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作者

Kaizong Ye
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最重要的是，它们允许你将依赖关系与边际分开研究。有时你对边际的信息比对数据集的联合函数的信息更多，而copulas允许你建立关于依赖关系的 “假设 “情景。

copulas可以通过将一个联合分布拟合到均匀分布的边际上而得到，这个边际是通过对你感兴趣的变量的cdf进行量化转换而得到的。 

如果你是认真从事统计工作的，不管你是否喜欢R，你至少应该看看它，看看有哪些包可以帮助你。很有可能，有人已经建立了你所需要的东西。 而且你可以从python中使用R（需要一些设置）。

我们对样本x和y拟合了三个族（Frank, Clayton, Gumbel）的copulas，然后从拟合的copulas中提取了一些样本，并将采样输出与原始样本绘制在一起，以观察它们之间的比较。

    #等同于ppf，但直接从数据中构建 
    sortedvar=np.sort(var)    

    #绘制

    for index,family in enumerate(\['Frank', 'clayton', 'gumbel'\]):

            #获得伪观测值
            u,v = copula\_f.generate\_uv(howmany)

        #画出伪观测值
        axs\[index\]\[0\].scatter(u,v,marker='o',alpha=0.7)

      

    plt.show()

#总样本与伪观测值的对比
sz=300
loc=0.0 #对大多数分布来说是需要的
sc=0.5
y=lognorm.rvs(sc,loc=loc, size=sz)

相依性（相关）数据

自变量将是一个对数正态（y），变量（x）取决于（y），关系如下。初始值为1（独立）。然后，对于每一个点i, 如果 , 那么 , 其中c是从1的分数列表中统一选择的，否则, .

#相关数据：一个对数正态（y）。

#画出相关数据

 np.linspace(0, lognorm.ppf(0.99, sc), sz)
plt.plot(t, gkxx.pdf(t), lw=5, alpha=0.6,

#用于拟合copula参数的方法 

# === Frank参数拟合
    """
    对这个函数的优化将给出参数 
    """
   #一阶debye函数的积分值    int_debye = lambda t: t/(npexp(t)-1.) 
    debye = lambda alphaquad(int_debye , 
                               alpha
                              )\[0\]/alpha
    diff = (1.-kTau)/4.0-(debye(-alpha)-1.)/alpha



#================
#clayton 参数方法
def Clayton(kTau):
    try:
        return 2.*kTau/(1.-kTau)
 

#Gumbel参数方法
def Gumbel(kTau):
    try:
        return 1./(1.-kTau)


#================
#copula生成

    #得到协方差矩阵P
    #x1=norm.ppf(x,loc=0,scale=1)
    #y1=norm.ppf(y,loc=0,scale=1)
    #return norm.cdf((x1,y1),loc=0,scale=P)




#================
#copula绘图

    fig = pylab.figure()
    ax = Axes3D(fig)

        ax.text2D(0.05, 0.95, label, transform=ax.transAxes)
        ax.set_xlabel('X: {}'.format(xlabel))
        ax.set_ylabel('Y: {}'.format(ylabel))


    #sample是一个来自U,V的索引列表。这样，我们就不会绘制整个copula曲线。
    if plot:
  
        print "绘制copula {}的样本".format(copulaName)
        returnable\[copulaName\]=copulapoints
        if plot:
            zeFigure=plot3d(U\[样本\],V\[样本\],copulapoints\[样本\], label=copulaName,

生成一些输入数据

t = np.linspace(0, lognorm.ppf(0.99, sc), sz)

#从一些df中抽取一些样本
X=beta.rvs(a,b,size=sz)
Y=lognorm.rvs(sc,size=sz)
#通过对样本中的数值应用CDF来实现边缘分布
U=beta.cdf(X,a,b)
V=lognorm.cdf(Y,sc)

#画出它们直观地检查独立性
plt.scatter(U,V,marker='o',alpha=0.7)
plt.show()

Samples=700
#选择用于抽样的copula指数
np.random.choice(range(len(U)),Samples)


Plot(U,V)

<IPython.core.display.Javascript object>

Frechét-Höffding边界可视化

根据定理，我们将copula画在一起，得到了Frechét-Höffding边界。

#建立边界为copula的区域
plot_trisurf(U\[样本\],V\[样本\],copula\['min'\]\[样本\],
          c='red') #上限
plot_trisurf(U\[样本\],V\[样本\],copula\['max'\]\[样本\],
           c='green') #下限