R语言马尔可夫区制转移模型Markov regime switching

本文简要介绍了一种简单的状态转移模型,该模型构成了隐马尔可夫模型(HMM)的特例。

由Kaizong Ye,Sherry Deng和Weilong Zhang撰写

从应用的角度来看,这些模型在评估经济/市场状态时非常有用。这里的讨论主要围绕使用这些模型的科学性

基本案例

HMM的主要挑战是预测隐藏部分。我们如何识别“不可观察”的事物?HMM的想法是从可观察的事物来预测潜在的事物。

模拟数据

为了演示,我们准备一些数据并尝试进行反向推测。通过构造,我强加了一些假设来创建我们的数据。每个状态都具有不同的均值和波动率。

如上表所示,状态s = 2变成“坏”状态,其中过程x_t表现出较高的变化性。 因此,停留在状态2的可能比停留在状态1的可能性小。

马尔可夫过程

为了模拟过程x_t ,我们从模拟马尔可夫过程s_t 开始。为了模拟T 期间的过程,首先,我们需要构建给定p_ {11} 和p_ {22} 的转换矩阵。其次,我们需要从给定状态s_1 = 1 开始。从s_1 = 1 开始,我们知道有95%的概率停留在状态1,有5%的概率进入状态2。

因为它先前的状态,模拟s_t 是递归的。因此,我们需要构造一个循环:

因此,有15%的概率处于1状态,而有25%的概率处于状态2。这应该反映在模拟过程中  s,从而

由于我们使用的是100个周期的小样本,因此我们观察到稳定概率为69%,接近但不完全等于75%。

结果

给定模拟的马尔可夫过程,结果的模拟非常简单。一个简单的技巧是模拟的T周期和的 T  周期。然后,给定 s_t  的模拟,我们针对每个状态创建结果变量 x_t  。


R语言如何做马尔可夫转换模型markov switching model

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虽然总体而言时间序列看起来是平稳的,但我们观察到一些周期(以红色突出显示)显示出较高的波动。有人可能会建议说,数据存在结构性中断,或者区制发生了变化,过程 x_t 变得越来越大,带有更多的负值。虽然如此,事后解释总是比较容易的。主要的挑战是识别这种情况。

估计参数

在本节中,我将使用R软件手动(从头开始)和非手动进行统计分解。在前者中,我将演示如何构造似然函数,然后使用约束优化问题来估计参数。

似然函数-数值部分

首先,我们需要创建一个以  Theta 向量为主要输入的函数。其次,我们需要设置一个MLE的优化问题。

在优化似然函数之前。让我们看一下工作原理。假设我们知道参数 Theta 的向量,并且我们有兴趣使用 x_t 上的数据评估随时间变化的隐藏状态。

显然,这两种状态的每次过滤器的总和应为1。看起来,我们可以处于状态1或状态2。

由于我们设计了此数据,因此我们知道状态2的时期。

过滤器背后的优点是仅使用 x_t  上的信息来识别潜在状态。我们观察到,状态2的过滤器主要在状态2发生时增加。这可以通过发出红点的概率增加来证明,红点表示状态2发生的时间段。尽管如此,上述还是存在一些大问题。首先,它假定我们知道参数 Theta ,而实际上我们需要对此进行估计,然后在此基础上进行推断。其次,所有这些都是在样本中构造的。从实际的角度来看,决策者对预测的概率及其对未来投资的影响感兴趣。


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手动估算

为了优化上面定义的  HMM_Lik 函数,我将需要执行两个附加步骤。首先是建立一个初始估计值,作为搜索算法的起点。其次,我们需要设置约束条件以验证估计的参数是否一致,即非负波动性和介于0和1之间的概率值。

第一步,我使用样本创建初始参数向量Theta_0 

在第二步中,我为估算设置了约束

请注意,参数的初始向量应满足约束条件

最后,回想一下,通过构建大多数优化算法都可以搜索最小点。因此,我们需要将似然函数的输出更改为负值。

为了检查MLE值是否与真实参数一致,我们绘制估计值与真实值的关系图:

 

总体而言,我们观察到估计值非常一致。

估算 

我将在下面演示如何使用r软件复制人工估算的结果  。

如果我们要忽略过程中的任何区制转换,我们可以简单地将参数 mu 和 sigma 估计为

平均而言,我们应该期望过程平均值约为1,即。这是由期望定律得出的,其中我们知道

这样

对于波动率,适用相同的逻辑。

我们注意到,回归估计值与波动率的一致性高于均值。

上面的观点是,估计值并未涵盖数据的真实性质。如果我们假设数据是稳定的,那么我们错误地估计过程的平均值为62%。但是,与此同时,我们通过构造知道该过程表现出两个平均结果-一个正面和一个负面。波动性也是如此。

为了揭示这些模式,我们在下面演示如何使用上面的线性模型建立区制转移模型:

主要输入是拟合模型,  mod我们将其归纳为拟合转移状态。第二个  k是区制的数量。由于我们知道我们要处理两个状态,因此将其设置为2。但是,实际上,需要参考一种信息标准来确定最佳状态数。根据定义,我们有两个参数,均值 mu_s 和波动率 sigma_s 。因此,我们添加一个true / false向量来指示正在转移的参数。在上面的命令中,我们允许两个参数都转移。最后,我们可以指定估计过程是否正在使用并行计算进行。

要了解模型的输出,让我们看一下

上面的输出主要报告我们尝试手动估算的六个估算参数。首先,系数表报告了每个状态的均值和波动。模型1的平均值为1.71,波动率接近1。模型2的平均值为-2,波动率约为2。显然,该模型针对数据确定了两种具有不同均值和波动率的不同状态。其次,在输出的底部,拟合的模型报告了转移概率。

有趣的是,就每种状态的过滤器而言,我们将从包中检索到的状态与手动提取的状态进行比较。根据定义,可以使用图函数  来了解平滑概率以及确定的方案。

 

顶部的图表示随时间变化的过程 x_t ,其中灰色阴影区域表示的时间段。换句话说,灰色区域表示状态1占优势的时间段。

 

过滤器会在一个周期内检测到第二种状态。发生这种情况是因为在这种情况下,返回的是平滑概率,即在实现整个样本 T  后处于每种状态的概率,即。另一方面,来自手动估计的推断概率

无论如何,由于我们知道状态的真实值,因此可以确定我们是否处于真实状态。我们在上面的图中使用黑点突出显示状态2。总的来说,我们观察到模型在检测数据状态方面表现非常好。唯一的例外是第60天,其中推断概率大于50%。要查看推断概率多长时间正确一次,我们运行以下命令

结束语

在实际数据实现方面仍然存在许多挑战。首先,我们不具备有关数据生成过程的知识。其次,状态不一定实现。因此,这两个问题可能会破坏区制转移模型的可靠性。在应用方面,通常部署此类模型来评估经济或市场状况。从决策上来说,这也可以为策略分配提供有趣的建议。


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关于作者

Kaizong Ye拓端研究室(TRL)的研究员。

本文借鉴了作者最近为《R语言数据分析挖掘必知必会 》课堂做的准备。

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