投资组合收益

要计算投资组合的期望收益，我们只需将每只股票的期望收益乘以它们在我们投资组合中的权重，然后将所有部分相加。在这种情况下，我们的权重总和为 1.0，期望收益将代表一个百分比。

在三资产组合中，我们将按如下方式计算投资组合标准差：

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上面的公式看起来很简单。

如果我们在我们的投资组合中引入第四种资产，即资产“D”，我们将简单地扩展我们的公式：

相关性

我不会深入研究如何计算相关性，但我确实想讨论它如何影响个别证券。

夏普比率

我想介绍 夏普比率 ，因为在接下来的工作中，我们将尝试分离出 _夏普比率_最高的投资组合。

为了计算 夏普比率， 我们将投资组合收益减去无风险利率，然后除以投资组合的 标准差 。

想象一下以下两个投资组合：

• 投资组合 A：期望收益率为 10%，投资组合标准差为 5%。
• 投资组合 B：期望收益率为 15%，投资组合标准差为 10%。

哪个投资组合更好？

尽管投资组合 B 具有更高的期望收益，但如果我们根据投资组合风险比较这些投资组合，实际上是投资组合 A 具有更好的“风险调整后”收益。

当时，投资者主要围绕期望收益建立投资组合。Markowitz 解释说，通过结合低相关风险资产，可以实现比单独持有一项资产更好的整体投资组合，或者比简单地选择具有最高期望收益的股票更好。

Markowitz 的整个论文将相关性纳入投资组合构建中。这允许使用高风险和低相关资产构建投资组合，同时与单独拥有每个单独的证券相比，为投资者提供整体较低的投资组合风险！

什么被认为是“更好”的整体投资组合？

“_更好_”的投资组合被定义为在给定风险水平下最大化收益的投资组合。风险被定义为我们在 第一部分中介绍的投资组合标准差。

根据现代投资组合理论建立投资组合

要建立基于 _MPT_的投资组合，投资者需要以下数据：

• 资产的期望收益，E(r)。
• 资产的标准差，σ
• 资产与投资组合中持有的其他资产的相关性，corr(X,Y)

使用上述数据，我们可以为每种资产随机分配不同的权重，并计算该特定投资组合的收益和标准差。

投资组合示例

在下图中，您会发现 50,000 个不同的投资组合，由四种股票组成：股票代码分别为：NOC、AAPL、MSFT、MMM。底轴（x 轴）是投资组合的计算风险（_标准差_），左轴（y 轴）是投资组合的期望收益。

每次随机生成投资组合时，它都会为我们的四只股票中的每一种分配不同的权重，然后计算投资组合的收益和标准差。

通过运行 50,000 次随机模拟，我们可以看到一个看起来像子弹形状的图。我们生成如此多的投资组合的原因是，我们可以尝试找到最优的投资组合权重，从而在给定的风险水平下最大化我们的收益。

每次我们生成一个随机投资组合时，每只股票的权重都会发生变化。在某些投资组合中，苹果可能占投资组合的 20%、投资组合的 75% 甚至是投资组合的 1%，对于我们资产组合中包含的所有其他股票也是如此。但是，所有权重的总和始终等于 1。

这是一张图表，说明了 50,000 个随机生成的投资组合：

x 轴：投资组合波动率（风险），y 轴：投资组合收益

为了进一步说明我们的示例，假设在我们生成的 50,000 个随机投资组合中，投资者想要风险不超过 20% 的投资组合（垂直绘制在 x 轴上的 0.20 标记处）。位于这条线右侧的所有投资组合都将被忽略，位于这条线左侧的所有投资组合都是可接受的投资组合。

在 0.2 处绘制黄线时，  _MPT _推测投资者会选择在这条线上具有 最高 收益的投资组合。在这种情况下，这将是我们的两条线相交的地方。_应该_根据 _MPT _选择精确的投资组合，以使所选风险 水平 的收益最大化 。

对于给定的投资组合风险水平，在我们曲线的顶部边缘最大化收益的所有其他投资组合呢？

进入有效边界

有效边界是一条在每个风险水平上都遵循最高收益的曲线。在下图中，有效边界是红色曲线。

根据 _MPT_的说法，除了沿着这条曲线找到的投资组合之外，任何投资者都不应该投资于投资组合。

第三部分

Python 实现

现在让我们回顾一下这个实现中使用的一些 Python 代码，并尝试生成一些新的有效边界。

于以下代码，使用以下规范创建一个 pandas 数据_框“dta”_  ：

• dfta：每列是个股的价格，按日期排序。就我而言，数据框的索引是参考日期。

import seaborn as sns# 生成我们市场数据的每日收益率
dans = df_mage()# 生成我们每日收益率的相关矩阵df
tns.corr()# 使用seaborn生成一个热图
heatmap(corre)

上面的代码将生成一个漂亮的表格来可视化每只股票的相关性。在 第一部分中，需要相关性来计算投资组合标准差。

相关性热图

下面是用于生成我们的有效边界图和 50,000 个随机投资组合的代码。

col = coy * 252for sio in range（nuos）:


    利润率=收益率/波动率
    pots.append(reuns)
    potity.append(votty)
    stts.append(eihs)# 每个投资组合的收益和风险值
portfolio = {'Returns': orttrns,
             'Volatility': potvtilty,
             '夏普比率': shp_tio}。


# 数据框架
df = pd.DataFrame
    
# 为所需的列的安排获得更好的标签

df = df\[cm_der\]

现在，为了生成一个漂亮的有效边界图，让我们找到夏普比率最高的投资组合和波动率最低的投资组合。

ma\_a\_row = df.iloc\[df\['夏普比率'\].idxmax()\] 。
maxhr\_TN = mashrow\_\['收益率'\]
maha\_VOL = m\_hae\_o\_\['Volatility'\]

plt.scatr
plt.corar(label='夏普比率')
plt.scaer(ma\_p\_OL, axhpTN, c='red', s=50)
plt.sow()

上方点：夏普比率最高的投资组合，下方点：波动率最低的投资组合。

我们对 50000 个随机生成的投资组合进行了很好的可视化，并带有两个额外的点。回想一下，上方的点代表具有最高夏普比率的投资组合，而下方的点代表我们具有最低风险（波动性）的投资组合。

让我们检查一下从我们最初的四只股票中产生这些投资组合的权重。

结论

_MPT _的主要限制之一是它使用历史（过去）数据。根据历史收益、相关性和风险（标准差）创建投资组合，并不能保证未来看起来是一样的。

然而，MPT确实为我们提供了一些非常有用的好处，如资产配置、多样化和投资组合再平衡。

• 资产配置 允许投资者根据他们的年龄和财务目标设定一定的风险。
• 多元化 有助于评估高风险、低相关性资产作为一个整体投资组合，并以易于理解和评估的方式（风险和收益）。
• 投资组合再平衡 为投资者提供路线图，以定期审查其当前的投资组合，并在需要时帮助重新调整头寸。