常用的Copula函数

Copula分布作为一类连接函数，包含很多分布族，其中椭圆Copula函数族和Archimedean Copula函数族是最为常见的两个分布族。椭圆Copula函数族中主要有Gaussian Copula函数和t-Copula函数，而Archimedean Copula函数族中主要有Gumble Copula、Glayton Copula和Frank Copula函数，由于这些Copula具有厚尾的特征而在金融领域得到广泛应用。

二元Gaussian Copula的分布函数为

CGa(u,v;ρ)=∫Φ−1(u)−∞∫Φ−1(v)−∞12π1−ρ2−−−−−√exp[−s2+t2−2ρst2(1−ρ2)]dsdt , $C^{Ga}\left(u,v;\rho \right)={\displaystyle {\int }_{-\infty }^{{\Phi }^{-1}\left(u\right)}{\displaystyle {\int }_{-\infty }^{{\Phi }^{-1}\left(v\right)}\frac{1}{2\text{π}\sqrt{1-{\rho }^2}}\exp \left[-\frac{s^2+t^2-2\rho st}{2\left(1-{\rho }^2\right)}\right]\text{d}s\text{d}t}},$(2)

其中，  Φ−1(⋅) ${\Phi }^{-1}(\cdot )$ 是标准正态分布函数的逆函数。

自由度为  k $k$ 的二元t-Copula的分布函数为

Ct(u,v;ρ,k)=∫t−1k(u)−∞∫t−1k(v)−∞12π1−ρ2−−−−−√[1+s2+t2−2ρstk(1−ρ2)]−(k+2)/2dsdt , $C^t\left(u,v;\rho ,k\right)={\displaystyle {\int }_{-\infty }^{t_k^{-1}\left(u\right)}{\displaystyle {\int }_{-\infty }^{t_k^{-1}\left(v\right)}\frac{1}{2\text{π}\sqrt{1-{\rho }^2}}{\left[1+\frac{s^2+t^2-2\rho st}{k\left(1-{\rho }^2\right)}\right]}^{-\left(k+2\right)/2}}}\text{d}s\text{d}t,$(3)

其中，  t−1k(⋅) $t_k^{-1}(\cdot )$ 是自由度为  k $k$ 的标准  t $t$ 分布函数  tk(⋅) $t_k(\cdot )$ 的逆函数。

二元Gumble Copula、Clayton Copula、Frank Copula的分布函数分别为

CGu(u,v;α)=exp{−[(−lnu)α+(−lnv)α]1α}; $C^{Gu}\left(u,v;\alpha \right)=\exp \left\{-{\left[{\left(-\ln u\right)}^{\alpha }+{\left(-\ln v\right)}^{\alpha }\right]}^{\frac{1}{\alpha }}\right\};$

CCl(u,v;α)=(u−α+v−α−1)−1α,0≤u,v≤1; $C^{Cl}\left(u,v;\alpha \right)={\left(u^{-\alpha }+v^{-\alpha }-1\right)}^{-\frac{1}{\alpha }}\text{,}0\le u,v\le 1\text{;}$(4)

CF(u,v;α)=−1αln(1+(1−e−αu)(1−e−αv)1−e−α),0≤u,v≤1. $C^F\left(u,v;\alpha \right)=-\frac{1}{\alpha }\ln \left(1+\frac{\left(1-e^{-\alpha u}\right)\left(1-e^{-\alpha v}\right)}{1-e^{-\alpha }}\right),0\le u,v\le 1.$

基于Copula函数的相关性度量

Copula函数作为刻画变量间相依性结构的工具，在度量具有非线性关系的变量之间的相依性结构时具有明显的优势，因此产生了一系列基于Copula函数的相关性度量。基于Copula函数的度量包括Kendall’s  τ $\tau$ ，Spearman’s  ρS ${\rho }_S$ ，尾部相关系数  λ $\lambda$ 等。

1) Kendall秩相关系数

令  (X,Y) $\left(X,Y\right)$ 和  (X′,Y′) $\left(X^{\prime },Y^{\prime }\right)$ 是独立同分布的随机变量，若  (X−X′)(Y−Y′)>0 $\left(X-X^{\prime }\right)\left(Y-Y^{\prime }\right)>0$ ，称  (X,Y) $\left(X,Y\right)$ 和  (X′,Y′) $\left(X^{\prime },Y^{\prime }\right)$ 是一致的；若  (X−X′)(Y−Y′)<0 $\left(X-X^{\prime }\right)\left(Y-Y^{\prime }\right)<0$ 则称  (X,Y) $\left(X,Y\right)$ 和  (X′,Y′) $\left(X^{\prime },Y^{\prime }\right)$ 是不一致的。

Kendall’s秩相关系数  τ $\tau$ 的一般形式为：

若随机变量  X,Y $X,Y$ 的边缘分布分别为  F(x),G(y) $F\left(x\right),G\left(y\right)$ ，相应的Copula函数为  C(u,v) $C\left(u,v\right)$ ，则Kendall’s秩相关系数  τ $\tau$ 可由相应的Copula函数  C(u,v) $C\left(u,v\right)$ 给出：

τ   =4∫[0,1]2C(u,v)dC(u,v)−1 . $\tau =4{\displaystyle {\int }_{{\left[0,1\right]}^2}C\left(u,v\right)\text{d}C\left(u,v\right)}-1.$

2) Spearman’s秩相关系数  ρS ${\rho }_S$

设  (X1,Y1),(X2,Y2),(X3,Y3) $\left(X_1,Y_1\right),\left(X_2,Y_2\right),\left(X_3,Y_3\right)$ 独立同分布的随机变量，Spearman’s秩相关系数  ρS ${\rho }_S$ 的一般形式为：

若随机变量  X,Y $X,Y$ 的边缘分布分别为  F(x),G(y) $F\left(x\right),G\left(y\right)$ ，相应的Copula函数为  C(u,v) $C\left(u,v\right)$ ，则Spearman’s秩相关系数  ρS ${\rho }_S$ 可由相应的Copula函数  C(u,v) $C\left(u,v\right)$ 给出：

ρS=12∫[0,1]2C(u,v)dudv−3 ${\rho }_S=12{\displaystyle {\int }_{{\left[0,1\right]}^2}C\left(u,v\right)\text{d}u\text{d}v}-3$

3) 尾部相关系数  λ $\lambda$

尾部相关性是人们在金融风险中比较关心的，包括上尾相关和下尾相关。令  X,Y $X,Y$ 为连续的随机变量，具有边缘分布  F(x),G(y) $F\left(x\right),G\left(y\right)$ 和Copula函数为  C(u,v) $C\left(u,v\right)$ ，如果

limu→1−C¯¯¯(u,u)/(1−u)=λU $\underset{u\to 1^{-}}{\lim }\bar{C}\left(u,u\right)/\left(1-u\right)={\lambda }_U$

存在，  λU∈(0,1]  ${\lambda }_U\in \left(0,1\right]$ ，  C¯¯¯(u,v)=1−u−v+C(u,v) $\bar{C}\left(u,v\right)=1-u-v+C\left(u,v\right)$ 为生存Copula函数，则称  X,Y $X,Y$ 上尾相关；  λU=0 ${\lambda }_U=0$ 时，称  X,Y $X,Y$ 在分布上尾渐近独立。同样地，如果

limu→0+C(u,u)/u=λL $\underset{u\to 0^{+}}{\lim }C\left(u,u\right)/u={\lambda }_L$

存在，  λL∈(0,1] ${\lambda }_L\in \left(0,1\right]$ 时，则称  X,Y $X,Y$ 下尾相关；  λL=0 ${\lambda }_L=0$ 时，称  X,Y $X,Y$ 在分布下尾渐近独立。我们把  λU,λL ${\lambda }_U,{\lambda }_L$ 统称为尾部相关系数，且  λU,λL≥0 ${\lambda }_U,{\lambda }_L\ge 0$ 。