R语言多分类logistic逻辑回归模型在混合分布模拟个人风险损失值评估的应用

通常，我们在回归模型中一直说的一句话是“ 请查看一下数据 ”。

在上一篇文章中，我们没有查看数据。如果我们查看个人损失的分布，那么在数据集中，我们会看到以下内容：

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> n=nrow(couts)
> plot(sort(couts$cout),(1:n)/(n+1),xlim=c(0,10000),type="s",lwd=2,col="green")

看来我们的数据库中有固定成本索赔。在标准情况下，我们如何处理？我们可以在这里使用混合分布，

与

小额索赔的分布 $https://latex.codecogs.com/gif.latex?{\color{Blue}%20f_1(}\cdot{\color{Blue}%20）}$ ，例如指数分布
狄拉克分布 $https://latex.codecogs.com/gif.latex?{\color{Magenta}%20\kappa}$ ，即 $https://latex.codecogs.com/gif.latex?{\color{Magenta}%20\delta_{\kappa}(}\cdot{\color{Magenta}%20）}$
分布 $https://latex.codecogs.com/gif.latex?{\color{Red}%20f_3(}\cdot{\color{Red}%20）}$ ，例如Gamma分布或对数正态分布

>  I1=which(couts$cout<1120)
>  I2=which((couts$cout>=1120)&(couts$cout<1220))
>  I3=which(couts$cout>=1220)
>  (p1=length(I1)/nrow(couts))
[1] 0.3284823
>  (p2=length(I2)/nrow(couts))
[1] 0.4152807
>  (p3=length(I3)/nrow(couts))
[1] 0.256237
>  X=couts$cout
>  (kappa=mean(X[I2]))
[1] 1171.998

在上一篇文章中，我们讨论了所有参数可能与某些协变量相关的想法，即

https://latex.codecogs.com/gif.latex?f（y | \ boldsymbol {X}）％20 =％20p_1（\ boldsymbol {X}）％20 {\ color {Blue}％20f_1（} y | \ boldsymbol {X} {\ color {Blue}％20）}％20 +％20p_2（\ boldsymbol {X}）％20 {\ color {Magenta}％20 \ delta _ {\ kappa}（} y {\ color {洋红色}％20）}％20 +％20p_3（\ boldsymbol {X}）％20 {\ color {Red}％20f_3（} y | \ boldsymbol {X} {\ color {Red}％20）}

产生以下模型，

对于概率，我们应该使用多项式模型。回忆一下逻辑回归模型，如果 $https://latex.codecogs.com/gif.latex?(\pi,1-\pi)=(\pi_1,\pi_2）$ ，则

https://latex.codecogs.com/gif.latex?\log%20\frac{\pi}{1-\pi}=\log%20\frac{\pi_1}{\pi_2}%20=\boldsymbol {X}％27 \ boldsymbol {\ beta}

即

https://latex.codecogs.com/gif.latex?\pi_2%20=%20\frac{1}{1+\exp(\boldsymbol{X}%27\boldsymbol{\beta}）}

要导出多元扩展

和

https://latex.codecogs.com/gif.latex?\pi_3%20=%20\frac{1}{1+\exp(\boldsymbol{X}%27\boldsymbol{\beta}_1)+\exp （\ boldsymbol {X}％27 \ boldsymbol {\ beta} _2）}

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同样，可以使用最大似然，因为

在这里，变量 $https://latex.codecogs.com/gif.latex?Y_{i}$ （分为三个级别）分为三个指标（就像标准回归模型中的任何分类解释变量一样）。从而，

https://latex.codecogs.com/gif.latex?\log%20\mathcal{L}(\boldsymbol{\beta},\boldsymbol{y})\propto%20\sum_{i=1}^n ％20 \ sum_ {j = 1} ^ 2％20 \ left（Y_ {i，j}％20 \ boldsymbol {X} _i％27 \ boldsymbol {\ beta} _j \ right）％20-％20n_i \ log \左[1 + 1 + \ exp（\ boldsymbol {X}％27 \ boldsymbol {\ beta} _1）+ \ exp（\ boldsymbol {X}％27 \ boldsymbol {\ beta} _2）\ right]

对于逻辑回归，然后使用牛顿拉夫森（Newton Raphson）算法在数值上计算最大似然。在R中，首先我们必须定义级别，例如

> couts$tranches=cut(couts$cout,breaks=seuils,
+ labels=c("small","fixed","large"))

然后，我们可以定义一个多分类logistic模型回归

使用一些选定的协变量

> formula=(tranches~ageconducteur+agevehicule+zone+carburant,data=couts)
# weights:  30 (18 variable)
initial  value 2113.730043 
iter  10 value 2063.326526
iter  20 value 2059.206691
final  value 2059.134802 
converged

输出在这里


Coefficients:
      (Intercept) ageconducteur agevehicule      zoneB      zoneC
fixed  -0.2779176   0.012071029  0.01768260 0.05567183 -0.2126045
large  -0.7029836   0.008581459 -0.01426202 0.07608382  0.1007513
           zoneD      zoneE      zoneF   carburantE
fixed -0.1548064 -0.2000597 -0.8441011 -0.009224715
large  0.3434686  0.1803350 -0.1969320  0.039414682

Std. Errors:
      (Intercept) ageconducteur agevehicule     zoneB     zoneC     zoneD
fixed   0.2371936   0.003738456  0.01013892 0.2259144 0.1776762 0.1838344
large   0.2753840   0.004203217  0.01189342 0.2746457 0.2122819 0.2151504
          zoneE     zoneF carburantE
fixed 0.1830139 0.3377169  0.1106009
large 0.2160268 0.3624900  0.1243560

为了可视化协变量的影响，还可以使用样条函数

> library(splines)

> reg=(tranches~bs(agevehicule))
# weights:  15 (8 variable)
initial  value 2113.730043 
iter  10 value 2070.496939
iter  20 value 2069.787720
iter  30 value 2069.659958
final  value 2069.479535 
converged

例如，如果协变量是汽车的寿命，那么我们有以下概率

> predict(reg,newdata=data.frame(agevehicule=5),type="probs")
    small     fixed     large 
0.3388947 0.3869228 0.2741825

对于0到20岁的所有年龄段，

例如，对于新车，固定成本所占的比例很小（在这里为紫色），并且随着车龄的增长而不断增加。如果协变量是驾驶员居住地区的人口密度，那么我们获得以下概率

# weights:  15 (8 variable)
initial  value 2113.730043 
iter  10 value 2068.469825
final  value 2068.466349 
converged
> predict
    small     fixed     large 
0.3484422 0.3473315 0.3042263

基于这些概率，可以在给定一些协变量（例如密度）的情况下得出索赔的预期成本。但首先，定义整个数据集的子集

> sbaseA=couts[couts$tranches=="small",]
> sbaseB=couts[couts$tranches=="fixed",]
> sbaseC=couts[couts$tranches=="large",]

阈值由

> (k=mean(sousbaseB$cout))
[1] 1171.998

然后，让我们运行四个模型，

> reg 
> regA 
> regB 
> regC

现在，我们可以基于这些模型计算预测，

> pred=cbind(predA,predB,predC)

为了可视化每个组成部分对溢价的影响，我们可以计算概率，预期成本（给定每个子集的成本），

> cbind(proba,pred)[seq(10,90,by=10),]
       small     fixed     large    predA    predB    predC
10 0.3344014 0.4241790 0.2414196 423.3746 1171.998 7135.904
20 0.3181240 0.4471869 0.2346892 428.2537 1171.998 6451.890
30 0.3076710 0.4626572 0.2296718 438.5509 1171.998 5499.030
40 0.3032872 0.4683247 0.2283881 451.4457 1171.998 4615.051
50 0.3052378 0.4620219 0.2327404 463.8545 1171.998 3961.994
60 0.3136136 0.4417057 0.2446807 472.3596 1171.998 3586.833
70 0.3279413 0.4056971 0.2663616 473.3719 1171.998 3513.601
80 0.3464842 0.3534126 0.3001032 463.5483 1171.998 3840.078
90 0.3652932 0.2868006 0.3479061 440.4925 1171.998 4912.379

现在，可以将这些数字绘制在图形中，