixed.pars
#> $mu
#> [1] 0.01
#>
#> $ar1
#> [1] -0.9
#>
#> $sigma
#> [1] 0.2
true_params
#> mu ar1 sigma
#> 0.01 -0.90 0.20然后，我们可以生成时间序列：
# 模拟一条路径
apath(spec, n.sim = T)
# 转换为xts并绘图
plot(synth_log_returns, main = "ARMA模型的对数收益率"
plot(synth_log_prices, main = "ARMA模型的对数价格"
ARMA模型
现在，我们可以估计参数（我们已经知道）：
# 指定AR（1）模型
arfimaspec(mean.model = list(armaOrder = c(1,0), include.mean = TRUE))
# 估计模型
#> mu ar1 sigma
#> 0.0083 -0.8887 0.1987
#> mu ar1 sigma
#> 0.01 -0.90 0.20
我们还可以研究样本数量T对参数估计误差的影响：
# 循环
for (T_ in T_sweep) {
estim_coeffs_vs_T <- rbind(estim_coeffs_vs_T, coef(arma_fit))
error_coeffs_vs_T <- rbind(error_coeffs_vs_T, abs(coef(arma_fit) - true_params)/true_params)
# 绘图
matplot(T_sweep, estim_coeffs_vs_T,
main = "估计的ARMA系数", xlab = "T", ylab = "值",
matplot(T_sweep, 100*error_coeffs_vs_T,
main = "估计ARMA系数的相对误差", xlab = "T", ylab = "误差 (%)",
首先，真正的μ几乎为零，因此相对误差可能显得不稳定。在T = 800个样本之后，其他系数得到了很好的估计。
ARMA预测
为了进行健全性检查，我们现在将比较两个程序包 Forecast 和 rugarch的结果：
# 指定具有给定系数和参数的AR（1）模型
spec(mean.model = list(armaOrder = c(1,0), include.mean = TRUE),
fixed.pars = list(mu = 0.005, ar1 = -0.9, sigma = 0.1))
# 生成长度为1000的序列
arfima(arma_fixed_spec, n.sim = 1000)@path$seriesSim
# 使用 rugarch包指定和拟合模型
spec(mean.model = list(armaOrder = c(1,0), include.mean = TRUE))
# 使用包“ forecast”拟合模型
#> ARIMA(1,0,0) with non-zero mean
#>
#> Coefficients:
#> ar1 mean
#> -0.8982 0.0036
#> s.e. 0.0139 0.0017
#>
#> sigma^2 estimated as 0.01004: log likelihood=881.6
#> AIC=-1757.2 AICc=-1757.17 BIC=-1742.47
# 比较模型系数
#> ar1 intercept sigma
#> -0.898181148 0.003574781 0.100222964
#> mu ar1 sigma
#> 0.003605805 -0.898750138 0.100199956确实，这两个软件包给出了相同的结果。
ARMA模型选择
在先前的实验中，我们假设我们知道ARMA模型的阶数，即p = 1和q = 0。实际上，阶数是未知的，因此必须尝试不同的阶数组合。阶数越高，拟合越好，但这将不可避免地导致过度拟合。已经开发出许多方法来惩罚复杂性的增加以避免过度拟合，例如AIC，BIC，SIC，HQIC等。
# 尝试不同的组合
# 查看排名
#> AR MA Mean ARFIMA BIC converged
#> 1 1 0 1 0 -0.38249098 1
#> 2 1 1 1 0 -0.37883157 1
#> 3 2 0 1 0 -0.37736340 1
#> 4 1 2 1 0 -0.37503980 1
#> 5 2 1 1 0 -0.37459177 1
#> 6 3 0 1 0 -0.37164609 1
#> 7 1 3 1 0 -0.37143480 1
#> 8 2 2 1 0 -0.37107841 1
#> 9 3 1 1 0 -0.36795491 1
#> 10 2 3 1 0 -0.36732669 1
#> 11 3 2 1 0 -0.36379209 1
#> 12 3 3 1 0 -0.36058264 1
#> 13 0 3 1 0 -0.11875575 1
#> 14 0 2 1 0 0.02957266 1
#> 15 0 1 1 0 0.39326050 1
#> 16 0 0 1 0 1.17294875 1
#选最好的
armaOrder
#> AR MA
#> 1 0在这种情况下，由于观察次数T = 1000足够大，因此阶数被正确地检测到。相反，如果尝试使用T = 200，则检测到的阶数为p = 1，q = 3。
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ARMA预测
一旦估计了ARMA模型参数ϕi ^ i和θ^j，就可以使用该模型预测未来的值。例如，根据过去的信息对xt的预测是
并且预测误差将为xt-x ^ t = wt（假设参数已被估计），其方差为σ2。软件包 rugarch 使对样本外数据的预测变得简单：
# 估计模型（不包括样本外）
coef(arma_fit)
#> mu ar1 sigma
#> 0.007212069 -0.898745183 0.200400119
# 整个样本外的预测对数收益
forecast_log_returns <- xts(arma_fore@forecast$seriesFor[1, ], dates_out_of_sample)
# 恢复对数价格
prev_log_price <- head(tail(synth_log_prices, out_of_sample+1), out_of_sample)
# 对数收益图
plot(cbind("fitted" = fitted(arma_fit),
# 对数价格图
plot(cbind("forecast" = forecast_log_prices,
main = "对数价格预测", legend.loc = "topleft")
多元VARMA模型
对数收益率xt上的VARMA（p，q）模型是
其中wt是具有零均值和协方差矩阵Σw的白噪声序列。该模型的参数是矢量/矩阵系数ϕ0，Φi，Θj和噪声协方差矩阵Σw。
比较
让我们首先加载S＆P500：
# 加载标普500数据
head(SP500_index_prices)
#> SP500
#> 2012-01-03 1277.06
#> 2012-01-04 1277.30
#> 2012-01-05 1281.06
#> 2012-01-06 1277.81
#> 2012-01-09 1280.70
#> 2012-01-10 1292.08
# 准备训练和测试数据
logreturns_trn <- logreturns[1:T_trn]
logreturns_tst <- logreturns[-c(1:T_trn)]
# 绘图
{ plot(logreturns,
addEventLines(xts("训练"
现在，我们使用训练数据（即，对于t = 1，…，Ttrnt = 1，…，Ttrn）来拟合不同的模型（请注意，通过指示排除了样本外数据 out.sample = T_tst）。特别是，我们将考虑iid模型，AR模型，ARMA模型以及一些ARCH和GARCH模型（稍后将对方差建模进行更详细的研究）。
# 拟合i.i.d.模型
coef(iid_fit)
#> mu sigma
#> 0.0005712982 0.0073516993
mean(logreturns_trn)
#> [1] 0.0005681388
sd(logreturns_trn)
#> [1] 0.007360208
# 拟合AR（1）模型
coef(ar_fit)
#> mu ar1 sigma
#> 0.0005678014 -0.0220185181 0.0073532716
# 拟合ARMA（2,2）模型
coef(arma_fit)
#> mu ar1 ar2 ma1 ma2 sigma
#> 0.0007223304 0.0268612636 0.9095552008 -0.0832923604 -0.9328475211 0.0072573570
# 拟合ARMA（1,1）+ ARCH（1）模型
coef(arch_fit)
#> mu ar1 ma1 omega alpha1
#> 6.321441e-04 8.720929e-02 -9.391019e-02 4.898885e-05 9.986975e-02
#拟合ARMA（0,0）+ARCH（10）模型
coef(long_arch_fit)
#> mu omega alpha1 alpha2 alpha3 alpha4 alpha5
#> 7.490786e-04 2.452099e-05 6.888561e-02 7.207551e-02 1.419938e-01 1.909541e-02 3.082806e-02
#> alpha6 alpha7 alpha8 alpha9 alpha10
#> 4.026539e-02 3.050040e-07 9.260183e-02 1.150128e-01 1.068426e-06
# 拟合ARMA（1,1）+GARCH（1,1）模型
coef(garch_fit)
#> mu ar1 ma1 omega alpha1 beta1
#> 6.660346e-04 9.664597e-01 -1.000000e+00 7.066506e-06 1.257786e-01 7.470725e-01我们使用不同的模型来预测对数收益率：
# 准备预测样本外周期的对数收益
# i.i.d.模型预测
forecast(iid_fit, n.ahead = 1, n.roll = T_tst - 1)
dates_out_of_sample)
# AR（1）模型进行预测
forecast(ar_fit, n.ahead = 1, n.roll = T_tst - 1)
dates_out_of_sample)
# ARMA（2,2）模型进行预测
forecast(arma_fit, n.ahead = 1, n.roll = T_tst - 1)
dates_out_of_sample)
# 使用ARMA（1,1）+ ARCH（1）模型进行预测
forecast(arch_fit, n.ahead = 1, n.roll = T_tst - 1)
dates_out_of_sample)
# ARMA（0,0）+ARCH（10）模型预测
forecast(long_arch_fit, n.ahead = 1, n.roll = T_tst - 1)
dates_out_of_sample)
# ARMA（1,1）+GARCH（1,1）模型预测
forecast(garch_fit, n.ahead = 1, n.roll = T_tst - 1)
dates_out_of_sample)我们可以计算不同模型的预测误差（样本内和样本外）：
print(error_var)
#> in-sample out-of-sample
#> iid 5.417266e-05 8.975710e-05
#> AR(1) 5.414645e-05 9.006139e-05
#> ARMA(2,2) 5.265204e-05 1.353213e-04
#> ARMA(1,1) + ARCH(1) 5.415836e-05 8.983266e-05
#> ARCH(10) 5.417266e-05 8.975710e-05
#> ARMA(1,1) + GARCH(1,1) 5.339071e-05 9.244012e-05我们可以观察到，随着模型复杂度的增加，样本内误差趋于变小（由于拟合数据的自由度更高），尽管差异可以忽略不计。
重要的实际上是样本外误差：我们可以看到，增加模型复杂度可能会得出较差的结果。就预测收益的误差而言，似乎最简单的iid模型已经足够了。
最后，让我们展示一些样本外误差的图表：
plot(error,
main = "不同模型收益预测的样本外误差",
请注意，由于我们没有重新拟合模型，因此随着时间的发展，误差越大（对于ARCH建模尤其明显）。
滚动窗口比较
让我们首先通过一个简单的示例比较静态预测与滚动预测的概念：
#ARMA（2,2）模型
spec <- spec(mean.model = list(armaOrder = c(2,2), include.mean = TRUE))
# 静态拟合和预测
ar_static_fit <- fit(spec = spec, data = logreturns, out.sample = T_tst)
#滚动拟合和预测
modelroll <- aroll(spec = spec, data = logreturns, n.ahead = 1,
# 预测图
plot(cbind("static forecast" = ar_static_fore_logreturns,
main = "使用ARMA（2,2）模型进行预测", legend.loc = "topleft")
# 预测误差图
plot(error_logreturns, col = c("black", "red"), lwd = 2,
main = "ARMA（2,2）模型的预测误差", legend.loc = "topleft")
我们可以清楚地观察到滚动窗口过程对时间序列的影响。
现在，我们可以在滚动窗口的基础上重做所有模型的所有预测：
# 基于i.i.d.模型的滚动预测
roll(iid_spec, data = logreturns, n.ahead = 1, forecast.length = T_t
# AR（1）模型的滚动预测
roll(ar_spec, data = logreturns, n.ahead = 1, forecast.length = T_tst,
# ARMA（2,2）模型的滚动预测
roll(arma_spec, data = logreturns, n.ahead = 1, forecast.length = T_tst,
# ARMA（1,1）+ ARCH（1）模型的滚动预测
roll(arch_spec, data = logreturns, n.ahead = 1, forecast.length = T_tst,
refit.every = 50, refit.win
# ARMA（0,0）+ ARCH（10）模型的滚动预测
roll(long_arch_spec, data = logreturns, n.ahead = 1, forecast.length = T_tst,
refit.every = 50,
# ARMA（1,1）+ GARCH（1,1）模型的滚动预测
roll(garch_spec, data = logreturns, n.ahead = 1, forecast.length = T_tst,
refit.every = 50, refit.window让我们看看滚动基准情况下的预测误差：
print(rolling_error_var)
#> in-sample out-of-sample
#> iid 5.417266e-05 8.974166e-05
#> AR(1) 5.414645e-05 9.038057e-05
#> ARMA(2,2) 5.265204e-05 8.924223e-05
#> ARMA(1,1) + ARCH(1) 5.415836e-05 8.991902e-05
#> ARCH(10) 5.417266e-05 8.976736e-05
#> ARMA(1,1) + GARCH(1,1) 5.339071e-05 8.895682e-05和一些图表：
plot(error_logreturns,
main = "不同模型的滚动预测误差", legend.loc = "topleft"
我们看到，现在所有模型都拟合了时间序列。此外，我们在模型之间没有发现任何显着差异。
我们最终可以比较静态误差和滚动误差：
barplot(rbind(error_var[, "out-of-sample"], rolling_error_var[, "out-of-sample"])
col = c("darkblue", "darkgoldenrod"),
legend = c("静态预测", "滚动预测"),
我们可以看到，滚动预测在某些情况下是必须的。因此，实际上，我们需要定期进行滚动预测改进。
方差模型
ARCH和GARCH模型
对数收益率残差wt的ARCH（m）模型为
其中zt是具有零均值和恒定方差的白噪声序列，而条件方差σ2t建模为
其中，m为模型阶数，ω> 0，αi≥0为参数。
GARCH（m，s）模型使用σ2t上的递归项扩展了ARCH模型：
其中参数ω> 0，αi≥0，βj≥0需要满足∑mi =1αi+ ∑sj = 1βj≤1的稳定性。
rugarch生成数据
首先，我们需要定义模型：
# 指定具有给定系数和参数的GARCH模型
#>
#> *---------------------------------*
#> * GARCH Model Spec *
#> *---------------------------------*
#>
#> Conditional Variance Dynamics
#> ------------------------------------
#> GARCH Model : sGARCH(1,1)
#> Variance Targeting : FALSE
#>
#> Conditional Mean Dynamics
#> ------------------------------------
#> Mean Model : ARFIMA(1,0,0)
#> Include Mean : TRUE
#> GARCH-in-Mean : FALSE
#>
#> Conditional Distribution
#> ------------------------------------
#> Distribution : norm
#> Includes Skew : FALSE
#> Includes Shape : FALSE
#> Includes Lambda : FALSE
#> Level Fixed Include Estimate LB UB
#> mu 0.005 1 1 0 NA NA
#> ar1 -0.900 1 1 0 NA NA
#> ma 0.000 0 0 0 NA NA
#> arfima 0.000 0 0 0 NA NA
#> archm 0.000 0 0 0 NA NA
#> mxreg 0.000 0 0 0 NA NA
#> omega 0.001 1 1 0 NA NA
#> alpha1 0.300 1 1 0 NA NA
#> beta1 0.650 1 1 0 NA NA
#> gamma 0.000 0 0 0 NA NA
#> eta1 0.000 0 0 0 NA NA
#> eta2 0.000 0 0 0 NA NA
#> delta 0.000 0 0 0 NA NA
#> lambda 0.000 0 0 0 NA NA
#> vxreg 0.000 0 0 0 NA NA
#> skew 0.000 0 0 0 NA NA
#> shape 0.000 0 0 0 NA NA
#> ghlambda 0.000 0 0 0 NA NA
#> xi 0.000 0 0 0 NA NA
#> $mu
#> [1] 0.005
#>
#> $ar1
#> [1] -0.9
#>
#> $omega
#> [1] 0.001
#>
#> $alpha1
#> [1] 0.3
#>
#> $beta1
#> [1] 0.65
true_params
#> mu ar1 omega alpha1 beta1
#> 0.005 -0.900 0.001 0.300 0.650然后，我们可以生成收益率时间序列：
# 模拟一条路径
hpath(garch_spec, n.sim = T)
#> num [1:2000, 1] 0.167 -0.217
# 绘图对数收益
{ plot(synth_log_returns, main = "GARCH模型的对数收益", lwd = 1.5)
lines(synth_volatility
GARCH
现在，我们可以估计参数：
# 指定一个GARCH模型
ugarchspec(mean.model = list(armaOrder = c(1,0)
# 估计模型
coef(garch_fit)
#> mu ar1 omega alpha1 beta1
#> 0.0036510100 -0.8902333595 0.0008811434 0.2810460728 0.6717486402
#> mu ar1 omega alpha1 beta1
#> 0.005 -0.900 0.001 0.300 0.650
# 系数误差
#> mu ar1 omega alpha1 beta1
#> 0.0013489900 0.0097666405 0.0001188566 0.0189539272 0.0217486402我们还可以研究样本数量T对参数估计误差的影响：
# 循环
for (T_ in T_sweep) {
garch_fit
error_coeffs_vs_T <- rbind(error_coeffs_vs_T, abs((coef(garch_fit) - true_params)/true_params))
estim_coeffs_vs_T <- rbind(estim_coeffs_vs_T, coef(garch_fit))
# 绘图
matplot(T_sweep, 100*error_coeffs_vs_T,
main = "估计GARCH系数的相对误差", xlab = "T", ylab = "误差 (%)",
真实的ω几乎为零，因此误差非常不稳定。至于其他系数，就像在ARMA情况下一样，μ的估计确实很差（相对误差超过50％），而其他系数似乎在T = 800个样本后得到了很好的估计。
GARCH结果比较
作为健全性检查，我们现在将比较两个软件包 fGarch 和 rugarch的结果：
# 指定具有特定参数值的ARMA（0,0）-GARCH（1,1）作为数据生成过程
garch_spec
#生成长度为1000的数据
path(garch_fixed_spec, n.sim = 1000)@path$
# 使用“ rugarch”包指定和拟合模型
rugarch_fit <- ugarchfit(spec = garch_spec, data = x)
# 使用包“ fGarch”拟合模型
garchFit(formula = ~ garch(1, 1), data = x, trace = FALSE)
# 比较模型系数
#> mu omega alpha1 beta1
#> 0.09749904 0.01395109 0.13510445 0.73938595
#> mu omega alpha1 beta1
#> 0.09750394 0.01392648 0.13527024 0.73971658
# 比较拟合的标准偏差
print(head(fGarch_fi
#> [1] 0.3513549 0.3254788 0.3037747 0.2869034 0.2735266 0.2708994
print(head(rugar
#> [1] 0.3538569 0.3275037 0.3053974 0.2881853 0.2745264 0.2716555确实，这两个软件包给出了相同的结果。
使用rugarch包进行GARCH预测
一旦估计出GARCH模型的参数，就可以使用该模型预测未来的值。例如，基于过去的信息对条件方差的单步预测为
给定ω^ /（1-∑mi =1α^ i-∑sj =1β^ j）。软件包 rugarch 使对样本外数据的预测变得简单：
# 估计模型，不包括样本外
garch_fit
coef(garch_fit)
#> mu ar1 omega alpha1 beta1
#> 0.0034964331 -0.8996287630 0.0006531088 0.3058756796 0.6815452241
# 预测整个样本的对数收益
garch_fore@forecast$sigmaFor[1, ]
# 对数收益图
plot(cbind("fitted" = fitted(garch_fit),
main = "合成对数收益预测", legend.loc = "topleft")
#波动率对数收益图
plot(cbind("fitted volatility" = sigma(garch_fit),
main = "预测合成对数收益率的波动性", legend.loc = "topleft")
不同方法
让我们首先加载S＆P500：
# 加载标准普尔500指数数据
head(SP500_index_prices)
#> SP500
#> 2008-01-02 1447.16
#> 2008-01-03 1447.16
#> 2008-01-04 1411.63
#> 2008-01-07 1416.18
#> 2008-01-08 1390.19
#> 2008-01-09 1409.13
# 准备训练和测试数据
x_trn <- x[1:T_trn]
x_tst <- x[-c(1:T_trn)]
# 绘图
{ plot(x, main = "收益"
addEventLines(xts("训练", in
常数
让我们从常数开始：
plot(cbind(sqrt(var_constant), x_trn)
main = "常数")
移动平均值
现在，让我们使用平方收益的移动平均值：
plot(cbind(sqrt(var_t), x_trn),
main = "基于简单滚动平方均值的包络线(时间段=20)
EWMA
指数加权移动平均线（EWMA）：
请注意，这也可以建模为ETS（A，N，N）状态空间模型：
plot(cbind(std_t, x_trn),
main = "基于平方EWMA的包络")
乘法ETS
我们还可以尝试ETS模型的不同变体。例如，具有状态空间模型的乘性噪声版本ETS（M，N，N）：
plot(cbind(std_t, x_trn), col = c("red", "black")
main = "基于平方的ETS（M，N，N）的包络"
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ARCH
现在，我们可以使用更复杂的ARCH建模：
plot(cbind(std_t, x_trn), col = c("red", "black")
main = "基于ARCH(5)的包络")
GARCH
我们可以将模型提升到GARCH：
plot(cbind(std_t, x_trn), col = c("red", "black")
main = "基于GARCH（1,1）的包络")
SV随机波动率
最后，我们可以使用随机波动率建模：
或者，等效地，
plot(cbind(std_t, x_trn), col = c("red", "black"),
main = "基于随机波动率的包络分析")
比较
现在，我们可以比较每种方法在样本外期间的方差估计中的误差：
#> MA EWMA ETS(M,N,N) ARCH(5) GARCH(1,1) SV
#> 2.204965e-05 7.226188e-06 3.284057e-06 7.879039e-05 6.496545e-06 6.705059e-06
barplot(error_all, main = "样本外方差估计中的误差"
滚动窗口比较
六种方法的滚动窗口比较：MA，EWMA，ETS（MNN），ARCH（5），GARCH（1,1）和SV。
#滚动窗口
lookback <- 200
len_tst <- 40
for (i in seq(lookback, T-len_tst, by = len_tst)) {
# MA
var_t <- roll_meanr(x_trn^2, n = 20, fill = NA)
var_fore <- var(x_trn/sqrt(var_t), na.rm = TRUE) * tail(var_t, 1)
error_ma <- c(error_ma, abs(var_fore - var_tst))
# EWMA
error_ewma <- c(error_ewma, abs(var_fore - var_tst))
# ETS(M,N,N)
error_ets_mnn <- c(error_ets_mnn, abs(var_fore - var_tst))
# ARCH
error_arch <- c(error_arch, abs(var_fore - var_tst))
# GARCH
error_garch <- c(error_garch, abs(var_fore - var_tst))
# SV
error_sv <- c(error_sv, abs(var_fore - var_tst))
}
barplot(error_all, main = "方差估计误差",
多元GARCH模型
出于说明目的，我们将仅考虑恒定条件相关（CCC）和动态条件相关（DCC）模型，因为它们是最受欢迎的模型。对数收益率残差wt建模为
其中zt是具有零均值和恒定协方差矩阵II的iid白噪声序列。条件协方差矩阵Σt建模为
其中Dt = Diag（σ1，t，…，σN，t）是标准化噪声向量C，协方差矩阵ηt=C-1wt（即，它包含等于1的对角线元素）。
基本上，使用此模型，对角矩阵Dt包含一组单变量GARCH模型，然后矩阵C包含序列之间的一些相关性。该模型的主要缺点是矩阵C是恒定的。为了克服这个问题，DCC被提议为
其中Ct包含等于1的对角元素。要强制等于1的对角元素，Engle将其建模为
Qt具有任意对角线元素并遵循模型
我们将生成数据，估计参数和预测。
从加载多元ETF数据开始：
- SPDR S＆P 500 ETF
- 20年以上国债ETF
- IEF：7-10年期国债ETF
# 下载数据
prices <- xts()
head(prices)
#> SPY TLT IEF
#> 2013-01-02 127.8779 99.85183 93.65224
#> 2013-01-03 127.5890 98.49886 93.17085
#> 2013-01-04 128.1493 98.88306 93.21463
#> 2013-01-07 127.7991 98.92480 93.26714
#> 2013-01-08 127.4314 99.57622 93.49468
#> 2013-01-09 127.7553 99.48438 93.54719
# 绘制三个对数价格序列
plot(log(prices)
main = "三个ETF的对数价格", legend.loc = "topleft")
首先，我们定义模型：
# 指定i.i.d.单变量时间序列模型
ugarch_spec
# 指定DCC模型
spec( multispec(replicate(spec, n = 3))
接下来，我们拟合模型：
# 估计模型
#>
#> *---------------------------------*
#> * DCC GARCH Fit *
#> *---------------------------------*
#>
#> Distribution : mvnorm
#> Model : DCC(1,1)
#> No. Parameters : 44
#> [VAR GARCH DCC UncQ] : [30+9+2+3]
#> No. Series : 3
#> No. Obs. : 1007
#> Log-Likelihood : 12198.4
#> Av.Log-Likelihood : 12.11
#>
#> Optimal Parameters
#> -----------------------------------
#> Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)
#> [SPY].omega 0.000004 0.000000 11.71585 0.000000
#> [SPY].alpha1 0.050124 0.005307 9.44472 0.000000
#> [SPY].beta1 0.870051 0.011160 77.96041 0.000000
#> [TLT].omega 0.000001 0.000001 0.93156 0.351563
#> [TLT].alpha1 0.019716 0.010126 1.94707 0.051527
#> [TLT].beta1 0.963760 0.006434 149.79210 0.000000
#> [IEF].omega 0.000000 0.000001 0.46913 0.638979
#> [IEF].alpha1 0.031741 0.023152 1.37097 0.170385
#> [IEF].beta1 0.937777 0.016498 56.84336 0.000000
#> [Joint]dcca1 0.033573 0.014918 2.25044 0.024421
#> [Joint]dccb1 0.859787 0.079589 10.80278 0.000000
#>
#> Information Criteria
#> ---------------------
#>
#> Akaike -24.140
#> Bayes -23.925
#> Shibata -24.143
#> Hannan-Quinn -24.058
#>
#>
#> Elapsed time : 0.8804049我们可以绘制时变相关性：
# 提取时变协方差和相关矩阵
dim(dcc_cor)
#> [1] 3 3 1007
#绘图
plot(corr_t
main = "时变相关", legend.loc = "left")
我们看到两个收益ETF之间的相关性非常高且相当稳定。与SPY的相关性较小，在小于0的区间波动。
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