在本文中，我们通过一个名为WinBUGS的免费贝叶斯软件，可以很容易地完成基于似然的多变量随机波动率（SV）模型的估计和比较。

由Kaizong Ye，Sherry Deng撰写

通过拟合每周汇率的双变量时间序列数据，多变量SV模型，包括波动率中的格兰杰因果关系，时变相关性，重尾误差分布，加性因子结构和乘法因子结构来说明想法。

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单变量随机波动率（SV）模型为ARCH类型模型提供了有效的替代方案，可以解释波动率的条件和无条件属性。

现有的有关财务模型的大多数文献都假设资产的波动性是恒定的。然而，这种假设忽略了波动聚类，高峰，厚尾，波动性和均值回复的实际市场回报的特点，不能用恒定的波动模型。资产存在市场制度下，其波动性在不同时间段内会发生显着变化。在2007 – 2008年金融危机是市场波动时期的好例子。

因此，Black Scholes模型的自然扩展是考虑非恒定波动率。史蒂文·赫斯顿（Steven Heston）提出了一个模型，该模型不仅考虑了随时间变化的波动性，而且还引入了随机（即不确定性）成分。这是著名的Heston随机波动率模型。

数学模型

Black Scholes模型使用具有几何布朗运动的随机微分方程对资产路径的动力学建模。它由下式给出：

St 是相关资产当时的价格， μ 是资产的（恒定）漂移， σ 是证券的（恒定）波动率 dWt 是一个Weiner过程（即随机游走）。

Heston模型通过引入第二个随机微分方程来扩展此范围，以表示期权在整个有效期内基础波动率的“路径”。方差的SDE由Cox-Ingersoll-Ross过程给出：

μ是资产的漂移
θ即长期平均价格差异
κ 是的均值回复率 νt 到长期平均水平 θ
ξ 是“ vol of vol”，即 νt方差

所有参数都不具有任何时间依赖性。

为了 νt>0，必须满足Feller条件：

此外，该模型要求构成随机性的两个独立的Weiner过程实际上是相关的，具有瞬时常数相关

多元SV模型

金融资产收益的程式化事实

考虑到多变量SV模型对于描述金融资产收益的动态最有用，我们首先总结一些记录良好的金融资产收益的程式化事实：

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资产收益分配是尖峰厚尾特征。
资产收益率波动率集群。
收益率是交叉相关的。
波动性是交叉依赖的。
一种资产格兰杰的波动导致另一种资产的波动。
通常存在较低维度因子结构，可以解释大部分相关性。
相关性是随时间变化的。

除了这七个事实之外，诸如参数空间的维数和协方差矩阵的正半确定性之类的问题具有实际重要性。当我们审查现有模型并介绍我们的新模型时，我们将评论它们处理程式化事实和上述两个问题的适当性。

为了说明替代多变量SV模型之间的差异和联系，我们关注本文中的双变量情况。特别是，我们考虑了九种不同的双变量SV模型（带粗体的首字母缩略词）。此外，这些模型中的大多数都适用于多维变量，而模型5是唯一的例外。

模型1（基本MSV或MSV）。该模型相当于将两个基本单变量SV模型组合在一起。显然，该模型不允许交叉收益或波动率之间的相关性，也不允许Granger因果关系。但是，它允许尖峰厚尾特征收益率分布和波动率聚类。

模型2（常数相关MSV或CC-MSV）在该模型中，允许收益率冲击相关，因此该模型类似于Bollerslev的常数条件相关（CCC）ARCH模型。因此，收益率是相互依赖的。

模型3（具有格兰杰因果关系或GC-MSV的MSV）。由于φ 21可以是不同于零，第二资产的波动允许是格兰杰由第一资产的波动。因此，收益率和波动率都是相互依赖的。然而，波动率的交叉依赖性是通过格兰杰因果关系和波动率聚类共同实现的。此外，当两个φ 12和φ 21是非零，在两种资产之间波动双向Granger因果关系是允许的。据我们所知，该模型是SV文献的新增内容。

使用WinBUGS进行贝叶斯估计

模型通过对所有未知参数a =（a 1，…，a p）的先验分布的设置来完成。例如，在模型1（MSV）中，p = 6和未知参数的矢量a。贝叶斯推断基于模型中所有未观察量θ的联合后验分布。矢量θ包括未知参数和潜在对数波动率的矢量，即θ =（a，h 1，…，h T）。

实证说明

数据

在本节中，我们将介绍的模型拟合实际经济时间序列数据。从1994年1月到2003年12月，所使用的数据是每周澳大利亚和新西兰汇率的平均调整对数收益率。这两个序列的选择是因为这两个经济体彼此紧密相连，因此事先预计两种汇率之间的依赖性很强。这两个系列在图中绘制，其中收益率和波动率的交叉依赖性确实显得很强。

汇率收益率的时间序列图。

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Basis MSV

基础msv

使用R语言随机波动模型SV处理时间序列中的随机波动率

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由于非标准化的参数设置，模拟

代码片段：

model volatility;
{for (i in 1:N) {
Yisigma2a[i] <- exp(-th[i,1]);
Yisigma2b[i] <- exp(-th[i,2]);
Y[i,1]~ dnorm(0,Yisigma2a[i]);
Y[i,2]~ dnorm(0,Yisigma2b[i]
 
th[1,1]~dnorm(thmean[1,1],itaua2);
th[1,2]~dnorm(thmean[1,2],itaub2
for (i in 2:N) {
thmean[i,1] <- mu1 + phi1*(th[i-1,1]-mu1);
thmean[i,2] <- mu2 + phi2*(th[i-1,2]-mu2

MSV Granger Causality GC-MSV

代码片段：

model volatility;
{ for (i in 1:N) {
ysigmadet[i]<-exp(th[i,1]+th[i,2])*(1-rhoep*rhoep;
Yisigma2[i,1,1] <- exp(th[i,2])/ysigmadet[i;
 
 
 
Yisigma2[i,2,1] <- Yisigma2[i,1,2;
 
 
 
for (i in 2:N) {
thmean[i,1] <- mu1 + phi1*(th[i-1,1]-mu1)+phi12*(th[i-1,2]-mu2);
thmean[i,2] <- mu2 + phi2*(th[i-1,2]-mu2)