当线性假设无法满足时，可以考虑使用其他方法。
在标准线性模型中，我们假设
。当线性假设无法满足时，可以考虑使用其他方法。
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多项式回归
扩展可能是假设某些多项式函数，
同样，在标准线性模型方法（使用GLM的条件正态分布）中，参数 
可以使用最小二乘法获得，其中
在
。
local likelihood and other models
局部回归和变系数模型的概念很广：任何参数模型，只要拟合方法中为观测点添加了权重均是。
这一节讲了局部似然，
右边的 是
发生的概率。使用局部似然时，仍然只是估计某个点，如上面只估计
，要估计其它要重复局部似然过程。局部似然指只用了局部的点
的概率最大来进行参数估计。
kernel density estimation and classification
核密度估计是一种非监督学习。历史上发生在核回归之前，且还引出了一些非参数分类方法。
[1]核密度估计
从分布为 抽取 N 个样本
，想要估计
的值，一个自然的想法是看
，#表示数量，但样本中极可能没有重复的
，此时用到核的思想，认为
周围的点和
发生概率相同，于是，
表示窗宽。
这个方法估计的函数会是崎岖的，于是正式用核，称为Parzen estimate，
高斯核 是很流行的，
是均值，
是标准差，里面相当于在做标准化，代入进去为，
卷积的数学定义为， ，注意是对
积分。概率中为，
，则
经验分布函数， 。但上面的
是一个随机变量，概率均为1/N
从卷积看出 是使用高斯噪声对经验分布函数进行平滑化。
一个高斯核的密度估计例子，
更高维时，
[2]核密度分类
对每个类别都拟合一个密度估计， ，j表示不同类别。先验概率估计
，直接使用样本的类别比例即可。则
为类别 j 的概率为，
取个最大的即为预测类别。
说明下下图，
左边是两类别的核密度估计，右边是判为类蓝的概率。从 取值左到右判为类蓝的概率逐渐减小，这可以从左图的密度估计中看出，也在右图表现出来了。但类蓝的峰处有个小谷，这里虽然会判为类蓝，但概率理应有所跳动，然而在右图却没有表现出来。这也是这个方法的一个缺点。
当然仅仅为了分类，直接获得分类边界可能预测正确的类别即可，这个方法还是较好的。
[3]朴素贝叶斯分类
可用于维度高的数据。这个方法假设所有属性相互独立，
仍然表示为 j 类的核密度估计。计算时分别计算每个
；若有变量
是离散的，使用直方图进行密度估计。
显然这个假设过于乐观，但实际中这个方法却经常很有效。原因可看图6.15，虽然每个类别的密度估计可能是有偏的，这个偏差却不怎么影响后验概率，尤其是在决策边界，看图6.15左图的两类的交叉处。
得到各类的核密度估计后，就可以得到决策边界，
形式和广义加性模型一样。朴素贝叶斯和广义加性模型的关系类似于LDA和逻辑回归的关系。
radial basis functions and kernels（径向基函数和核）
看到本节标题，基函数和核，即使用核做为基函数。这样既转换了数据空间（基函数）又使用了局部化（核），
注意左边为 ，也就是说这不是非参数的核平滑方法，不是像上面一样逐个计算预测点的模型。
分别是位置参数，
形状参数。要估计的参数为
目标函数为，
这实际是径向基函数网络的目标函数，是非凸的，有很多极小值点，训练方法和其它神经网络类似。
利用 X 的分布使用非监督方式选择 ，使用最小二乘计算
。其中可以使用混合高斯密度模型训练
局部获得
；还可以使用聚类方法决定
，
则作为聚类方法的超参数，在结果中获得。
这些方法的缺点是仅利用 X 无法准确确定 的集中处，所以上面的位置形状参数都可能是有问题的。
一个减少参数的想法是假定 均为常数，但这会有副作用，即产生洞，如下图中的上部分。解决办法是重标准化径向基函数，
下图的下部分，
前面的N-W核回归估计也可看作重标准的径向基函数的扩展，
是径向基函数，
8.mixture models for density estimation and classification
直接看看式子，
其中 ，后面为高斯分布，为高斯混合模型，x为高维的，则为多元高斯分布。当然后面也可以是其它分布。下标 m 是类别的意思。
使用MLE进行参数估计，使用EM算法进行计算。
类别概率，观察 i 分为 m 类的概率为，
分别对每一类进行密度估计，然后合并。
即使此多项式模型不是真正的多项式模型，也可能仍然是一个很好的近似值 
。实际上，根据 Stone-Weierstrass定理，如果
在某个区间上是连续的，则有一个统一的近似值
，通过多项式函数。
仅作说明，请考虑以下数据集
db = data.frame(x=xr,y=yr)
plot(db)
与标准回归线
与标准回归线
reg = lm(y ~ x,data=db)
abline(reg,col="red")
考虑一些多项式回归。如果多项式函数的次数足够大，则可以获得任何一种模型，
reg=lm(y~poly(x,5),data=db)
但是，如果次数太大，那么会获得太多的“波动”，
reg=lm(y~poly(x,25),data=db)
并且估计值可能不可靠：如果我们更改一个点，则可能会发生（局部）更改
yrm=yr;yrm[31]=yr[31]-2
lines(xr,predict(regm),col="red") 
局部回归
实际上，如果我们的兴趣是局部有一个很好的近似值 
，为什么不使用局部回归？
使用加权回归可以很容易地做到这一点，在最小二乘公式中，我们考虑
- 在这里，我考虑了线性模型，但是可以考虑任何多项式模型。在这种情况下，优化问题是
可以解决，因为
例如，如果我们想在某个时候进行预测 ， 考虑 
。使用此模型，我们可以删除太远的观测值，
更一般的想法是考虑一些核函数 
给出权重函数，以及给出邻域长度的一些带宽（通常表示为h），
这实际上就是所谓的 Nadaraya-Watson 函数估计器 
。
在前面的案例中，我们考虑了统一核 
，
但是使用这种权重函数具有很强的不连续性不是最好的选择，尝试高斯核，
这可以使用
随时关注您喜欢的主题
w=dnorm((xr-x0))
reg=lm(y~1,data=db,weights=w) 在我们的数据集上，我们可以绘制
w=dnorm((xr-x0))
plot(db,cex=abs(w)*4)
lines(ul,vl0,col="red")
axis(3)
axis(2)
reg=lm(y~1,data=db,weights=w)
u=seq(0,10,by=.02)
v=predict(reg,newdata=data.frame(x=u))
lines(u,v,col="red",lwd=2) 在这里，我们需要在点2进行局部回归。下面的水平线是回归（点的大小与宽度成比例）。红色曲线是局部回归的演变
让我们使用动画来可视化曲线。
但是由于某些原因，我无法在Linux上轻松安装该软件包。我们可以使用循环来生成一些图形
name=paste("local-reg-",100+i,".png",sep="")
png(name,600,400)
for(i in 1:length(vx0)) graph (i)然后，我使用
当然，可以考虑局部线性模型，
return(predict(reg,newdata=data.frame(x=x0)))}
甚至是二次（局部）回归，
lm(y~poly(x,degree=2), weights=w) 
当然，我们可以更改带宽
请注意，实际上，我们必须选择权重函数（所谓的核）。但是，有（简单）方法来选择“最佳”带宽h。交叉验证的想法是考虑
是使用局部回归获得的预测。
我们可以尝试一些真实的数据。
library(XML)
data = readHTMLTable(html) 整理数据集，
plot(data$no,data$mu,ylim=c(6,10))
segments(data$no,data$mu-1.96*data$se, 
我们计算标准误差，反映不确定性。
for(s in 1:8){reg=lm(mu~no,data=db,
lines((s predict(reg)[1:12]
所有季节都应该被认为是完全独立的，这不是一个很好的假设。
smooth(db$no,db$mu,kernel = "normal",band=5)
我们可以尝试查看带宽较大的曲线。
db$mu[95]=7
plot(data$no,data$mu
lines(NW,col="red")
样条平滑
接下来，讨论回归中的平滑方法。假设
，
是一些未知函数，但假定足够平滑。例如，假设
是连续的，
存在，并且是连续的，
存在并且也是连续的等等。如果
足够平滑， 可以使用泰勒展开式。 因此，对于
也可以写成
第一部分只是一个多项式。
使用 黎曼积分，观察到
因此，
我们有线性回归模型。一个自然的想法是考虑回归 ，对于
给一些节点 。
plot(db)
B=bs(xr,knots=c(3),Boundary.knots=c(0,10),degre=1)
lines(xr[xr<=3],predict(reg)[xr<=3],col="red")
lines(xr[xr>=3],predict(reg)[xr>=3],col="blue")可以将用该样条获得的预测与子集（虚线）上的回归进行比较。
如果我们考虑一个节点，并扩展阶数1，
lines(xr[xr<=3],predict(reg)[xr<=3
lm(yr~xr,subset=xr>=3) 
这是不同的，因为这里我们有三个参数（关于两个子集的回归）。当要求连续模型时，失去了一个自由度。观察到可以等效地写
lm(yr~bs(xr,knots=c(3),Boundary.knots=c(0,10) 回归中出现的函数如下
matplot(xr,B
abline(v=c(0,2,5,10),lty=2)如果加一个节点，我们得到
现在，如果我们对这两个分量进行回归，我们得到
预测是
lines(xr,predict(reg),col="red")
我们可以选择更多的节点
lines(xr,predict(reg),col="red")
我们可以得到一个置信区间
polygon(c(xr,rev(xr)),c(P[,2],rev(P[,3]))
points(db) 
matplot(xr,B,type="l")
abline(v=c(0,2,5,10),lty=2)
如果我们保持先前选择的两个节点，但考虑泰勒的2阶的展开，我们得到
如果我们考虑常数和基于样条的第一部分，我们得到
B=cbind(1,B)
lines(xr,B[,1:k]%*%coefficients(reg)[1:k],col=k-1,lty=k-1)
如果我们将常数项，第一项和第二项相加，则我们得到的部分在第一个节点之前位于左侧，
k=3
lines(xr,B[,1:k]%*%coefficients(reg)[1:k]
lines(xr,B[,1:k]%*%coefficients(reg)[1:k] 
通过基于样条的矩阵中的三个项，我们可以得到两个节点之间的部分，
最后，当我们对它们求和时，这次是最后一个节点之后的右侧部分，
k=5 
这是我们使用带有两个（固定）节点的二次样条回归得到的结果。可以像以前一样获得置信区间
polygon(c(xr,rev(xr)),c(P[,2],rev(P[,3]))
points(db)
lines(xr,P[,1],col="red") 
使用函数 ，可以确保点的连续性
。
再一次，使用线性样条函数，可以增加连续性约束，
lm(mu~bs(no,knots=c(12*(1:7)+.5),Boundary.knots=c(0,97),
lines(c(1:94,96),predict(reg),col="red")
但是我们也可以考虑二次样条，
abline(v=12*(0:8)+.5,lty=2)
lm(mu~bs(no,knots=c(12*(1:7)+.5),Boundary.knots=c(0,97), 
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关于作者
Kaizong Ye是拓端研究室（TRL）的研究员。在此对他对本文所作的贡献表示诚挚感谢，他在上海财经大学完成了统计学专业的硕士学位，专注人工智能领域。擅长Python.Matlab仿真、视觉处理、神经网络、数据分析。
本文借鉴了作者最近为《R语言数据分析挖掘必知必会 》课堂做的准备。
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