R语言谱聚类、K-means聚类分析非线性环状数据比较

有些问题是线性的,但有些问题是非线性的。

由Kaizong Ye,Liao Bao撰写

我假设,你过去的知识是从讨论和解决线性问题开始的,这是一个自然的起点。对于非线性问题的解决,往往涉及一个初始处理步骤。这个初始步骤的目的是将问题转化为同样具有线性特征的问题。

一个教科书式的例子是逻辑回归,用于获得两类之间的最佳线性边界。

在一个标准的神经网络模型中,你会发现逻辑回归(或多类输出的回归)应用于转换后的数据。

前面的几层 “致力于 “将不可分割的输入空间转化为线性方法可以处理的东西,使逻辑回归能够相对容易地解决问题。

同样的道理也适用于谱聚类。与其用原始输入的数据工作,不如用一个转换后的数据工作,这将使它更容易解决,然后再链接到你的原始输入。

谱聚类是一些相当标准的聚类算法的重要变体。它是现代统计工具中的一个强大工具。谱聚类包括一个处理步骤,以帮助解决非线性问题,这样的问题可以用我们所喜欢的那些线性算法来解决。例如,流行的K-means。

内容

  • 谱系聚类的动机
  • 一个典型的谱聚类算法
  • 编码实例

谱聚类的动机

“一张图片。胜过万语千言“(Tess Flanders)。

目标是划分两个不相交的类别。我们的数据就有这种 “两个环 “的形状。你可以看到,由于数据不是线性可分离的,K-means解决方案没有太大意义。

我们需要考虑到数据中特别的非线性结构。 做到这一点的方法之一是使用数据的特征子空间,不是数据的实际情况,而是数据的相似性矩阵。

典型的谱聚类算法步骤

输入:n个样本点和聚类簇的数目k;

输出:聚类簇

(1)使用下面公式计算的相似度矩阵W;

W为组成的相似度矩阵。 

(2)使用下面公式计算度矩阵D;

  ,即相似度矩阵W的每一行元素之和 

D为组成的对角矩阵。

(3)计算拉普拉斯矩阵

(4)计算L的特征值,将特征值从小到大排序,取前k个特征值,并计算前k个特征值的特征向量

(5)将上面的k个列向量组成矩阵

(6)令是的第i行的向量,其中

(7)使用k-means算法将新样本点聚类成簇

(8)输出簇,其中,.


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上面就是未标准化的谱聚类算法的描述。也就是先根据样本点计算相似度矩阵,然后计算度矩阵和拉普拉斯矩阵,接着计算拉普拉斯矩阵前k个特征值对应的特征向量,最后将这k个特征值对应的特征向量组成的矩阵U,U的每一行成为一个新生成的样本点,对这些新生成的样本点进行k-means聚类,聚成k类,最后输出聚类的结果。这就是谱聚类算法的基本思想。相比较PCA降维中取前k大的特征值对应的特征向量,这里取得是前k小的特征值对应的特征向量。但是上述的谱聚类算法并不是最优的,接下来我们一步一步的分解上面的步骤,总结一下在此基础上进行优化的谱聚类的版本。

编码示例

环数据在代码中是对象dat。下面的几行只是简单地生成K-means解决方案,并将其绘制出来。


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现在是谱聚类解决方案。

* 在我们的例子中,的条目不仅是0和1(连接或不连接),而且是量化相似性的数字。

参考资料

Ng, Andrew Y., Michael I. Jordan, and Yair Weiss. “On spectral clustering: Analysis and an algorithm.” Advances in neural information processing systems. 2002.


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关于作者

Kaizong Ye拓端研究室(TRL)的研究员。

本文借鉴了作者最近为《R语言数据分析挖掘必知必会 》课堂做的准备。

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