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在本文中，我们帮助客户考虑如何扩展ARIMA模型，以便允许其他信息被纳入模型中。

在本文中，我们允许回归中的误差包含自相关。例如，如果ηt’遵循ARIMA(1,1,1)模型，我们可以写成：

示例：个人消费和收入

我们可以使用residuals()函数来恢复对于ηt和εt序列的估计值。

cbind("Regression Errors" = residuals....... autoplot(facets=TRUE)

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 图2：从拟合模型中获取的回归误差（ηt）和ARIMA误差（εt）。

应该看出ARIMA误差类似于一个白噪声序列。

图3: 残差（即ARIMA误差）与白噪声没有显著差异。

示例：个人消费和收入

我们将计算未来八个季度的预测值，假设未来的可支配收入百分比变化将等于过去四十年的平均百分比变化。

fcast <- forecast.......

图4：使用采用ARIMA（1,0,2）误差模型回归消费支出百分比变化与可支配收入百分比变化，获取的预测值。

该模型的预测区间开发的模型更窄，因为我们现在能够使用收入预测变量来解释数据的一部分变异性。

示例：预测用电量

日用电量可以建模为与温度有关的函数。正如在电费单上可以观察到的，在寒冷的天气里由于加热和炎热的天气里由于空调等原因使用更多的电。寒冷和炎热天气对电力需求的增加反映在图中的U形，其中将日需求与日最高气温相关联。

图5：2014年每日用电量与最高气温的关系。

图6：2014年每日用电量和最高温度。

在此示例中，我们使用auto.arima()函数拟合具有ARMA误差的二次回归模型。

xreg <- cbind(MaxTemp =.......

fit <- auto........
 xreg = xreg)

图7：每日电力需求的动态回归模型残差诊断。

图8：每日电力需求的动态回归模型预测。所有未来温度都设置为26摄氏度，工作日虚拟变量被设置为已知的未来值。

随机趋势和确定性趋势

有两种不同的方法来对线性趋势进行建模。通过回归模型可以得到一个“确定性趋势”，如下所示：

其中ηt为ARMA过程。通过以下模型可以得到一个“随机趋势”：

这类似于带趋势的随机游走，但这里的误差项是一个ARMA过程，而不仅仅是白噪声。

尽管这些模型看起来非常相似（它们只有在应用到ηt′′时需要应用的差分数量不同），它们的预测特性却非常不同。

示例：国际游客数据

autoplot(austa) + xlab("Year")....... )

图9：1980年至2015年年际国际游客人数。

图9显示了1980年至2015年每年国际游客总数。我们将对这些数据拟合一个确定性趋势模型和一个随机趋势模型。确定性趋势模型的拟合如下：

trend <- seq_along....... rend))

这个模型可以表示为：

预计每年游客数量的增长为0.17百万人。

或者，可以使用随机趋势模型进行估计。

(fit2 <- au....... , d=1))

 这个模型可以表示为: yt−yt−1=0.173+η′t, 或者等价地

在这种情况下，游客数量的预计增长也是0.17百万人。尽管增长估计相似，但预测区间不同，如图所示。特别是，由于误差是非平稳的，随机趋势具有更宽的预测区间。

fc1 <- forecast(fit1....... guides(colour=guide_legend(t)

图10：使用确定趋势模型和随机趋势模型对国际游客的年度预测。

确定性趋势隐含了一个假设，即趋势的斜率不会随时间而变化。另一方面，随机趋势可以变化，并且估计的增长仅被假设为历史时期的平均增长，而不一定是未来观察到的增长率。因此，使用随机趋势进行预测更安全，特别是对于较长的预测时间范围，在这种情况下，预测区间允许未来增长的不确定性更大。