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本文展示了如何模拟这些过程以及参数估计。本文为这些实验编写的 Python 代码在文章末尾引用。

模拟

离散随机波动率模型通常用于对观察到的时间序列的对数收益进行建模。因此，为了模拟原始时间序列的路径，我们需要模拟其对数收益并计算 .

由带参数的高斯噪声驱动的 GARCH(1,1) 过程的样本路径 :

path( \[0.001, 0.2, 0.25\])
cumprod* repeat.reshape
plt.subplots

最大似然估计

最大似然（ML）参数估计是所有讨论模型的选择方法，因为转换密度，即给定过去信息的 X_t 的密度是明确已知的。因此，过程样本路径 x 的对数似然函数由下式给出

其中，而 是 Z的密度。将上述对数似然函数最小化可得到 的最大似然估计：

.

蒙特卡罗研究

• 使用参数 (0.001, 0.2, 0.25) 模拟长度为 5000 的 2500 个独立 GARCH(1,1) 过程路径。我使用了高斯噪声，即 .
• 将这些路径中的每一个都输入到 ML 估计并获得估计的参数向量 .
• 此优化过程中参数的搜索范围限制为 [1e-8, 1]。
• 将原始与估计的 进行比较。
• 使用参数向量模拟 GARCH(1,1)，计算均值和标准差，并将它们与“真实”均值和标准差（分别为 5.098 和 1.084）进行比较。

正如期望的那样，估计量 非常不准确，并且在大多数情况下，甚至不接近真实向量。特别是，估计的和 通常设置为零（参见下面的直方图）。

ps = \[0.001, 0.2, 0.25\]

cumprod * repeat
print, np.std

另一方面，来自估计的的过程均值和标准偏差要准确得多。这是一件好事，因为我们通常更关心恢复未知数据生成过程的特征，而不是模型的真实参数值。

    mes, stvs, esms 
  
    ax\[1\].hist
    fig.tight_layout

那么如何用从柯西分布中采样的噪声替换高斯噪声呢？在许多概率论书籍中，柯西分布被用作反例，因为它具有许多“病态”特性。例如，它没有均值，因此也没有方差。

我不知道柯西分布中的不稳定样本是什么样子的。看一下带有参数向量的 GARCH(1,1) 过程的示例路径 :

如果使用路径生成函数的时间足够长，甚至可能会生成溢出异常。因此，我用来生成上面显示的直方图的 Python 函数失败了。为了了解原因，让我们使用来自柯西分布的样本生成一些直方图：

柯西分布具有分位数函数

对 评估 给出

这意味着，例如，在 0.0001 的概率下，采样值大于 3183.10。为了比较，让我们计算标准正态分布的相应分位数：

norm.ppf(0.99)

norm.ppf(0.999)

norm.ppf(0.9999)