风险价值是衡量与投资组合相关的风险水平的统计方法。

由Kaizong Ye，Coin Ge撰写

风险价值在指定的时间范围内和给定的置信水平下测量最大损失量。

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首先，它的英文值是价值的风险性，缩写一般是风险价值而不是无功，后者通常是指方差是方差。

VAR的两种计算方法分别为：历史模拟法和模型构造法

历史模拟法：顾名思义就是在“历史会重演”的假设下进行Var的计算的，

整体的思路：就是计算出某一金融变量相隔两天之间的变化率，简单来说就是今天到明天是上涨了多少钱还是下降多少钱，然后把这个变化量加上当前金融变量对应的值就叫做一个历史情景，然后计算出很多个情景，然后减去本金，并用这个差值然后降序排序，之后按要求把某个情景的值作为历史模拟的VAR

对于数据下标的规定：一般越靠近当前时刻的下标越大，即把样本数据按时间升序排列后的最新的数据是在最后，之后给数据从0开始标序号，情景1就是0天到1天的变化。在本文中设样本个数为n+1个，由于n是从0开始计数，所以最新一天的金融变量对应的值为 $v_n$

结合上面的规定我们可以得出第i个情景为 $v_n\frac{v_i}{v_{i-1}}$ ,利用这个公式可以计算出n个情景，减去本金，并用这个差值然后降序排序，之后按照要求的置信水平确定VAR即可

压力VAR:这个VAR和上面那个的区别就是在于样本的选择的不同，压力VAR要求的样本数据是对应的金融变量在样本展望期内表现比较差的数据计算出的VAR

VAR的精度：所谓精度其实是取决我们对于对于损失总体分布的估计，由于我们的样本有限，所以总是会存在误差，所以我们这里就是通过假设整体的损失分布为某个分布，并据此来计算出所谓的“真正VAR”并与历史模拟法中的VAR进行估计比较来看看历史模拟法中VAR的精度，由肯德尔给出这个估计的标准误差为 $\frac{1}{f(x)}\sqrt{\frac{(1-q)q}{n}}$ ,其中 $f(x)$ 是损失分布的密度函数值，q为第q个分位数，n为样本个数。

历史模拟法的推广：就是考虑到金融变量的集聚效应来提出改进的，所谓的集聚效应一般是用来描述波动率，就是一个大波动后面会跟着几个较大的波动，有点类似半衰期的味道，这个效应表明离现在越近的变化对接下来的影响越大，所以为了突出这个影响我们有必要设计个方法。
教材中介绍的方法是这样的，就是给每天变量一个权重这个权重随时间往过去推，越过去越小，这个权重的公式为 $\frac{\lambda^{n-i}(1-\lambda)}{1-\lambda^n}$ ,然后剩下的操作和没改进之前一致，就是算和排序，只不过这个排序要把这个权重附带进去，说人话就是在EXCEL中情景值一列，权重一列，然后选中两列按情景值那一列排序，然后就是结果了，现在重点到了，就是选VAR不再是看情景值，而是按累积权重来选，比如我要选累积权重为0.01的，也就是1%，我就把权重从第一个逐个往下加，加到1%就停止，对应那个就是改进后的VAR

在历史模拟法中包含波动率的更新：就是采用就是采用某种方式进行波动率的更新，之后当前时刻预测下一天的波动率和对应情景的波动率的比值作为增量的权重，这一种改进是直接修改情景的值，之后利用修改的值进行排序，对应的公式为 $v_n\frac{v_{i-1}+(v_i-v_{i-1})\frac{\sigma_{n+1}}{\sigma_{i}}}{v_{i-1}}$

极值理论：VAR本质是一种关于损失分布函数的分位数，而且由于一般都是讨论置信水平为90%以上的分布，而实际上正态分布又不能满足实际应用，所以有必要单独来讨论一下分布的尾部分布情况，而描述尾部分布这一学科的理论学名就叫做极值理论，下面简单说下极值理论的推导过程

由于不同分布对应的尾部是不一样的，所以我们研究第一步是要考虑这么表示尾部的分布，在教材中给出的分布为 $F_n(y)=\frac{F(u+y)-F(u)}{1-F(u)}$ ,分子部分描述的就是在u之后某一点的概率，分母表示u之后的全部概率，这里的思路就是相当把尾部单独分隔出来讨论之后研究其分布，然后再返回原来分布，所以这个分布叫做条件概率分布，然后Gendenko研究表明这个分布服从广义Pareto分布，对应该分布的累积分布函数为 $G_{\xi,\beta}(y)=1-(1+\xi\frac{y}{\beta})^{-\frac{1}{\xi}}$ 其中 $\xi,\beta$ 是通过样本数据进行估计的， $\xi$ 决定尾部分布的肥廋， $\beta$ 是分布的规模因子
这两个参数可以用最大似然估计进行统计，统计量为
$\prod_{i=1}^{n_u}\frac{1}{\beta}\left( 1+\frac{\xi(v_i-u)}{\beta}\right)^{-\frac{1}{\xi}-1}$ , $y=v_i-u$ ,u就是我们要确定的VAR对应的分位数，这个由我们自己按照需要确定，然后 $v_i$ 就是观察值大于 $u$ 的样本，这部分样本的个数就是 $n_u$ ，通过计算这个值，并使其最大化就可以估计出参数
由于这个分布估计出来是条件分布，而在实际应用时我们是要讨论原来那个分布，就是那个无条件分布，所以需要对这个进行变形,
在 $v>u” style=”vertical-align: middle; margin-right: 3px; margin-left: 3px; display: inline-block;”> 条件下， <img decoding=$ ; $v>u” style=”vertical-align: middle; margin-right: 3px; margin-left: 3px; display: inline-block;”> 的概率分布为 <img decoding=$ ,因此无条件分布就是 $\left[1-F(u)\right]\left[1-G_{\xi,\beta}(v-u)\right]$ 由实证数据得出的 $\left[1-F(u)\right]=\frac{n_u}{n}$ ,所以上式可以改写为 $Prob(v>x)=\frac{n_u}{n}\left[1-G_{\xi,\beta}(x-u)\right]=\frac{n_u}{n}\left(1+\xi\frac{x-u}{\beta}\right)^{-\frac{1}{\xi}}” style=”vertical-align: middle; margin-right: 3px; margin-left: 3px; display: inline-block;”><br>得到这个无条件概率分布之后我们就可以用来计算VAR了，计算方法如下<br>假设我们是为了计算置信水平为 <img decoding=$ 的VAR，那么我们需要对以下方程求解 $F(VaR)=q$ ，因为 $F(x)=1-Prob(v>x)” style=”vertical-align: middle; margin-right: 3px; margin-left: 3px; display: inline-block;”> ,结合上式得到 <img decoding=$ 因此VaR $VaR=u+\frac{\beta}{\xi}\left[\left(\frac{n}{n_u}(1-q)\right)^{-\xi}-1\right]$ ,这里 $预期亏损=\frac{VaR+\beta-\xi u}{1-\xi}$

模型构建法

又名方差-协方差法，在这个方法中，我们需要对市场变量的联合分布做出一定的假设，并用历史数据来估计模型中的参数

基本假设：（1）多个市场变量每天的百分比变化服从正态分布
（2）交易组合价值每天的变化也服从正态分布，因为这样可以很容易计算出组合VaR （3）市场变量的价格变化的期望值为0，当然这个假设你相对于标准差而言的，就是标准差的变化比较大，但是其价格变化实际上变化不大，如果价格最终的变化过大，那么就代表会有巨大的盈或亏

从上面的讲述我们可以得出：这个方法的关键是要计算出分布的标准差，因为均值我们已经假设为0，所以这个方法才又名方差-协方差。

这里的关键是要怎么计算多个的变量组合的方差

由统计知识得出组合日回报率的总方差为 $\sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{n} \rho_{i j} w_{i} w_{j} \sigma_{i} \sigma_{j}$ ，其中 $\rho_{ij}$ 代表 $i，j$ 之间的相关系数， $\omega$ 为对应资产占组合总资产的比例， $\sigma$ 为资产的波动率

在风险价值出现以前，风险一般是用方差衡量的。方差虽然可以很好的表达风险资产在一段时间里的变化的激烈程度，但并不直观。假如我说『我的股票去年方差是400』，一般投资者很难理解这个数字的含义。假如开个方变成标准方差，加上单位，说『我的股票去年标准方差是20万』，这意味着『我的股票去年平均涨跌20万』，就相对好理解一些。

而且很多时候我们并不关心平均起伏，而是“最大的损失”，而风险价值是摩根大通那一批发明的指标，我可以说“我的股票去年99％的风险值是30万“意味着我的股票去年的99％的亏损不到30万。作为一般投资者，可能会知道他们是否有风险。

视频

风险价值VaR原理与Python蒙特卡罗Monte Carlo模拟计算投资组合实例

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