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Hosmer-Lemeshow拟合优度检验

Hosmer-Lemeshow拟合优度检验是基于根据预测的概率或风险将样本分开。具体而言，基于估计的参数值，对于样本中的每个观察，基于每个观察的协变量值计算概率。

 在实践中，只要我们的一些模型协变量是连续的，每个观测将具有不同的预测概率，因此预测的概率将在我们形成的每个组中变化。为了计算我们预期的观察数量，Hosmer-Lemeshow测试取组中预测概率的平均值，并将其乘以组中的观察数。测试也执行相同的计算，然后计算Pearson拟合优度统计量。

n < -  100
x < -  rnorm（n）
xb < -  x
pr < -  exp（xb）/（1 + exp（xb））
y < -  1 *（runif（n）<pr）
mod < -  glm（y~x，family = binomial）

pihat <- mod$fitted
pihatcat <- cut(pihat, brks=c(0,quantile(pi 1,0.9,0.1)),1),  els=FALSE)

接下来，我们循环通过组1到10，计算观察到的0和1的数量，并计算预期的0和1的数量。为了计算后者，我们找到每组中预测概率的均值，并将其乘以组大小，这里是10：

meanprobs <- array(0, dim=c(10,2))
expevents <- array(0, dim=c(10,2))
obsevents <- array(0, dim=c(10,2))

for (i in 1:10) {
	meanprobs[i,1] <- mean(pihat[pihatcat==i])
 
	obsevents[i,2] <- sum(1-y[pihatcat==i])
}

最后，我们可以通过表格的10×2单元格中的（观察到的预期）^ 2 /预期的总和来计算Hosmer-Lemeshow检验统计量：

 
[1] 7.486643

与hoslem.test函数的测试统计值一致。

改变组的数量

for（i in 5:15）{
	print（hoslem.test（mod $ y，fits（mod），g = i）$ p.value）
}

 [1] 0.4683388
[1] 0.9216374
[1] 0.996425
[1] 0.9018581
[1] 0.933084
[1] 0.4851488
[1] 0.9374381
[1] 0.9717069
[1] 0.5115724
[1] 0.4085544
[1] 0.8686347

要完成，让我们进行一些模拟，以检查Hosmer-Lemeshow测试在重复样本中的表现。首先，我们将从先前使用的相同模型重复采样，拟合相同（正确）模型，并使用g = 10计算Hosmer-Lemeshow p值。我们将这样做1000次，并将测试p值存储在一个数组中：

pvalues < -  array（0,1000）

for（i in 1：1000）{
	n < -  100
	x < -  rnorm（n）
 	pr < -  exp（xb）/（1 + exp（xb））
 	mod < -  glm（y~x，family = binomial）
 }

我们发现，计算p值小于0.05的比例

[1] 0.648

因此，Hosmer-Lemeshow测试为我们提供了65％的不合适的重要证据。