R语言泊松回归对保险定价建模中的应用：风险敞口作为可能的解释变量

在保险定价中，风险敞口通常用作模型索赔频率的补偿变量。

如果我们必须使用相同的程序，但是一个程序的暴露时间为6个月，而另一个则是一年，那么自然应该假设平均而言，第二个驾驶员的事故要多两倍。

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完整代码、数据和文档（word）

这是使用标准（均匀）泊松过程来建模索赔频率的动机。人们在这里还可以看到法律问题，因为如果（部分）退还保费，则可以按比例进行。风险与暴露成正比。因此，如果 Yi表示被保险人的理赔数量i，则具有特征Xi和风险敞口Ei，通过泊松回归，我们写

https://latex.codecogs.com/gif.latex?Y_i\sim\mathcal{P}(E_i\cdot%20\exp(\boldsymbol{X}_i%27\boldsymbol{\beta}））

或等同

https://latex.codecogs.com/gif.latex?Y_i\sim\mathcal{P}(\exp(\log(E_i)+\boldsymbol{X}_i%27\boldsymbol{\beta}））

根据该表达式，曝光量的对数是一个解释变量，不应有系数（此处的系数取为1）。我们不能使用暴露作为解释变量吗？我们会得到一个单位参数吗？

当然，在进行费率评估的过程中，这可能不是一个相关的问题，因为精算师需要预测年度索赔频率（因为保险合同应提供一年的保险期）。但是，更好地了解人们为什么会离开我们的投资组合（例如，在任期前取消保险单，或者某天不续签）可能会很有趣。

为了更具体和更好地理解，请考虑以下模型：考虑使用Poisson流程对索赔到达进行建模，以及专职于其保险公司的人员。

> n=983
> D1=as.Date("01/01/1993",'%d/%m/%Y')
> D2=as.Date("31/12/2013",'%d/%m/%Y')


> for(i in 1:n){
+   expo=D2-arrival[i]
+   w=0
+   while(max(w)<expo) w=c(w,max(w)+1+trunc(rexp(1,1/1000)))
+   exposure[i]=departure[i]-arrival[i]
+   N[i]=max(0,length(w)-2)}
> df=data.frame(N=N,E=exposure/365)

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在这里，两次索赔之间的预期时间为1000天。泊松过程的（年度）强度在这里

> 365/1000
[1] 0.365

因此，如果我们对曝光的对数进行Poisson回归，我们应该获取一个相近参数

> log(365/1000)
[1] -1.007858

在这里，具有偏移量的常数的回归为

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精算科学

关于结合数学、统计方法以及程序语言对经济活动来做风险分析、评估的见解。

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> summary(reg)

Call:

Deviance Residuals: 
    Min       1Q   Median       3Q      Max  
-3.4145  -0.4673   0.2367   0.8770   3.6828  

Coefficients:
            Estimate Std. Error z value Pr(>|z|)    
(Intercept) -1.04233    0.02532  -41.17   <2e-16 ***
---
Signif. codes:  0 ‘***’ 0.001 ‘**’ 0.01 ‘*’ 0.05 ‘.’ 0.1 ‘ ’ 1 

(Dispersion parameter for poisson family taken to be 1)

    Null deviance: 1116.9  on 982  degrees of freedom
Residual deviance: 1116.9  on 982  degrees of freedom
AIC: 3282.9

Number of Fisher Scoring iterations: 5

这与我们刚才所说的一致。如果我们以曝光量的对数作为可能的解释变量进行回归，则我们期望其系数接近1。


Call:

Deviance Residuals: 
    Min       1Q   Median       3Q      Max  
-3.0810  -0.8373  -0.1493   0.5676   3.9001  

Coefficients:
            Estimate Std. Error z value Pr(>|z|)    
(Intercept) -1.03350    0.08546  -12.09   <2e-16 ***
log(E)       1.00920    0.03292   30.66   <2e-16 ***
---
Signif. codes:  0 ‘***’ 0.001 ‘**’ 0.01 ‘*’ 0.05 ‘.’ 0.1 ‘ ’ 1 

(Dispersion parameter for poisson family taken to be 1)

    Null deviance: 2553.6  on 982  degrees of freedom
Residual deviance: 1064.2  on 981  degrees of freedom
AIC: 3762.7

Number of Fisher Scoring iterations: 5

如果我们保留偏移量并添加变量，我们可以看到它变得无用（对单位参数的测试）


Call:


Deviance Residuals: 
    Min       1Q   Median       3Q      Max  
-3.0810  -0.8373  -0.1493   0.5676   3.9001  

Coefficients:
             Estimate Std. Error z value Pr(>|z|)    
(Intercept) -1.033503   0.085460 -12.093   <2e-16 ***
log(E)       0.009201   0.032920   0.279     0.78    
---
Signif. codes:  0 ‘***’ 0.001 ‘**’ 0.01 ‘*’ 0.05 ‘.’ 0.1 ‘ ’ 1 

(Dispersion parameter for poisson family taken to be 1)

    Null deviance: 1064.3  on 982  degrees of freedom
Residual deviance: 1064.2  on 981  degrees of freedom
AIC: 3762.7

Number of Fisher Scoring iterations: 5

在这里，我们确实具有纯泊松过程，因此曝光至关重要，因为泊松分布的参数与曝光成正比。但是我们不能从曝光中学到其他东西。

考虑一些真实数据。

  nocontrat exposition zone puissance agevehicule
1        27       0.87    C         7           0
2       115       0.72    D         5           0
3       121       0.05    C         6           0
4       142       0.90    C        10          10
5       155       0.12    C         7           0
6       186       0.83    C         5           0
  ageconducteur bonus marque carburant densite region nbre
1            56    50     12         D      93     13    0
2            45    50     12         E      54     13    0
3            37    55     12         D      11     13    0
4            42    50     12         D      93     13    0
5            59    50     12         E      73     13    0
6            75    50     12         E      42     13    0

如果考虑暴露的对数的泊松回归，将会得到什么？

> summary(reg)

Call:

Deviance Residuals: 
    Min       1Q   Median       3Q      Max  
-0.3988  -0.3388  -0.2786  -0.1981  12.9036  

Coefficients:
                Estimate Std. Error z value Pr(>|z|)    
(Intercept)     -2.83045    0.02822 -100.31   <2e-16 ***
log(exposition)  0.53950    0.02905   18.57   <2e-16 ***
---
Signif. codes:  0 ‘***’ 0.001 ‘**’ 0.01 ‘*’ 0.05 ‘.’ 0.1 ‘ ’ 1 

(Dispersion parameter for poisson family taken to be 1)

    Null deviance: 12931  on 49999  degrees of freedom
Residual deviance: 12475  on 49998  degrees of freedom
AIC: 16150

Number of Fisher Scoring iterations: 6

如果将曝光量添加到偏移量中，会发生什么情况？（我们使用非参数转换，可视化发生的情况）

plot(reg,se=TRUE)

有明显而显着的效果。时间越长，他们获得索赔的可能性就越小。实际上，无需进行回归即可观察到它。


> plot(h1$mids,h1$density,type='s',lwd=2,col="red")
> lines(h0$mids,h0$density,type='s',col='blue',lwd=2)

蓝色为没有索赔人的风险密度，红色为有一个或多个索赔人的风险密度。

因此，在这里，我们不能假设参数的单位值。这意味着什么？我们可以重现这种行为吗？

为了更好地理解被保险人，请考虑两种可能的行为。第一个是：如果公司在没有索赔的几年后没有提供大幅折扣，则被保险人可能会离开公司。例如，如果被保险人在5年内没有索偿，那么5年后，他将离开公司（例如，获得更高的价格）。该代码


> df=data.frame(N=N,E=exposure/365)

如果我考虑的是1500天而不是5年。

> summary(reg)

Call:

Deviance Residuals: 
    Min       1Q   Median       3Q      Max  
-1.5684  -0.9668  -0.2321   0.4244   3.6265  

Coefficients:
            Estimate Std. Error z value Pr(>|z|)    
(Intercept) -2.50844    0.10286  -24.39   <2e-16 ***
log(E)       1.65738    0.04494   36.88   <2e-16 ***
---
Signif. codes:  0 ‘***’ 0.001 ‘**’ 0.01 ‘*’ 0.05 ‘.’ 0.1 ‘ ’ 1 

(Dispersion parameter for poisson family taken to be 1)

    Null deviance: 2567.31  on 982  degrees of freedom
Residual deviance:  885.71  on 981  degrees of freedom

此处，系数（明显）大于1。

> summary(reg)

Call:

Deviance Residuals: 
    Min       1Q   Median       3Q      Max  
-1.5684  -0.9668  -0.2321   0.4244   3.6265  

Coefficients:
            Estimate Std. Error z value Pr(>|z|)    
(Intercept) -2.50844    0.10286  -24.39   <2e-16 ***
log(E)       0.65738    0.04494   14.63   <2e-16 ***
---
Signif. codes:  0 ‘***’ 0.001 ‘**’ 0.01 ‘*’ 0.05 ‘.’ 0.1 ‘ ’ 1 

(Dispersion parameter for poisson family taken to be 1)

    Null deviance: 1114.24  on 982  degrees of freedom
Residual deviance:  885.71  on 981  degrees of freedom
AIC: 2897.9

这里显然存在偏见：长时间待在办公室的人更可能发生事故。这与我们的想法一致，因为客户的风险较低。

第二种行为是：有时，被保险人对索赔的处理方式不满意，他们可能会在第一次索赔后离开。考虑一种情况，在一项索赔之后，被保险人很可能（例如，概率为50％）离开公司。与其假设被保险人不喜欢理赔管理，不如考虑汽车被严重损坏以至于他不能再开车了。因此，支付保险费将毫无用处。这里的代码

> for(i in 1:n){
+   expo=D2-arrival[i]
+   w=0


+   exposure[i]=departure[i]-arrival[i]}
> df=data.frame(N=N,E=exposure/365)

在这里，在每次索赔之后，被保险人扔硬币查看他是否取消合同。



Deviance Residuals: 
     Min        1Q    Median        3Q       Max  
-2.28402  -0.47763  -0.08215   0.33819   2.37628  

Coefficients:
            Estimate Std. Error z value Pr(>|z|)    
(Intercept)  0.09920    0.04251   2.334   0.0196 *  
log(E)       0.30640    0.02511  12.203   <2e-16 ***
---
Signif. codes:  0 ‘***’ 0.001 ‘**’ 0.01 ‘*’ 0.05 ‘.’ 0.1 ‘ ’ 1 

(Dispersion parameter for poisson family taken to be 1)

    Null deviance: 666.92  on 982  degrees of freedom
Residual deviance: 498.29  on 981  degrees of freedom
AIC: 2666.3

这次，参数（再次显着）小于1。



Deviance Residuals: 
     Min        1Q    Median        3Q       Max  
-2.28402  -0.47763  -0.08215   0.33819   2.37628  

Coefficients:
            Estimate Std. Error z value Pr(>|z|)    
(Intercept)  0.09920    0.04251   2.334   0.0196 *  
log(E)      -0.69360    0.02511 -27.625   <2e-16 ***
---
Signif. codes:  0 ‘***’ 0.001 ‘**’ 0.01 ‘*’ 0.05 ‘.’ 0.1 ‘ ’ 1 

(Dispersion parameter for poisson family taken to be 1)

    Null deviance: 1116.87  on 982  degrees of freedom
Residual deviance:  498.29  on 981  degrees of freedom
AIC: 2666.3

现在的情况已经大不相同了，因为那些待久的人应该不会遇到很多离开的机会。显然，他们没有太多要求。如果某人的风险敞口很大，那么上面输出中的负号表示该人平均应该没有太多债权。

如我们所见，这些模型产生了相当大的差异输出。注意，可能有更多的解释。例如，根据提取数据的方式，