最近我们被客户要求撰写关于ARMA-GARCH-VaR模型的研究报告。
本文显示了如何基于潜在的ARMA-GARCH模型（当然也涉及更广泛意义上的QRM）来拟合和预测风险价值（VaR）。
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从ARMA-GARCH进程模拟（log-return）数据
计算VaR的计量经济方法就是，先用ARMA和GARCH模型分别拟合一个均值方程和波动率方程。利用均值方程和波动率方程向后进行多期的预测，利用此预测的值直接计算VaR。
对于对数收益率，我们前期介绍了很多，它的时间序列模型为：
它的一步向前预测为：
如果假设它的噪声项et服从高斯分布，则给定t时刻的信息集的条件下，rt+1的条件分布服从：
因此，它的95%分位点为：
如果是向前推k步，也可以得到对应期的VaR!
至于为什么持有1天比持有10天的VaR还大，这就得从计量经济学计算方法说明了，计量方法的VaR值主要受预测的均值和波动率影响，它是市场实时交易状态的一种反应。最近，50ETF的波动率持续降低，自然而然，通过这种方法计算的VaR也会降低。至于VaR计算的风险度量制，根据其公式，这种方法下计算的VaR随着持有期的增加而增加，直观理解上貌似合理，因为人们总是认为，一个风险资产持有1期的风险总是比持有10期的风险低。但是，这种方法仅仅是历史分布的拟合结果，没有考虑实时的市场交易状态，恰恰是不合理的。
我们考虑使用t 分布的ARMA（1,1）-GARCH（1,1）过程。
模拟一个序列（用于说明目的）。
nu <- 3
fixed.p <- list(mu = 0, # mu (截距)
ar1 = 0.5, # phi_1 (AR(1) 参数 of mu_t)
ma1 = 0.3, # theta_1 (MA(1) 参数 of mu_t)
omega = 4, # alpha_0 (截距)
alpha1 = 0.4, # alpha_1 (GARCH(1) 参数 of sigma_t^2)
beta1 = 0.2, # beta_1 (GARCH(1) 参数 of sigma_t^2)
shape = nu) #
armaOrder <- c(1,1) # ARMA 参数
garchOrder <- c(1,1) # GARCH 参数
varModel <- list(model = "sGARCH", garchOrder = garchOrder)
spec <- ugarchspec(varModel, mean.model = list(armaOrder = armaOrder),
fixed.pars = fixed.p, distribution.model = "std") # t 标准残差作为一个完整性检查，让我们绘制模拟序列，条件标准偏差和残差。
plot(X, type = "l", xlab = "t", ylab = expression(X[t]))
plot(sig, type = "h", xlab = "t", ylab = expression(sigma[t]))
plot(eps, type = "l", xlab = "t", ylab = expression(epsilon[t]))
将ARMA-GARCH模型拟合到（模拟）数据
拟合ARMA-GARCH模型 。
让我们再考虑一些健全性检查。
## 拟合 ARMA(1,1)-GARCH(1,1)模型
spec <- ugarchspec(varModel, mean.model = list(armaOrder = armaOrder),
distribution.model = "std") # 没有固定参数设置
fit <- ugarchfit(spec, data = X) # 拟合
## 导出结果序列
mu. <- fitted(fit) # 拟合 hat{mu}_t (= hat{X}_t)
sig. <- sigma(fit) # 拟合 hat{sigma}_t
## 完整性检查 (=> fitted() and sigma() 提取正确的结果
stopifnot(all.equal(as.numeric(mu.), fit@fit$fitted.values),
all.equal(as.numeric(sig.), fit@fit$sigma))
计算VaR时间序列
计算VaR估计值。注意，我们在这里也可以使用基于GPD的估算。
回测 VaR估计值
让我们回测VaR的估计。
## [1] 10
## [1] 12
## [1] "Correct Exceedances"
## [1] "Fail to Reject H0"
## [1] "Correct Exceedances & Independent"
## [1] "Fail to Reject H0"基于拟合模型预测VaR
现在预测VaR。
模拟 X_t 的未来轨迹并计算相应的VaR
模拟序列，估计每个模拟路径的VaR（注意quantile()这里不能使用，因此我们必须手动构建VaR）并计算VaR _alpha的bootstrap置信区间。
结果对比
最后，我们显示所有结果。
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