我们可以通过简单地使用rnorm()从N(4,0.62)后验中直接抽样来实现这个算法。结果是来自后验的一个很好的独立样本，这反过来又产生了一个准确的后验近似：

set.seed(84375) mc_tour <- data.frame(mu = rnorm(5000, mean = 4, sd = 0.6)) ggplot(mc_tour, aes(x = mu)) + geom_histogram(aes(y = ..density..), color = "white", bins = 15) + stat_function(fun = dnorm, args = list(4, 0.6), color = "blue")

为了做出最终决定，我们设置了一个加权硬币，它以概率α（0.824）接受提议，并以概率1−α（0.176）拒绝提议。通过sample()函数随机抛掷这个硬币，我们接受了提议，意味着下一点是2.933：

nex_sop <- sape(c(roposl, curet),
                    size = 1, ob = c(alha, 1-apha))
net_top

这仅仅是对我们的正态后验进行一次Metropolis-Hastings算法迭代的无数可能结果之一。为了简化这个过程，我们将编写自己的R函数one_mh_iteration()，该函数实现从任何给定的当前点开始的单个Metropolis-Hastings迭代，并利用具有任意半宽度w的均匀提议模型。

我们首先指定one_mh_iteration是两个参数的function()：均匀分布的半宽度w和当前链值current。

在函数内部，我们执行与上面相同的步骤，并return()三个信息：proposal、接受概率alpha和next_stop。

one_meration <- fntion(w, crret){
 # 第一步：提议下一个链位置
 prpsal <- runif(1, nt - w, max = crrent+ w)
  
 # 第二步：决定是否移动到新位置
 prop_plau <- dnorm(prpoal, 0, 1) * dnorm(625, proosl, 0.75)
 curetplaus  <- dnorm(cunt, 0, 1) * dnorm(6.25, urent, 0.75)
 alpha <- min(1, propoalplaus / current_plaus)
 
 # 返回结果
 return(dta.fame(proposa, alph, next_stp))
}

让我们试一试。在种子为8的情况下从当前点3运行onemh_ieration()可以复制上面的结果：

set.seed(8)
one_h_itraton(w = 1, current = 3)

这是有道理的。从图中可以看出，2.018的后验可能性远低于我们当前所在地3的后验可能性。虽然我们确实想要探索这样极端的值，但我们不想经常这样做。事实上，在我们投掷硬币时，提议被拒绝，并且旅游将再次访问位置3。

set.seed(7)
onemh_ieratonw = 1, urrnt = 3)

实施Metropolis-Hastings

现在，我们需要一遍又一遍地重复上一个单个迭代的过程来构建一个由N(4,0.62)后验分布组成的Metropolis-Hastings。下面的mh_tour()函数可以构建一个给定长度N的Metropolis-Hastings，利用任何给定半宽度w的均匀提议模型：

mh_tour <- function(N, w){
  # 1. 在位置3开始
  curet <- 3

  # 2. 初始化模拟
  mu <- rep(0, N)

  # 3. 模拟N个马尔科夫链停止
  for(i in 1:N){    
    # 模拟一个迭代
    sim <- onemh_itrationw = w,currnt  crrent)
    
    # 记录下一个位置
    mu[i] <- si$xt_top
    
    # 重置当前位置
    current <- sim$nt_tp
  }
  
  # 4. 返回位置
  retun(datfrae(tratio= c(:N,mu))
}

在调用此函数时：

1. 在位置3处开始，这是一个基于我们对μ的先前了解而做出的相当任意的选择。
2. 通过设置“空”向量来初始化模拟，我们最终将在其中存储N次停止的位置（mu）。
3. 利用for循环，在1到N的每个停留点i中运行on_m_iteaion()，并将结果的next_stop存储在mu向量的第i个元素中。在关闭for循环之前，更新current停止以作为下一次迭代的起点。
4. 返回具有迭代号和相应停留点mu的数据框。

Beta-Binomial模型例子

让我们实现Metropolis-Hastings算法来处理一个Beta-Binomial模型，其中我们观察到在2次尝试中有1次成功，即 Y=1，n=2: 。

同样，假设我们只能将后验概率密度上定义到某些缺失的归一化常数，

下面的oneiertion()函数实现了该独立采样算法的单次迭代，从任何给定的当前值π开始，并对给定的a和b使用Beta(a,b)建议模型。在计算接受概率α时，请注意我们使用dbeta()来评估先验概率密度函数和建议概率密度函数，以及使用dbinom()来评估具有数据Y=1,n=2,π的二项式似然函数：

one_terton <- function(a, , curnt){
# 第 1 步：提出下一个链位置
 proposal <- rbeta(1, a, b)
  
 # 第 2 步：决定
 
 popoal_plas <- deta(prposa, 2, 3) * dbno(1, 2, prosal)
 proposlq     <- dbeta(prpsal, a, b)
 curentplus  <- dbea(curet, 2, 3) * dbnom(1, 2, )
 curnt_q      <- dbeta(curent, a, b)

接下来，我们编写一个betbn_tour()函数，为任何Beta(a,b)建议模型构建一个N长度的Markov链遍历，利用one_iertion()来确定每个停止位置：

beai_tour <- fucton(N, a, b){
  # 1. 位置0.5开始链
  current <- 0.5

  # 2. 初始化模拟
  pi <- rp(0, N)
  
  # 3. 模拟N次Markov链停止
  for(i in 1:N){    
    # 模拟一次迭代
    sim <- on_ieaion(a = a, b = b, crent = curent)
    
    # 记录下一个位置
    pi[i] <- simnet_sop
    
    # 重置当前位置
    current <- simnetstop
  }
}

我们尝试不同调整的Beta(a,b)建议模型。在这里，为了简单起见，我们使用Beta(1,1)，即Unif(0,1)的建议模型进行了5000步的Beta-Binomial后验分布遍历

set.seed(84735)
bebn_im <- betb_tour(N = 5000, a = 1, b = 1)

# 绘制结果
ggplot(beta

总结

本文建立了对基本的Metropolis-Hastings MCMC算法的概念理解。还实现了该算法来研究常见的正态-正态和Beta-Binomial模型。无论是在这些相对简单的单参数模型设置中，还是在更复杂的模型设置中，Metropolis-Hastings算法通过两个步骤之间的迭代产生了后验分布的近似样本：

1. 通过从提议概率密度函数中抽取一个新的链位置来提出一个新的位置，这可能取决于当前位置。
2. 确定是否接受提议。简单地说，我们是否接受提议取决于其后验可能性相对于当前位置的后验可能性有多有利。