在过去十年中，人们对高频交易和模型的兴趣成倍增长。
虽然我对高频噪音中出现信号的有效性有一些怀疑，但我还是决定使用GARCH模型研究一下收益率的统计模型。与每日和较低频率的收益不同，日内高频数据有某些特殊的特点，使得使用标准的建模方法是无效的。
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在这篇文章中，我将使用花旗集团2008年1月2日至2008年2月29日期间的1分钟收益率。这个数据集删除了异常值。考虑的日内时间范围是09:30至16:00，即证券交易所的正式交易时间。
1 波动率的定义
某个变量的波动率 定义为这一变量在单位时间内连续复利回报率的标准差。当波动率被用于期权定价时，时间单位通常为一年，因此波动率就是一年连续复利回报率的标准差，但是当波动率用于风险控制时， 时间单位通常是一天，此时的波动率对应于每天连续复利回报率的标准差。
如果我们假设每天的回报独立同分布，那么T天回报的标准差是日回报标准差的 倍，这和“不确定性随着时间长度的平方根增长”这一法则是一致的，在计算波动率时，我们用的是交易的天数（252）而非日历天数，比如在计算周五结束交易到下周一结束时股票价格的标准差时，我们发现，这“三天的连续复利收益率”并没有比连续两个交易日之间的连续复利收益率高很多，因此有种解释是波动率本身是由交易本身决定的，而累积的是不同交易日的“交易的不确定性”，因此我们更关心的是实际的交易天数（或者说波动率在交易日要远高于非交易日，因此在波动率计算中非交易日可以忽略不计）。
波动率分为两种，一种是回望型波动率（backward looking），另外一种是前瞻波动率（forward looking）。前者是用历史数据算出来的波动率，后者是根据现在的期权价格，用B-S 期权定价模型反推出来的波动率。前者是已经发生了的历史价格的波动，我们算一个波动率。后者是我们对未来一个价格的波动率的预测，未必准确的。
2 回望型波动率-历史波动率
先说前者，回望型波动率，就是我们所说的历史波动率，他是根据历史数据计算的。在这里，我们要区分日波动率与年波动率的概念，我们定义： ——————观测次数；
———————第 i 个时间区间结束时变量的价格，i = 0,1,……，n；
——————— 事件区间的长度，单位是年
收益率 (连续复利收益率)的计算公式为：
公式-1）
的标准差s通常估计为：
或者 公式-2）
与大多数此类关于日内数据建模的研究一样，当天的第一个收益被删除。每日数据从雅虎财经下载。
getSymbols('C')
C = adjustOHLC(C, use.Adjusted = TRUE)
R_d = ROC(Cl(C), na.pad = FALSE)考虑一下花旗集团在上述样本期间的1分钟绝对收益的相关图。
acf(abs((R_i))
有规律的模式非常明显，大约每 390 个周期（1 天）重复一次，并显示出开盘和收盘时的波动性增加。GARCH，以及更普遍的ARMA模型只能处理指数衰减，而不是这里看到的那种模式。为了使绝对收益去季节化，文献中提出了几种方法，如Andersen和Bollerslev（1997）的灵活傅里叶方法，以及Bollerslev和Ghysels（1996）的定期GARCH模型。但是，我发现这些模型都不太容易操作。Engle和Sokalska（2012）（以下简称ES2012）引入了乘法分量GARCH模型作为一种简单的替代方法。本文讨论了它的实现、挑战和使用这个模型的具体细节。
模型
考虑连续复利收益率 r_{t,i} ，其中 t 表示一天， i 表示计算收益率的定期间隔时间。在这个模型下，条件方差是每日和随机（日内）成分的乘积，因此，收益可以表示为：。
其中 q_{t,i}是随机的日内波动率，sigma\_t是每日外生确定的预测波动率， s\_i是每个定期间隔 i 的日波动率。预测波动率 sigma_t是由外部的多因素风险模型得出的，但是同样可以从每日 GARCH 模型中产生这种预测。该过程的季节性部分定义为：
用残差除以波动率和日波动率，就得到了归一化残差。
然后可以用它来生成波动率的随机分量 q_{t,i} 与 GARCH 的动态关系。接下来的章节提供了一个使用花旗集团数据集的模型演示。
估算
模型要求用户传递一个xts对象，即所考虑时期的数据的预测日方差。
# 定义一个日模型
spec(list(armaOrder = c(1, 1)))
# 使用ugarchroll方法创建一个滚动的预测
roll(spec)
#提取sigma 预测
sigma = as.xts(df\[, 'Sigma'\])
#现在估计日内模型
spec( list(model = 'mcsGARCH'))
# DailyVar是预测日方差的必要xts对象
fit(data = R, spec, Var = sigma^2)下面的图表显示了将波动率分解为其不同的组成部分。使用标准的 GARCH 模型不可能捕捉到总波动率的规律模式。
plot(fit@DiurnalVar^0.5))
预测
为预测编写代码的最大挑战是处理时间的对齐和匹配问题，特别是未来的时间/日期，因为该模型依赖于日内分量，而日内分量是特定的。与估计方法一样，预测程序也要求提供所考虑的时期的预测波动率。
我们用ugarchforecast估算。
forecast(fit2, n.ahead = 10, n.roll = 299, f_sigma^2)
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仿真
与标准的GARCH仿真不同，区间时间在日内GARCH中很重要，因为我们生成的路径是遵循非常具体的定期抽样的时间点。此外，需要再次提供所考虑的模拟期的模拟或预测日方差。这是一个xts对象，也可以选择有m.sim列，这样每个独立的模拟都是基于日方差独立模拟的调整残差。下面的示例代码显示了对未来1分钟间隔的10,000个点的模拟，并说明了季节性成分的影响。
# dtime包含了数据集中唯一的区间点的集合
# (可从mcsGARCH模型的所有rugarch对象中获得)
sim = sim(fit, n.sim = 10000,Var = var_sim)
#
plot(as.numeric(sim@simulation$DiurnalVar^0.5), type = 'l')
滚动的回测和风险值
ugarchroll函数对于在回测应用中测试模型的充分性非常有用，下面的代码说明了模型在数据期间的情况。
n = length(index(R_d\['2008-01-01/2008-03-01'\]))
roll(spec, data = R, refit.window = 'moving')
效果比较理想。
如下图所示，VaR能很好地处理日内数据。观察到的VaR峰值是开盘前后的季节性因素造成的。
D = as.POSIXct(rownames(roll@forecast$VaR))
VaRplot(0.01, actual = xts(roll@forecast$VaR\[, 3\], D), VaR = xts(roll@forecast$VaR\[,1\], D))
展望
在乘法模型中增加额外的GARCH模型是非常 “容易 “的，如eGARCH、GJR等。另一个可能的扩展方向是分别处理一周中每一天的昼夜效应。
最后，这个模型不是 “上手即用 “的，需要在准备日内收益率数据时进行一些思考。
参考文献
Bollerslev, T., & Ghysels, E. (1996). Periodic autoregressive conditional heteroscedasticity. Journal of Business & Economic Statistics, 14(2), 139–151.
Andersen, T. G., & Bollerslev, T. (1997). Intraday periodicity and volatility persistence in financial markets. Journal of Empirical Finance, 4(2), 115–158.
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