变分模态分解

VMD算法通过搜索约束变分模型最优解来实现信号的自适应分解  ，迭代求解变分模型，最终可以根据被分解信号的频域特性完成信号频带的自适应分解。对于原始信号f，其对应的约束变分模型表达式如公式(1)所示。

{min{μk},{ωk}{K∑k=1‖∂t[(δ(t)+jπt)uk(t)]e−jωkt‖22}s.t. K∑k=1uk=f(1)

式中： {uk} 为分解得到的K个模态分量， {ωk} 为各模态分量的中心频率。

引入增广Lagrange函数求解上述约束变分问题的最优解，如公式(2)所示。

L({uk},{ωk},{λ})=αK∑k=1‖∂t[(δ(t)+jπt)uk(t)]e−jωkt‖22+‖f(t)−K∑k=1uk(t)‖22+〈λ(t),f(t)−K∑k=1uk(t)〉(2)

式中：α为二次惩罚因子，可在高斯噪声存在的情况下保证信号的重构准确度；λ为Lagrange算子，用来保持约束条件的严格性。

利用交替方向乘子法求取上述增广Lagrange函数的鞍点，即通过交替更新 {un+1k} ， {ωn+1k} 和 {λn+1} 寻求式(2)的最优解，其中 un+1k 由式(3)求得。

un+1k=argminuk∈X{α‖∂t[(δ(t)+jπt)∗uk(t)]e−jωkt‖22+‖f(t)−∑i≠kui(t)+λ(t)2‖22}(3)

利用Parseval/Plancherel傅里叶等距变换将式(1)变换到频域，求得二次优化问题的解见式(4)。

ˆun+1k(ω)=ˆf(ω)−∑i<kˆun+1i(ω)−∑i>kˆuni(ω)+ˆλ(ω)/21+2α(ω−ωk)2(4)

同理为求解 ωn+1k 的最小值问题，将中心频率更新问题转换到频域，如公式(5)所示。

ωn+1k=argminωk{‖∂t[(δ(t)+jπt)∗uk(t)]e−jωkt‖22}(5)

中心频率的计算结果如式(6)所示。

ωn+1k=∫∞0ω|ˆun+1k(ω)|2dω∫∞0|ˆun+1k(ω)|2dω(6)

式中： ˆun+1ka 为当前剩余量 ˆf(ω)−∑i≠kˆui(ω) 的维纳滤波； ωn+1k 为当前模态函数功率谱的中心频率。

对 |ˆuk(ω)| 进行傅里叶逆变换，取实部即可得到时域模态分量 {uk(t)} 。Lagrange算子 λ 按式(7)更新。

ˆλn+1(ω)=ˆλn(ω)+τ(ˆf(ω)−∑kˆun+1k(ω))(7)

VMD算法的交替迭代过程如图所示。