R语言用多元ARMA,GARCH ,EWMA, ETS,随机波动率SV模型对金融时间序列数据建模

本文将说明单变量和多变量金融时间序列的不同模型,特别是条件均值和条件协方差矩阵、波动率的模型。

由Kaizong Ye,Sherry Deng撰写

均值模型

本节探讨条件均值模型。

iid模型

我们从简单的iid模型开始。iid模型假定对数收益率xt为N维高斯时间序列:

均值和协方差矩阵的样本估计量分别是样本均值

×

平稳性在时间序列中是非常重要的。我们说对于一个单变量时间序列 [公式] ,平稳性分为严格平稳和弱平稳(又称协方差平稳)。我们通常讨论的平稳性都是协方差平稳,平稳的序列称为I(0)序列——即差分0次之后可以得到平稳序列。平稳的序列可以用常用的ARMA模型进行拟合。

但对于多变量时间序列来说,问题就会变得复杂。比方说 [公式] 是一个多变量时间序列,它包含k个变量:

[公式]

在通常情况下,如果每一个[公式]都是平稳的,[公式]基本上也可以说是平稳的。那这种情况下,我们就可以直接分析这个多变量序列,最常见的是VARMA模型(Vector Autoregression Moving Average,向量自回归移动平均模型),也就是ARMA的多变量版。通常情况下,我们用的更多的是VAR(向量自回归)模型而忽略MA项。通过VAR我们可以进行种类繁多的各类分析和预测,包括格兰杰因果检验(Granger causality test)、脉冲响应函数(Impulse response function)和方差分解(Variance decomposition)等。

但是当[公式]中的其中一些或者全部变量是不平稳的,问题就比较麻烦了。(这里我们只考虑I(1)的情况,不考虑高阶的单整。)其实我们只需要考虑变量全部不平稳的情况就好了,如果 [公式] 一部分变量平稳,一部分变量不平稳,那我们直接拆成两部分就好了,拆开来各自分析不影响整体结果。因此这里我们假定所有变量都是I(1)序列。

不平稳怎么办?最简单的办法就是差分啦,这是最方便的方法。但这里又有一个显著的问题叫信息损失,凡是差分都有这个毛病。考虑一个最常见的不平稳序列,k阶随机游走过程(random walk)

[公式]

这里的 [公式] 是一个k阶的白噪声(white noise)。

现在对它差分,我们得到一个平稳序列

[公式]

然后我们可以对这个序列进行分析。我们要知道这个序列描述的是由第 [公式] 期到第 [公式] 期的变化,也就是一个短期关系。对于时间序列分析来说,我们通常长更关注的是长期关系而不是短期关系。比方说财政赤字货币化(无限印钞票)这件事,从宏观模型上看,短期内通胀不会很高,甚至还可以拉动GDP上扬,看起来就是个百利而无一害的事。但是长期来看,赤字货币化会导致恶性通货膨胀(Hyperinflation)并永久性地损害经济。如果我们用差分后的模型来做预测的话,就会陷入这样的麻烦事之中。

那什么叫长期呢?我们说“长期均衡=无条件均衡”。举个例子,假设一个AR(1)过程

[公式]

那么 [公式] 的长期均衡值就是

[公式]

也就是说,在计算长期均衡的时候我们令第 [公式] 期到第 [公式] 期的取值相等!想象一下我们现在要预测2120年和2121年的失业率,我们真的会认为这两个数有什么不同么,除非去开个天眼吧……

同理,对于这个随机游走的 [公式] 来说,我们的长期关系也可以通过令 [公式] 来找到。这种情况下, [公式] 就会变成

[公式]

所以差分并不是什么受欢迎的处理方法。那么问题来了,除了差分,我们还有别的解决方案吗?Engle和Granger给出了解决方案——协整(cointegration)。

仍然考虑随机游走模型,这里我们限制 [公式] 仅包含两个变量 [公式] 和 [公式] 。对于一个随机游走过程来说,它最大的毛病在于随着时间的推移,这个序列可能会发散到任何地方去。


和样本协方差矩阵

我们从生成数据开始,熟悉该过程并确保估计过程给出正确的结果(即完整性检查)。然后使用真实的市场数据并拟合不同的模型。

让我们生成合成iid数据并估算均值和协方差矩阵:

# 生成综合收益数据
X <- rmvnorm(n = T, mean = mu, sigma = Sigma)
# 样本估计(样本均值和样本协方差矩阵)
mu_sm <- colMeans(X)
Sigma_scm <- cov(X)
# 误差
norm(mu_sm     - mu, "2")
#> [1] 2.44
norm(Sigma_scm - Sigma, "F")
#> [1] 70.79

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时间序列分析模型 ARIMA-ARCH GARCH模型分析股票价格数据

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现在,让我们针对不同数量的观测值T再做一次:

# 首先生成所有数据
 
X <- rmvnorm(n = T_max, mean = mu, sigma = Sigma)
# 现在遍历样本的子集
 
for (T_ in T_sweep) {
  # 样本估算
  mu_sm <- colMeans(X_)
  Sigma_scm <- cov(X_)
  # 计算误差
  error_mu_vs_T    <- c(error_mu_vs_T,    norm(mu_sm     - mu, "2"))
  error_Sigma_vs_T <- c(error_Sigma_vs_T, norm(Sigma_scm - Sigma, "F"))
# 绘图
plot(T_sweep, error_mu_vs_T, 
     main = "mu估计误差",


plot(T_sweep, error_Sigma_vs_T
     main = "Sigma估计中的误差", ylab = "误差"

单变量ARMA模型

对数收益率xt上的ARMA(p,q)模型是

其中wt是均值为零且方差为σ2的白噪声序列。模型的参数是系数ϕi,θi和噪声方差σ2。

请注意,ARIMA(p,d,q)模型是时间差分为d阶的ARMA(p,q)模型。因此,如果我们用xt代替对数价格,那么先前的对数收益模型实际上就是ARIMA(p,1,q)模型,因为一旦对数价格差分,我们就获得对数收益。

rugarch生成数据 

我们将使用rugarch包  生成单变量ARMA数据,估计参数并进行预测。

首先,我们需要定义模型:

# 指定具有给定系数和参数的AR(1)模型
#> 
#> *----------------------------------*
#> *       ARFIMA Model Spec          *
#> *----------------------------------*
#> Conditional Mean Dynamics
#> ------------------------------------
#> Mean Model           : ARFIMA(1,0,0)
#> Include Mean     : TRUE 
#> 
#> Conditional Distribution
#> ------------------------------------
#> Distribution :  norm 
#> Includes Skew    :  FALSE 
#> Includes Shape   :  FALSE 
#> Includes Lambda  :  FALSE
 
#>          Level Fixed Include Estimate LB UB
#> mu        0.01     1       1        0 NA NA
#> ar1      -0.90     1       1        0 NA NA
#> ma        0.00     0       0        0 NA NA
#> arfima    0.00     0       0        0 NA NA
#> archm     0.00     0       0        0 NA NA
#> mxreg     0.00     0       0        0 NA NA
#> sigma     0.20     1       1        0 NA NA
#> alpha     0.00     0       0        0 NA NA
#> beta      0.00     0       0        0 NA NA
#> gamma     0.00     0       0        0 NA NA
#> eta1      0.00     0       0        0 NA NA
#> eta2      0.00     0       0        0 NA NA
#> delta     0.00     0       0        0 NA NA
#> lambda    0.00     0       0        0 NA NA
#> vxreg     0.00     0       0        0 NA NA
#> skew      0.00     0       0        0 NA NA
#> shape     0.00     0       0        0 NA NA
#> ghlambda  0.00     0       0        0 NA NA
#> xi        0.00     0       0        0 NA NA
fixed.pars
#> $mu
#> [1] 0.01
#> 
#> $ar1
#> [1] -0.9
#> 
#> $sigma
#> [1] 0.2
 
true_params
#>    mu   ar1 sigma 
#>  0.01 -0.90  0.20

然后,我们可以生成时间序列:

 
# 模拟一条路径
 
apath(spec, n.sim = T)
 
# 转换为xts并绘图
plot(synth_log_returns, main = "ARMA模型的对数收益率"
plot(synth_log_prices, main = "ARMA模型的对数价格"

ARMA模型

现在,我们可以估计参数(我们已经知道):

# 指定AR(1)模型
arfimaspec(mean.model = list(armaOrder = c(1,0), include.mean = TRUE))
# 估计模型
 
#>           mu          ar1        sigma 
#>       0.0083      -0.8887       0.1987
 
#>    mu   ar1 sigma 
#>  0.01 -0.90  0.20
 

我们还可以研究样本数量T对参数估计误差的影响:

# 循环
 
for (T_ in T_sweep) {
  estim_coeffs_vs_T <- rbind(estim_coeffs_vs_T, coef(arma_fit))
  error_coeffs_vs_T <- rbind(error_coeffs_vs_T, abs(coef(arma_fit) - true_params)/true_params)
 
 
# 绘图
matplot(T_sweep, estim_coeffs_vs_T, 
        main = "估计的ARMA系数", xlab = "T", ylab = "值",

matplot(T_sweep, 100*error_coeffs_vs_T, 
        main = "估计ARMA系数的相对误差", xlab = "T", ylab = "误差 (%)",

R语言GARCH-DCC模型和DCC(MVT)建模估计

阅读文章


首先,真正的μ几乎为零,因此相对误差可能显得不稳定。在T = 800个样本之后,其他系数得到了很好的估计。

ARMA预测

为了进行健全性检查,我们现在将比较两个程序包 Forecast 和 rugarch的结果

 
# 指定具有给定系数和参数的AR(1)模型
spec(mean.model = list(armaOrder = c(1,0), include.mean = TRUE), 
                             fixed.pars = list(mu = 0.005, ar1 = -0.9, sigma = 0.1))
# 生成长度为1000的序列
arfima(arma_fixed_spec, n.sim = 1000)@path$seriesSim
# 使用 rugarch包指定和拟合模型
spec(mean.model = list(armaOrder = c(1,0), include.mean = TRUE))
 
# 使用包“ forecast”拟合模型
 
#> ARIMA(1,0,0) with non-zero mean 
#> 
#> Coefficients:
#>           ar1    mean
#>       -0.8982  0.0036
#> s.e.   0.0139  0.0017
#> 
#> sigma^2 estimated as 0.01004:  log likelihood=881.6
#> AIC=-1757.2   AICc=-1757.17   BIC=-1742.47
# 比较模型系数
 
#>          ar1    intercept        sigma 
#> -0.898181148  0.003574781  0.100222964
 
#>           mu          ar1        sigma 
#>  0.003605805 -0.898750138  0.100199956

确实,这两个软件包给出了相同的结果。

ARMA模型选择 

在先前的实验中,我们假设我们知道ARMA模型的阶数,即p = 1和q = 0。实际上,阶数是未知的,因此必须尝试不同的阶数组合。阶数越高,拟合越好,但这将不可避免地导致过度拟合。已经开发出许多方法来惩罚复杂性的增加以避免过度拟合,例如AIC,BIC,SIC,HQIC等。

 
# 尝试不同的组合
 
# 查看排名
#>    AR MA Mean ARFIMA         BIC converged
#> 1   1  0    1      0 -0.38249098         1
#> 2   1  1    1      0 -0.37883157         1
#> 3   2  0    1      0 -0.37736340         1
#> 4   1  2    1      0 -0.37503980         1
#> 5   2  1    1      0 -0.37459177         1
#> 6   3  0    1      0 -0.37164609         1
#> 7   1  3    1      0 -0.37143480         1
#> 8   2  2    1      0 -0.37107841         1
#> 9   3  1    1      0 -0.36795491         1
#> 10  2  3    1      0 -0.36732669         1
#> 11  3  2    1      0 -0.36379209         1
#> 12  3  3    1      0 -0.36058264         1
#> 13  0  3    1      0 -0.11875575         1
#> 14  0  2    1      0  0.02957266         1
#> 15  0  1    1      0  0.39326050         1
#> 16  0  0    1      0  1.17294875         1
#选最好的
 
armaOrder
#> AR MA 
#>  1  0

在这种情况下,由于观察次数T = 1000足够大,因此阶数被正确地检测到。相反,如果尝试使用T = 200,则检测到的阶数为p = 1,q = 3。


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ARMA预测 

一旦估计了ARMA模型参数ϕi  ^ i和θ^j,就可以使用该模型预测未来的值。例如,根据过去的信息对xt的预测是

并且预测误差将为xt-x ^ t = wt(假设参数已被估计),其方差为σ2。软件包 rugarch 使对样本外数据的预测变得简单:


# 估计模型(不包括样本外)
 
coef(arma_fit)
#>           mu          ar1        sigma 
#>  0.007212069 -0.898745183  0.200400119
# 整个样本外的预测对数收益
forecast_log_returns <- xts([email protected]$seriesFor[1, ], dates_out_of_sample)
# 恢复对数价格
prev_log_price <- head(tail(synth_log_prices, out_of_sample+1), out_of_sample)
 
# 对数收益图
plot(cbind("fitted"   = fitted(arma_fit),
 
# 对数价格图
plot(cbind("forecast" = forecast_log_prices,
 
     main = "对数价格预测", legend.loc = "topleft")

多元VARMA模型

对数收益率xt上的VARMA(p,q)模型是

其中wt是具有零均值和协方差矩阵Σw的白噪声序列。该模型的参数是矢量/矩阵系数ϕ0,Φi,Θj和噪声协方差矩阵Σw。

比较

让我们首先加载S&P500:

 
# 加载标普500数据
 
head(SP500_index_prices)
#>              SP500
#> 2012-01-03 1277.06
#> 2012-01-04 1277.30
#> 2012-01-05 1281.06
#> 2012-01-06 1277.81
#> 2012-01-09 1280.70
#> 2012-01-10 1292.08
# 准备训练和测试数据
 
logreturns_trn <- logreturns[1:T_trn]
logreturns_tst <- logreturns[-c(1:T_trn)]
# 绘图
{ plot(logreturns, 
  addEventLines(xts("训练"

现在,我们使用训练数据(即,对于t = 1,…,Ttrnt = 1,…,Ttrn)来拟合不同的模型(请注意,通过指示排除了样本外数据 out.sample = T_tst)。特别是,我们将考虑iid模型,AR模型,ARMA模型以及一些ARCH和GARCH模型(稍后将对方差建模进行更详细的研究)。

 
# 拟合i.i.d.模型 
 
coef(iid_fit)
#>           mu        sigma 
#> 0.0005712982 0.0073516993
mean(logreturns_trn)
#> [1] 0.0005681388
sd(logreturns_trn)
#> [1] 0.007360208
# 拟合AR(1)模型
 
coef(ar_fit)
#>            mu           ar1         sigma 
#>  0.0005678014 -0.0220185181  0.0073532716
# 拟合ARMA(2,2)模型
 
coef(arma_fit)
#>            mu           ar1           ar2           ma1           ma2         sigma 
#>  0.0007223304  0.0268612636  0.9095552008 -0.0832923604 -0.9328475211  0.0072573570
# 拟合ARMA(1,1)+ ARCH(1)模型
 
coef(arch_fit)
#>            mu           ar1           ma1         omega        alpha1 
#>  6.321441e-04  8.720929e-02 -9.391019e-02  4.898885e-05  9.986975e-02
#拟合ARMA(0,0)+ARCH(10)模型
 
coef(long_arch_fit)
#>           mu        omega       alpha1       alpha2       alpha3       alpha4       alpha5 
#> 7.490786e-04 2.452099e-05 6.888561e-02 7.207551e-02 1.419938e-01 1.909541e-02 3.082806e-02 
#>       alpha6       alpha7       alpha8       alpha9      alpha10 
#> 4.026539e-02 3.050040e-07 9.260183e-02 1.150128e-01 1.068426e-06
# 拟合ARMA(1,1)+GARCH(1,1)模型
 
coef(garch_fit)
#>            mu           ar1           ma1         omega        alpha1         beta1 
#>  6.660346e-04  9.664597e-01 -1.000000e+00  7.066506e-06  1.257786e-01  7.470725e-01

我们使用不同的模型来预测对数收益率:

# 准备预测样本外周期的对数收益
 
# i.i.d.模型预测
forecast(iid_fit, n.ahead = 1, n.roll = T_tst - 1) 
                          dates_out_of_sample)
# AR(1)模型进行预测
forecast(ar_fit, n.ahead = 1, n.roll = T_tst - 1) 
                         dates_out_of_sample)
# ARMA(2,2)模型进行预测
forecast(arma_fit, n.ahead = 1, n.roll = T_tst - 1) 
                           dates_out_of_sample)
# 使用ARMA(1,1)+ ARCH(1)模型进行预测
forecast(arch_fit, n.ahead = 1, n.roll = T_tst - 1) 
                           dates_out_of_sample)
# ARMA(0,0)+ARCH(10)模型预测
forecast(long_arch_fit, n.ahead = 1, n.roll = T_tst - 1) 
                                dates_out_of_sample)
# ARMA(1,1)+GARCH(1,1)模型预测
forecast(garch_fit, n.ahead = 1, n.roll = T_tst - 1) 
                            dates_out_of_sample)

我们可以计算不同模型的预测误差(样本内和样本外):

 
print(error_var)
#>                           in-sample out-of-sample
#> iid                    5.417266e-05  8.975710e-05
#> AR(1)                  5.414645e-05  9.006139e-05
#> ARMA(2,2)              5.265204e-05  1.353213e-04
#> ARMA(1,1) + ARCH(1)    5.415836e-05  8.983266e-05
#> ARCH(10)               5.417266e-05  8.975710e-05
#> ARMA(1,1) + GARCH(1,1) 5.339071e-05  9.244012e-05

我们可以观察到,随着模型复杂度的增加,样本内误差趋于变小(由于拟合数据的自由度更高),尽管差异可以忽略不计。

重要的实际上是样本外误差:我们可以看到,增加模型复杂度可能会得出较差的结果。就预测收益的误差而言,似乎最简单的iid模型已经足够了。

最后,让我们展示一些样本外误差的图表:

 
plot(error,
     main = "不同模型收益预测的样本外误差",

请注意,由于我们没有重新拟合模型,因此随着时间的发展,误差越大(对于ARCH建模尤其明显)。

滚动窗口比较

让我们首先通过一个简单的示例比较静态预测与滚动预测的概念:

#ARMA(2,2)模型
spec <- spec(mean.model = list(armaOrder = c(2,2), include.mean = TRUE))
# 静态拟合和预测
ar_static_fit <- fit(spec = spec, data = logreturns, out.sample = T_tst)
 
#滚动拟合和预测
modelroll <- aroll(spec = spec, data = logreturns, n.ahead = 1, 
 
# 预测图
plot(cbind("static forecast"  = ar_static_fore_logreturns,
     main = "使用ARMA(2,2)模型进行预测", legend.loc = "topleft")
# 预测误差图
 
plot(error_logreturns, col = c("black", "red"), lwd = 2,
     main = "ARMA(2,2)模型的预测误差", legend.loc = "topleft")

我们可以清楚地观察到滚动窗口过程对时间序列的影响。

现在,我们可以在滚动窗口的基础上重做所有模型的所有预测:

# 基于i.i.d.模型的滚动预测
roll(iid_spec, data = logreturns, n.ahead = 1, forecast.length = T_t
# AR(1)模型的滚动预测
roll(ar_spec, data = logreturns, n.ahead = 1, forecast.length = T_tst, 
# ARMA(2,2)模型的滚动预测
roll(arma_spec, data = logreturns, n.ahead = 1, forecast.length = T_tst, 
# ARMA(1,1)+ ARCH(1)模型的滚动预测
roll(arch_spec, data = logreturns, n.ahead = 1, forecast.length = T_tst, 
                                               refit.every = 50, refit.win
# ARMA(0,0)+ ARCH(10)模型的滚动预测
roll(long_arch_spec, data = logreturns, n.ahead = 1, forecast.length = T_tst, 
                                                    refit.every = 50, 
# ARMA(1,1)+ GARCH(1,1)模型的滚动预测
roll(garch_spec, data = logreturns, n.ahead = 1, forecast.length = T_tst, 
                                                refit.every = 50, refit.window

让我们看看滚动基准情况下的预测误差:


 
print(rolling_error_var)
#>                           in-sample out-of-sample
#> iid                    5.417266e-05  8.974166e-05
#> AR(1)                  5.414645e-05  9.038057e-05
#> ARMA(2,2)              5.265204e-05  8.924223e-05
#> ARMA(1,1) + ARCH(1)    5.415836e-05  8.991902e-05
#> ARCH(10)               5.417266e-05  8.976736e-05
#> ARMA(1,1) + GARCH(1,1) 5.339071e-05  8.895682e-05

和一些图表:

 
plot(error_logreturns, 
     main = "不同模型的滚动预测误差", legend.loc = "topleft"

我们看到,现在所有模型都拟合了时间序列。此外,我们在模型之间没有发现任何显着差异。

我们最终可以比较静态误差和滚动误差:

barplot(rbind(error_var[, "out-of-sample"], rolling_error_var[, "out-of-sample"])
        col = c("darkblue", "darkgoldenrod"), 
        legend = c("静态预测", "滚动预测"), 
 

我们可以看到,滚动预测在某些情况下是必须的。因此,实际上,我们需要定期进行滚动预测改进。

方差模型

ARCH和GARCH模型

对数收益率残差wt的ARCH(m)模型为

其中zt是具有零均值和恒定方差的白噪声序列,而条件方差σ2t建模为

其中,m为模型阶数,ω> 0,αi≥0为参数。

GARCH(m,s)模型使用σ2t上的递归项扩展了ARCH模型:

其中参数ω> 0,αi≥0,βj≥0需要满足∑mi =1αi+ ∑sj = 1βj≤1的稳定性。

rugarch生成数据 

首先,我们需要定义模型:

# 指定具有给定系数和参数的GARCH模型
#> 
#> *---------------------------------*
#> *       GARCH Model Spec          *
#> *---------------------------------*
#> 
#> Conditional Variance Dynamics    
#> ------------------------------------
#> GARCH Model      : sGARCH(1,1)
#> Variance Targeting   : FALSE 
#> 
#> Conditional Mean Dynamics
#> ------------------------------------
#> Mean Model       : ARFIMA(1,0,0)
#> Include Mean     : TRUE 
#> GARCH-in-Mean        : FALSE 
#> 
#> Conditional Distribution
#> ------------------------------------
#> Distribution :  norm 
#> Includes Skew    :  FALSE 
#> Includes Shape   :  FALSE 
#> Includes Lambda  :  FALSE
#>           Level Fixed Include Estimate LB UB
#> mu        0.005     1       1        0 NA NA
#> ar1      -0.900     1       1        0 NA NA
#> ma        0.000     0       0        0 NA NA
#> arfima    0.000     0       0        0 NA NA
#> archm     0.000     0       0        0 NA NA
#> mxreg     0.000     0       0        0 NA NA
#> omega     0.001     1       1        0 NA NA
#> alpha1    0.300     1       1        0 NA NA
#> beta1     0.650     1       1        0 NA NA
#> gamma     0.000     0       0        0 NA NA
#> eta1      0.000     0       0        0 NA NA
#> eta2      0.000     0       0        0 NA NA
#> delta     0.000     0       0        0 NA NA
#> lambda    0.000     0       0        0 NA NA
#> vxreg     0.000     0       0        0 NA NA
#> skew      0.000     0       0        0 NA NA
#> shape     0.000     0       0        0 NA NA
#> ghlambda  0.000     0       0        0 NA NA
#> xi        0.000     0       0        0 NA NA
#> $mu
#> [1] 0.005
#> 
#> $ar1
#> [1] -0.9
#> 
#> $omega
#> [1] 0.001
#> 
#> $alpha1
#> [1] 0.3
#> 
#> $beta1
#> [1] 0.65
true_params
#>     mu    ar1  omega alpha1  beta1 
#>  0.005 -0.900  0.001  0.300  0.650

然后,我们可以生成收益率时间序列:

# 模拟一条路径
 
hpath(garch_spec, n.sim = T)
 
#>  num [1:2000, 1] 0.167 -0.217 
# 绘图对数收益
 
{ plot(synth_log_returns, main = "GARCH模型的对数收益", lwd = 1.5)
  lines(synth_volatility

GARCH

现在,我们可以估计参数:

# 指定一个GARCH模型
ugarchspec(mean.model = list(armaOrder = c(1,0)
# 估计模型
 
coef(garch_fit)
#>            mu           ar1         omega        alpha1         beta1 
#>  0.0036510100 -0.8902333595  0.0008811434  0.2810460728  0.6717486402
 
#>     mu    ar1  omega alpha1  beta1 
#>  0.005 -0.900  0.001  0.300  0.650
# 系数误差
 
#>           mu          ar1        omega       alpha1        beta1 
#> 0.0013489900 0.0097666405 0.0001188566 0.0189539272 0.0217486402

我们还可以研究样本数量T对参数估计误差的影响:

# 循环
 
for (T_ in T_sweep) {
  garch_fit 
  error_coeffs_vs_T <- rbind(error_coeffs_vs_T, abs((coef(garch_fit) - true_params)/true_params))
  estim_coeffs_vs_T <- rbind(estim_coeffs_vs_T, coef(garch_fit))
 
# 绘图
matplot(T_sweep, 100*error_coeffs_vs_T, 
        main = "估计GARCH系数的相对误差", xlab = "T", ylab = "误差 (%)",
 

真实的ω几乎为零,因此误差非常不稳定。至于其他系数,就像在ARMA情况下一样,μ的估计确实很差(相对误差超过50%),而其他系数似乎在T = 800个样本后得到了很好的估计。

GARCH结果比较 

作为健全性检查,我们现在将比较两个软件包 fGarch 和 rugarch的结果

 
# 指定具有特定参数值的ARMA(0,0)-GARCH(1,1)作为数据生成过程
garch_spec 
#生成长度为1000的数据
 
path(garch_fixed_spec, n.sim = 1000)@path$
# 使用“ rugarch”包指定和拟合模型
 
rugarch_fit <- ugarchfit(spec = garch_spec, data = x)
# 使用包“ fGarch”拟合模型
garchFit(formula = ~ garch(1, 1), data = x, trace = FALSE)
# 比较模型系数
#>         mu      omega     alpha1      beta1 
#> 0.09749904 0.01395109 0.13510445 0.73938595
#>         mu      omega     alpha1      beta1 
#> 0.09750394 0.01392648 0.13527024 0.73971658
# 比较拟合的标准偏差
print(head(fGarch_fi
#> [1] 0.3513549 0.3254788 0.3037747 0.2869034 0.2735266 0.2708994
print(head(rugar
#> [1] 0.3538569 0.3275037 0.3053974 0.2881853 0.2745264 0.2716555

确实,这两个软件包给出了相同的结果。

使用rugarch包进行GARCH预测 

一旦估计出GARCH模型的参数,就可以使用该模型预测未来的值。例如,基于过去的信息对条件方差的单步预测为

给定ω^ /(1-∑mi =1α^ i-∑sj =1β^ j)。软件包 rugarch 使对样本外数据的预测变得简单:

# 估计模型,不包括样本外
 
 
garch_fit 
coef(garch_fit)
#>            mu           ar1         omega        alpha1         beta1 
#>  0.0034964331 -0.8996287630  0.0006531088  0.3058756796  0.6815452241
# 预测整个样本的对数收益
 
[email protected]$sigmaFor[1, ]
# 对数收益图
plot(cbind("fitted"   = fitted(garch_fit),
     main = "合成对数收益预测", legend.loc = "topleft")
#波动率对数收益图
plot(cbind("fitted volatility"   = sigma(garch_fit),
     main = "预测合成对数收益率的波动性", legend.loc = "topleft")

不同方法

让我们首先加载S&P500:

 
# 加载标准普尔500指数数据
 
head(SP500_index_prices)
#>              SP500
#> 2008-01-02 1447.16
#> 2008-01-03 1447.16
#> 2008-01-04 1411.63
#> 2008-01-07 1416.18
#> 2008-01-08 1390.19
#> 2008-01-09 1409.13
# 准备训练和测试数据
 
x_trn <- x[1:T_trn]
x_tst <- x[-c(1:T_trn)]
# 绘图
{ plot(x, main = "收益"
  addEventLines(xts("训练", in

常数

让我们从常数开始:

plot(cbind(sqrt(var_constant), x_trn)
     main = "常数")

移动平均值

现在,让我们使用平方收益的移动平均值:

 
plot(cbind(sqrt(var_t), x_trn), 
     main = "基于简单滚动平方均值的包络线(时间段=20)
 

EWMA

指数加权移动平均线(EWMA):

请注意,这也可以建模为ETS(A,N,N)状态空间模型:

 
plot(cbind(std_t, x_trn), 
     main = "基于平方EWMA的包络")
 

乘法ETS

我们还可以尝试ETS模型的不同变体。例如,具有状态空间模型的乘性噪声版本ETS(M,N,N):

 
plot(cbind(std_t, x_trn), col = c("red", "black")
     main = "基于平方的ETS(M,N,N)的包络"
 


随时关注您喜欢的主题


ARCH

现在,我们可以使用更复杂的ARCH建模:

 
plot(cbind(std_t, x_trn), col = c("red", "black")
     main = "基于ARCH(5)的包络")
 

GARCH

我们可以将模型提升到GARCH:

 
plot(cbind(std_t, x_trn), col = c("red", "black")
     main = "基于GARCH(1,1)的包络")
 

SV随机波动率

最后,我们可以使用随机波动率建模:

或者,等效地,

 
plot(cbind(std_t, x_trn), col = c("red", "black"),
     main = "基于随机波动率的包络分析")
 

比较

现在,我们可以比较每种方法在样本外期间的方差估计中的误差:


 
#>           MA         EWMA   ETS(M,N,N)      ARCH(5)   GARCH(1,1)           SV 
#> 2.204965e-05 7.226188e-06 3.284057e-06 7.879039e-05 6.496545e-06 6.705059e-06
barplot(error_all, main = "样本外方差估计中的误差"

滚动窗口比较

六种方法的滚动窗口比较:MA,EWMA,ETS(MNN),ARCH(5),GARCH(1,1)和SV。

  
#滚动窗口
lookback <- 200
len_tst <- 40
for (i in seq(lookback, T-len_tst, by = len_tst)) {
 
  # MA
  var_t <- roll_meanr(x_trn^2, n = 20, fill = NA)
  var_fore <- var(x_trn/sqrt(var_t), na.rm = TRUE) * tail(var_t, 1)
  error_ma <- c(error_ma, abs(var_fore - var_tst))
  
  # EWMA
 
  error_ewma <- c(error_ewma, abs(var_fore - var_tst))
  
  # ETS(M,N,N)
 
  error_ets_mnn <- c(error_ets_mnn, abs(var_fore - var_tst))
  
  # ARCH
 
  error_arch <- c(error_arch, abs(var_fore - var_tst))
  
  # GARCH
 
  error_garch <- c(error_garch, abs(var_fore - var_tst))
  
  # SV
 
  error_sv <- c(error_sv, abs(var_fore - var_tst))
}
 
barplot(error_all, main = "方差估计误差",

多元GARCH模型

出于说明目的,我们将仅考虑恒定条件相关(CCC)和动态条件相关(DCC)模型,因为它们是最受欢迎的模型。对数收益率残差wt建模为

其中zt是具有零均值和恒定协方差矩阵II的iid白噪声序列。条件协方差矩阵Σt建模为

其中Dt = Diag(σ1,t,…,σN,t)是标准化噪声向量C,协方差矩阵ηt=C-1wt(即,它包含等于1的对角线元素)。

基本上,使用此模型,对角矩阵Dt包含一组单变量GARCH模型,然后矩阵C包含序列之间的一些相关性。该模型的主要缺点是矩阵C是恒定的。为了克服这个问题,DCC被提议为

其中Ct包含等于1的对角元素。要强制等于1的对角元素,Engle将其建模为

Qt具有任意对角线元素并遵循模型

我们将生成数据,估计参数和预测。

从加载多元ETF数据开始:

  • SPDR S&P 500 ETF
  • 20年以上国债ETF
  • IEF:7-10年期国债ETF
 
# 下载数据
prices <- xts()
 
head(prices)
#>                 SPY      TLT      IEF
#> 2013-01-02 127.8779 99.85183 93.65224
#> 2013-01-03 127.5890 98.49886 93.17085
#> 2013-01-04 128.1493 98.88306 93.21463
#> 2013-01-07 127.7991 98.92480 93.26714
#> 2013-01-08 127.4314 99.57622 93.49468
#> 2013-01-09 127.7553 99.48438 93.54719
# 绘制三个对数价格序列
plot(log(prices)
     main = "三个ETF的对数价格", legend.loc = "topleft")

首先,我们定义模型:

 
# 指定i.i.d.单变量时间序列模型
ugarch_spec 
# 指定DCC模型
spec( multispec(replicate(spec, n = 3))
    

接下来,我们拟合模型:

# 估计模型
 
#> 
#> *---------------------------------*
#> *          DCC GARCH Fit          *
#> *---------------------------------*
#> 
#> Distribution         :  mvnorm
#> Model                :  DCC(1,1)
#> No. Parameters       :  44
#> [VAR GARCH DCC UncQ] : [30+9+2+3]
#> No. Series           :  3
#> No. Obs.             :  1007
#> Log-Likelihood       :  12198.4
#> Av.Log-Likelihood    :  12.11 
#> 
#> Optimal Parameters
#> -----------------------------------
#>               Estimate  Std. Error   t value Pr(>|t|)
#> [SPY].omega   0.000004    0.000000  11.71585 0.000000
#> [SPY].alpha1  0.050124    0.005307   9.44472 0.000000
#> [SPY].beta1   0.870051    0.011160  77.96041 0.000000
#> [TLT].omega   0.000001    0.000001   0.93156 0.351563
#> [TLT].alpha1  0.019716    0.010126   1.94707 0.051527
#> [TLT].beta1   0.963760    0.006434 149.79210 0.000000
#> [IEF].omega   0.000000    0.000001   0.46913 0.638979
#> [IEF].alpha1  0.031741    0.023152   1.37097 0.170385
#> [IEF].beta1   0.937777    0.016498  56.84336 0.000000
#> [Joint]dcca1  0.033573    0.014918   2.25044 0.024421
#> [Joint]dccb1  0.859787    0.079589  10.80278 0.000000
#> 
#> Information Criteria
#> ---------------------
#>                     
#> Akaike       -24.140
#> Bayes        -23.925
#> Shibata      -24.143
#> Hannan-Quinn -24.058
#> 
#> 
#> Elapsed time : 0.8804049

我们可以绘制时变相关性:

# 提取时变协方差和相关矩阵
dim(dcc_cor)
#> [1]    3    3 1007
#绘图
 
plot(corr_t
     main = "时变相关", legend.loc = "left")

我们看到两个收益ETF之间的相关性非常高且相当稳定。与SPY的相关性较小,在小于0的区间波动。


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关于作者

Kaizong Ye拓端研究室(TRL)的研究员。

本文借鉴了作者最近为《R语言数据分析挖掘必知必会 》课堂做的准备。

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