R语言使用多元AR-GARCH模型衡量市场风险

本文分析将用于制定管理客户和供应商关系的策略准则。

 

由Kaizong Ye,Sherry Deng撰写

假设:

  • 贵公司拥有用于生产和分销聚戊二酸的设施,聚戊二酸是一种用于多个行业的化合物。
  • 制造和分销过程的投入包括各种石油产品和天然气。价格波动可能非常不稳定。
  • 营运资金管理一直是一个挑战,最近汇率的走势严重影响了资金。
  • 您的CFO使用期货和场外交易(OTC)工具对冲价格风险。

董事会感到关切的是,公司已连续第五个季度未能实现盈利预期。股东不高兴。罪魁祸首似乎是商品销售成本的波动。

示例

  1. 您应该问有哪些能源定价模式的关键业务问题?
  2. 您可以使用哪种方法来管理波动率?
×

在经济全球化的背景下, 很少有一国或地区的金融市场是封闭和孤立的。当金融危机在美国爆发之后,这场惊涛巨浪 很快就传递到世界其他主要经济体的金融市场。显然,传统的一元GARCH模型无法捕捉 到这种跨市场的风险传递(或称波动溢出),早在1988年,Bollerslev等就曾考虑用多元 GARCH模型研究多变量的波动溢出,相比传统的单变量GARCH模型只能刻画单一金融 资产风险的纵向传递,多元GARCH模型不仅能刻画多个金融资产沿时间方向的波动集聚, 还能有效捕捉不同金融资产之间的风险交叉传递。

在金融市场上,其波动率的研究取得了很大的进展,但金融市场的资产多种多样,在进行金融资 产组合投资时,就会面临多资产、多收益、多风险的 问题。同时,在经济全球化背景下,各国金融市场互相联系、互相影响。研究股票市场之间的联动性,不 仅对于个人投资者、机构投资者进行风险管理有较 大的参考意义,而且对于政府在金融监管及股票市 场政策的制定也有较大的参考价值。鉴于此,许多 学者在GARCH的基础上进行改进和扩展,形成了一系列的多元GARCH模型。


在过去的20多年间,对金融资产波动率的研究,无论是在理论上或是分析工具上都取 得了很大进展,特别是在分析单个资产的波动特征方面,已经形成了一套非常成熟而又完备 的理论框架。Bollerslev等(1992、1994)曾对一元ARCH类模型作过相关文献综述。但在 实际例子中,研究者通常面对的金融资产不只一种,例如在进行投资组合分析时,就会面临 多种资产的收益一风险分析。同样,对于有价证券市场亦是如此。

Bollerslev 等 1988建立了 VECH-GARCH 横取,利用对角矩阵来研究多变tt的波动过程。由 于VECH-GARCH模型中的协方差矩阵不能保证 其为正定矩阵.在VECH-GARCH換甩的基础上, Engle 和 Krone< 1995) 提出了 BEKK-GARCH 模 型,主要冃的足为了保证估计出来的协方差矩阵是 正定矩阵,且模型中参数更易估计。




这里有一些想法。关键业务问题可能是:

  • 哪些输入价格和汇率比其他输入价格和汇率更不稳定?何时?
  • 价格走势相关吗?
  • 在市场压力时期,它们的走势会有多动荡?
  • 是否有我们可以部署的套期工具或可以用来减轻定价风险?

管理波动

  • 建立输入监视系统,以了解哪些输入会影响运行制造和分销流程的哪些成本。
  • 监控价格走势和特征,并按流程衡量对关键营业收入构成部分的影响的严重性。
  • 内置价格无法承受预警指标。

在本文中,我们将

  • 使用波动率聚类
  • 拟合AR-GARCH模型
  • 从AR-GARCH模型模拟波动率
  • 衡量风险

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时间序列分析模型 ARIMA-ARCH GARCH模型分析股票价格数据

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ARCH模型

我们已经研究了波动性聚类。ARCH模型是对此进行建模的一种方法。

这些模型对于金融时间序列特别有用,因为金融时间序列显示出较大的收益率变动时期以及相对平稳的价格变化的间歇时期。

可以从z(t)标准正态变量和初始标准波动率开始指定AR + ARCH模型σ(t)2 = z(t)2。然后,我们用方差ε(t)=(sigma2)1 / 2z(t)ε的平方来调节这些变量。然后我们首先为每个日期计算t = 1 … n,

使用该条件误差项,我们计算自回归


现在我们准备计算新的方差项。

n <-  10500  
z <- rnorm(n) ## 样本标准正态分布变量
 
sig2 <-  z^2 ##创建波动率序列
 
 
omega <-  1 ## 方差
 
 
 
mu <-  0.1 ## 平均收益率
 
 
omega/(1-alpha)
sqrt(omega/(1-alpha))
## [1] 2.222222
## [1] 1.490712

我们可以看到

  1. 条件标准偏差中较大的孤立峰
  2. 在ARCH图中也显示

估计

我们有多种方法来估计AR-ARCH过程的参数。首先,让我们加载一些数据。

 
## 汇率数据是从OANDA获得
 
 
data.1 <- na.omit(merge(EUR_USD, GBP_USD, 
    OIL_Brent))
P <- data.1
R <- na.omit(diff(log(P)) * 100)

然后,我们绘制数据自相关。

## 
##  Box-Ljung test
## 
## data:  Brent.r
## X-squared = 32.272, df = 14, p-value = 0.003664

纯随机性检验,p值小于5%,序列为非白噪声


R语言GARCH-DCC模型和DCC(MVT)建模估计

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拟合

我们的第一项任务是ARMA-GARCH模型。

  1. 指定普通sGarch 模型。
  2. garchOrder = c(1,1) 表示我们使用残差平方和方差的一期滞后:
  3. 使用 armaOrder = c(1,0) 指定长期平均收益模型 
  4. mean如上述方程式中包括 。
  5. 按照norm 正态分布 。我们还将使用赤池信息准则(AIC)将拟合与学生t分布进行比较 。
  6. 使用将数据拟合到模型 ugarchfit
ugarchspec(variance.model = list(model = "sGARCH", 
    garchOrder = c(1, 1)), mean.model = list(armaOrder = c(1, 
    0), include.mean = TRUE), distribution.model = "norm")

让我们看一下该模型中的条件分位数,也称为VaR,设置为99%。

## 首先是条件分位数
 
 
plot(fit, which = 2)

现在,让我们生成一个绘图面板。

##  数据acf-显示序列相关
 
plot(fit , which = 6)
## 数据的QQ图-显示标准化残基的峰度-不支持正态假设
 
## 标准化残差的acf 
 
## 平方标准残差的acf

例子

让我们重做GARCH估计,现在使用Student t分布。

## 用学生t分布拟合AR(1)-GARCH(1,1)模型
 
 
AR.GARCH.spec <- ugarchspec(variance.model = list(model = "sGARCH", 
    garchOrder = c(1, 1)), mean.model = list(armaOrder = c(1, 
    0), include.mean = TRUE), distribution.model = "std")

结果 

  1. 绝对观测值的ACF表明存在很大的波动性聚类。
  2. AR-ARCH估计具有有界的标准化残差(残差/标准误差),从而大大降低了这些误差。
  3. 看来t分布AR-GARCH解释了原油波动的大部分趋势。

用哪个模型?使用Akaike信息准则(AIC)测量模型中的信息。

使用正态分布模型的AIC = 4.2471。使用学生t分布模型的AIC = 4.2062。学生t分布模型更好。

这是我们可以从拟合模型中得出的一些常见结果:

##         mu        ar1      omega     alpha1      beta1      shape 
## 0.04018002 0.01727725 0.01087721 0.03816097 0.96074399 7.03778415

系数包括:

  • mu 是原油的长期平均收益率。
  • ar1 是一天后收益对今天收益的影响。
  • omega 是长期方差。
  • alpha1 滞后平方方差对今天的收益的影响。
  • beta1 滞后平方残差对今天收益率的影响。
  • shape 是学生t分布的自由度。

让我们来绘制随时间变化的波动性。

##         mu        ar1      omega     alpha1      beta1      shape 
## 0.04018002 0.01727725 0.01087721 0.03816097 0.96074399 7.03778415

接下来,我们绘制并检验残差:

hist(z.hat)
mean(z.hat)
## [1] -0.0181139
var(z.hat)
##          [,1]## [1,] 1.000682
## [1] -0.3207327
## attr(,"method")
## [1] "moment"
kurtosis(z.hat)
## [1] 2.048561
## attr(,"method")
## [1] "excess"
## 
##  Shapiro-Wilk normality test
## 
## data:  as.numeric(z.hat)
## W = 0.98439, p-value < 2.2e-16
## 
##  Jarque-Bera Normality Test
## 
## data:  as.numeric(z.hat)
## JB = 780.73, p-value < 2.2e-16
## alternative hypothesis: greater

我们看到了什么?

  • 左偏。
  • 厚尾。
  • 两种标准检验均表明拒绝该序列为正态分布的零假设。

模拟

  1. 使用fit 结果中的参数指定AR-GARCH。
  2. 生成2000条模拟路径。
 GARCHspec
## 
## *---------------------------------*
## *       GARCH Model Spec          *
## *---------------------------------*
## 
## Conditional Variance Dynamics    
## ------------------------------------
## GARCH Model      : sGARCH(1,1)
## Variance Targeting   : FALSE 
## 
## Conditional Mean Dynamics
## ------------------------------------
## Mean Model       : ARFIMA(1,0,0)
## Include Mean     : TRUE 
## GARCH-in-Mean        : FALSE 
## 
## Conditional Distribution
## ------------------------------------
## Distribution :  std 
## Includes Skew    :  FALSE 
## Includes Shape   :  TRUE 
## Includes Lambda  :  FALSE
## 生成长度为2000的两个路径
 
  ugarchpath(GARCHspec, n.sim = 2000, 
    n.start = 50, m.sim = 2)

提取波动率

 head(vol)
##         [,1]     [,2]
## T+1 2.950497 5.018346
## T+2 2.893878 4.927087
## T+3 2.848404 4.849797
## T+4 2.802098 4.819258
## T+5 2.880778 4.768916
## T+6 2.826746 4.675612
## 实际的模拟数据
X <- series$seriesSim
head(X)
##            [,1]       [,2]
## [1,]  0.1509418  1.4608335
## [2,]  1.2644849 -2.1509425
## [3,] -1.0397785  4.0248510
## [4,]  4.4369130  3.4214660
## [5,] -0.3076812 -0.1104726
## [6,]  0.4798977  2.7440751

示例

模拟的序列是否符合事实?

X1 <- X[, 1]
acf(X1)
acf(abs(X1))
qqnorm(X1)
qqline(X1, col = 2)
shapiro.test(X1)

这是结果 

## 
##  Shapiro-Wilk normality test
## 
## data:  X1
## W = 0.97164, p-value < 2.2e-16

Shapiro-Wilk检验-零假设:正态分布。如果p值足够小,则拒绝原假设。-必须使用QQ图进行验证。

多元GARCH

从单变量GARCH到多元GARCH

  • 动态条件相关。
  • 具有随时间变化的波动性。
  • 如何使资产收益之间的相关性也随时间变化。

为什么?-如果我们拥有投资组合(例如应收账款,可能会面临汇率和原油价格变动的情况),该怎么办?-我们需要了解这三个因素的联合波动性和依赖性,因为它们会影响应收账款的整体波动性。我们将使用这些条件方差来模拟管理货币和商品风险的工具的期权价格。

dcc.garch11.spec
## 
## *------------------------------*
## *       DCC GARCH Spec         *
## *------------------------------*
## Model          :  DCC(1,1)
## Estimation     :  2-step
## Distribution   :  mvt
## No. Parameters :  21
## No. Series     :  3

现在进行拟合

现在让我们得到一些结果:

## 
## *---------------------------------*
## *          DCC GARCH Fit          *
## *---------------------------------*
## 
## Distribution         :  mvt
## Model                :  DCC(1,1)
## No. Parameters       :  21
## [VAR GARCH DCC UncQ] : [0+15+3+3]
## No. Series           :  3
## No. Obs.             :  4057
## Log-Likelihood       :  -12820.82
## Av.Log-Likelihood    :  -3.16 
## 
## Optimal Parameters
## -----------------------------------
##                     Estimate  Std. Error    t value Pr(>|t|)
## [EUR.USD].mu        0.006996    0.007195    0.97238 0.330861
## [EUR.USD].omega     0.000540    0.000288    1.87540 0.060738
## [EUR.USD].alpha1    0.036643    0.001590   23.04978 0.000000
## [EUR.USD].beta1     0.962357    0.000397 2426.49736 0.000000
## [EUR.USD].shape     9.344066    1.192132    7.83811 0.000000
## [GBP.USD].mu        0.006424    0.006386    1.00594 0.314447
## [GBP.USD].omega     0.000873    0.000327    2.67334 0.007510
## [GBP.USD].alpha1    0.038292    0.002217   17.27004 0.000000
## [GBP.USD].beta1     0.958481    0.000555 1727.86868 0.000000
## [GBP.USD].shape    10.481272    1.534457    6.83061 0.000000
## [OIL.Brent].mu      0.040479    0.026696    1.51627 0.129450
## [OIL.Brent].omega   0.010779    0.004342    2.48228 0.013055
## [OIL.Brent].alpha1  0.037986    0.001941   19.57467 0.000000
## [OIL.Brent].beta1   0.960927    0.000454 2118.80489 0.000000
## [OIL.Brent].shape   7.040287    0.729837    9.64639 0.000000
## [Joint]dcca1        0.009915    0.002821    3.51469 0.000440
## [Joint]dccb1        0.987616    0.004386  225.15202 0.000000
## [Joint]mshape       9.732509    0.652707   14.91100 0.000000
## 
## Information Criteria
## ---------------------
##                    
## Akaike       6.3307
## Bayes        6.3633
## Shibata      6.3306
## Hannan-Quinn 6.3423
## 
## 
## Elapsed time : 11.89964
  • 联合条件协方差参数显着不同于零。

现在,使用来自拟合的所有信息,我们进行预测。我们用来模拟套期工具或投资组合VaR或ES,让我们先绘制随时间变化的sigma。

示例

鉴于条件波动性和相关性,请查看VaR和ES的三个风险因素。

这是一些结果。首先,计算,然后绘图。

##           1%           5%          50%          95%          99% 
## -6.137269958 -3.677130793 -0.004439644  3.391312753  5.896992710
##            1%            5%           50%           95%           99% 
## -1.3393119939 -0.8235076255 -0.0003271163  0.7659725631  1.2465945013
##           1%           5%          50%          95%          99% 
## -1.520666396 -0.980794376  0.006889539  0.904772045  1.493169076

我们看到:

  1. 在分布的负数部分权重更大。
  2. 汇率大致相同。
  3. 如果您在客户和分销过程中使用布伦特原油,则可能会在约1%的时间内遭受600%以上的损失。

让我们使用新的波动率模型和分布进行调整,以拟合不对称和厚尾。

在这里,我们尝试使用一种新的GARCH模型:gjr代表Glosten,Jagannathan和Runkle(1993)他们提出的一个波动模型:

σ2t=ω+ασ2t-1+β1ε2t-1+β2ε2t-1It-1

拟合此模型。

## 
## *---------------------------------*
## *          GARCH Model Fit        *
## *---------------------------------*
## 
## Conditional Variance Dynamics    
## -----------------------------------
## GARCH Model  : gjrGARCH(1,1)
## Mean Model   : ARFIMA(1,0,1)
## Distribution : nig 
## 
## Optimal Parameters
## ------------------------------------
##         Estimate  Std. Error     t value Pr(>|t|)
## mu     -0.040275    0.027883 -1.4445e+00 0.148608
## ar1     0.996072    0.001900  5.2430e+02 0.000000
## ma1    -0.989719    0.000005 -1.8786e+05 0.000000
## omega   0.006346    0.003427  1.8517e+00 0.064071
## alpha1  0.009670    0.003841  2.5178e+00 0.011808
## beta1   0.968206    0.001237  7.8286e+02 0.000000
## gamma1  0.042773    0.007183  5.9547e+00 0.000000
## skew   -0.120184    0.032059 -3.7488e+00 0.000178
## shape   2.362890    0.351494  6.7224e+00 0.000000
## 
## Robust Standard Errors:
##         Estimate  Std. Error     t value Pr(>|t|)
## mu     -0.040275    0.030871 -1.3046e+00 0.192023
## ar1     0.996072    0.002107  4.7283e+02 0.000000
## ma1    -0.989719    0.000005 -1.8363e+05 0.000000
## omega   0.006346    0.003388  1.8729e+00 0.061086
## alpha1  0.009670    0.004565  2.1184e+00 0.034143
## beta1   0.968206    0.000352  2.7485e+03 0.000000
## gamma1  0.042773    0.008503  5.0300e+00 0.000000
## skew   -0.120184    0.033155 -3.6249e+00 0.000289
## shape   2.362890    0.405910  5.8212e+00 0.000000
## 
## LogLikelihood : -8508.439 
## 
## Information Criteria
## ------------------------------------
##                    
## Akaike       4.1989
## Bayes        4.2129
## Shibata      4.1989
## Hannan-Quinn 4.2038
## 
## Weighted Ljung-Box Test on Standardized Residuals
## ------------------------------------
##                         statistic p-value
## Lag[1]                      1.856  0.1730
## Lag[2*(p+q)+(p+q)-1][5]     2.196  0.9090
## Lag[4*(p+q)+(p+q)-1][9]     2.659  0.9354
## d.o.f=2
## H0 : No serial correlation
## 
## Weighted Ljung-Box Test on Standardized Squared Residuals
## ------------------------------------
##                         statistic  p-value
## Lag[1]                     0.5109 0.474739
## Lag[2*(p+q)+(p+q)-1][5]    9.3918 0.013167
## Lag[4*(p+q)+(p+q)-1][9]   13.2753 0.009209
## d.o.f=2
## 
## Weighted ARCH LM Tests
## ------------------------------------
##             Statistic Shape Scale  P-Value
## ARCH Lag[3]     10.26 0.500 2.000 0.001360
## ARCH Lag[5]     10.41 1.440 1.667 0.005216
## ARCH Lag[7]     11.06 2.315 1.543 0.010371
## 
## Nyblom stability test
## ------------------------------------
## Joint Statistic:  2.5309
## Individual Statistics:              
## mu     0.91051
## ar1    0.07050
## ma1    0.06321
## omega  0.70755
## alpha1 0.22126
## beta1  0.28137
## gamma1 0.17746
## skew   0.25115
## shape  0.16545
## 
## Asymptotic Critical Values (10% 5% 1%)
## Joint Statistic:          2.1 2.32 2.82
## Individual Statistic:     0.35 0.47 0.75
## 
## Sign Bias Test
## ------------------------------------
##                    t-value    prob sig
## Sign Bias           1.1836 0.23663    
## Negative Sign Bias  0.7703 0.44119    
## Positive Sign Bias  1.8249 0.06809   *
## Joint Effect        9.8802 0.01961  **
## 
## 
## Adjusted Pearson Goodness-of-Fit Test:
## ------------------------------------
##   group statistic p-value(g-1)
## 1    20     27.42      0.09520
## 2    30     46.32      0.02183
## 3    40     58.50      0.02311
## 4    50     70.37      0.02431
## 
## 
## Elapsed time : 6.630391

我们可以使用 tailplot() 函数解释结果。

##          p  quantile     sfall
## [1,] 0.900  3.478474  5.110320
## [2,] 0.950  4.509217  6.293461
## [3,] 0.975  5.636221  7.587096
## [4,] 0.990  7.289163  9.484430
## [5,] 0.999 12.415553 15.368772

quantile 给出我们的风险价值(VaR)和期望损失(ES)

可以看到尾部图。

  • 结果表明,使用AR-GARCH处理后,尾部更厚。
  • 我们可以回到市场和风险部分,了解平均超额价值以及VaR和ES的置信区间。
  • 对于应收帐款,缓解策略可能是通过再保险和总收益互换提供超额风险对冲。
  • 对客户的信用风险分析至关重要:频繁更新客户将有助于及早发现某些解决方案的问题。


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关于作者

Kaizong Ye拓端研究室(TRL)的研究员。在此对他对本文所作的贡献表示诚挚感谢,他在上海财经大学完成了统计学专业的硕士学位,专注人工智能领域。擅长Python.Matlab仿真、视觉处理、神经网络、数据分析。

本文借鉴了作者最近为《R语言数据分析挖掘必知必会 》课堂做的准备。

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