这里我们只说明在t=3时对局部模型的估计。我们在左边的面板上看到这个时间序列的10个时间点。红色的一列w\_t\_e=3表示我们在t=3时估计局部模型可能使用的一组权重：接近t=3的时间点的数据得到最高的权重，而更远的时间点得到越来越小的权重。定义这些权重的函数显示在右图中。左图中的蓝色柱子和右边相应的蓝色函数表示另一种可能的加权。使用这种加权，我们结合了更少的时间上接近的观测值。这使我们能够在参数中检测到更多的 “时间可变性”，因为我们对更少的时间点进行了平滑处理。然而，另一方面，我们使用的数据较少，这使得我们的估计值不太可靠。因此，选择一个加权函数，在对 “时变性 “的敏感性和稳定的估计之间取得良好的平衡是很重要的。在这里介绍的方法中，我们使用了一个高斯加权函数（也称为核），它是由其标准差（或带宽）定义的。我们将在下面讨论如何选择一个好的带宽参数。

time_data包含每个测量的时间信息。我们将利用测量发生的日期、测量提示和时间戳（time）。

选择最佳带宽

选择好的带宽参数的方法之一是在训练数据集上用不同的候选带宽参数拟合时变模型，并在测试数据集上评估它们的预测误差。此外，数据驱动的带宽选择可能需要相当长的时间来运行。因此，在本文中，我们只是将带宽固定为已经选择的最佳值。

bandwidth <- .26

估计时变var模型

我们现在可以指定时间变化的VAR模型的估计。我们提供数据作为输入，并通过type和level参数指定变量的类型以及它们有多少个类别。在我们的例子中，所有的变量都是连续的，因此我们设置type = rep(“g”)表示连续高斯。我们选择用lambdaSel = “CV “的交叉验证法来选择正则化参数，并且我们指定VAR模型应该包括一个滞后期=1的单滞后期。参数bee和day提供了每个测量的日期和某一天的通知数量。此外，我们还提供了所有测量的时间戳，时间点=time，来说明缺失的测量。然而，请注意，我们仍然假设滞后期大小为1。时间戳只是用来确保加权确实给那些最接近当前估计点的时间点最高的权重。

对于时变模型，我们需要指定两个额外的参数。首先，用 seq(0, 1, length = 20)我们指定我们想在整个时间序列的持续时间内估计20个局部模型（被归一化为[0,1]）。估计点的数量可以任意选择，但在某些时候，增加更多的估计点意味着增加了不必要的计算成本，因为后续的局部模型基本上是相同的。最后，我们用带宽参数指定带宽。

# 完整数据集的估算模型
tvvar(data,
                    type = rep("g"),
                    lambdaSel = "CV",
                    lags = 1,
                    estpoints = seq(0, 1, length = 20), 
                    bandwidth = bandwidth,

计算时变预测误差

与标准VAR模型类似，我们可以计算预测误差。从模型对象中提供新数据和变量可以计算新样本的预测误差。

参数errorCon = c(“R2”, “RMSE”)指定解释方差的比例（R^2）和均方根误差（RMSE）作为预测误差。最后一个参数Method指定了如何计算时间变化的预测误差。选项Method = “closestModel “使用最接近的局部模型对一个时间点进行预测。这里选择的选项tvMethod = “weighted”，提供了所有局部模型预测的加权平均值，使用以当前时间点的位置为中心的加权函数进行加权。通常情况下，这两种方法得到的结果非常相似。

pred_obj <- predict(object = obj, 
                    data = data, 
                    errorCon = c("R2", "RMSE"),
                    Method = "weighted")

主要的输出是以下两个对象。

将模型的部分内容可视化

我们看到，VAR 模型中的一些参数随时间变化很大。例如，”放松 “的自相关效应似乎随着时间的推移而减少，”强烈 “对 “满意 “的正效应只出现在估计点20，”满意 “对 “有罪 “的负效应也只出现在估计点20。

我们可以通过绘制这些单个参数与时间的函数来放大它们。

# 画图
title(xlab = "估计点", cex.lab = 1.2)
title(ylab = "参数估计", cex.lab = 1.2)

for(i in 1:nrow(display)) {
  lines(1:20, ests\[par_row\[1\], \], lty = i) 


legend<- c(expression("轻松"\["t-1"\]  %->%  "轻松"\["t"\]),
                   expression("强烈"\["t-1"\]  %->%  "满意"\["t"\]),
                   expression("满意"\["t-1"\]  %->%  "惭愧"\["t"\]))

我们看到，在时间序列的开始阶段，”放松 “对其本身的影响是比较强的，但随后会向零下降，并在估计点13左右保持零。“强烈”对“满意”对下一个时间点的交叉滞后效应在估计点9之前等于零，但随后似乎单调地增加。最后，”满意 “对 “惭愧 “的交叉滞后效应也等于零，直到估计点13附近，然后单调地减少了。

估计的稳定性

与标准模型类似，可以使用bootstrap采样分布来评估时变参数的稳定性。

是否有时间变化？

在某些情况下，可能需要决定一个VAR模型的参数是否具有可靠的时变性。为了做出这样的决定，我们可以使用一个假设检验，其原假设是模型不具有时变性。下面是进行这种假设检验的一种方法。首先对数据进行标准的VAR模型的拟合，然后反复模拟这个估计模型的数据。对于每个模拟的时间序列数据集，我们计算出时变模型的集合预测误差。这些预测误差的分布可作为原假设下预测误差的抽样分布。现在我们可以计算时变VAR模型在经验数据上的集合估计误差，并将其作为一个测试统计量。

总结

在本文中，我展示了如何用核平滑法估计一个时变VAR模型，该方法是基于所有参数是时间的平滑函数的假设。除了估计模型外，我们还讨论了选择适当的带宽参数，如何计算（时变的）预测误差，以及如何将模型的不同方面可视化。最后，介绍了如何通过bootstrap法评估估计值的稳定性，以及如何进行假设检验，人们可以用它来选择标准的和时变的VAR模型。