（四）混合效应模型类型差异

混合效应模型主要有随机截距模型、随机斜率模型和随机截距与斜率模型。随机截距模型允许基于聚类变量有不同的截距；随机斜率模型允许基于某个变量有不同的斜率；随机截距与斜率模型则同时允许基于聚类变量有不同的截距和基于某个变量有不同的斜率。
如图2所示，展示了随机截距模型和随机截距与斜率模型的差异：

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图2 随机截距模型和随机截距与斜率模型差异 ​

本研究使用的数据集，旨在比较不同窝中大鼠幼崽的出生体重。在这些窝中，一些雌性母鼠接受了“高剂量”“低剂量”和“对照”的实验处理。原设计中每个处理条件分配了10只雌性大鼠，但“高剂量”处理中有3只死亡，导致研究设计不平衡。在本研究中，窝将作为聚类变量（第2层），大鼠幼崽作为分析单位（第1层）。 ​

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import pandas as pd
import researchpy as rp

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分析大鼠幼崽体重基于性别和处理组的情况：

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boxplot = data.boxplot

​图3 体重按处理组和性别的箱线图

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移除不显著的交互项后重新建模：

"weight ~ litsize + C(treatment) + C(sex, Treatment('Male'))", data, 

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计算组内相关系数（ICC）：
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这表明同一窝中体重之间存在中等程度的相关性。
2. 随机斜率模型

• 随机截距和斜率不相关

"weight ~ litsize + C(treatment) + C(sex)", data, groups= "litter",
 vc_formula = {"sex" : "0 + C(sex)"}).fit()

 ​

• 随机截距和斜率相关

"weight ~ litsize + C(treatment) + C(sex)", data, groups= "litter",
 re_formula = "1 + C(sex)").fit()

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计算随机截距和随机斜率之间的估计相关系数：
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这表明体重较高的窝中，雄性大鼠幼崽往往体重也较高。

（四）假设检验

1. 正态性检验

• 可视化残差的核密度估计图和Q-Q图：

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图4 模型残差的KDE图

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图5 模型残差的Q-Q图

• 正式的Shapiro-Wilk正态性检验：

结果显示残差的正态性假设被违反。
2. 方差齐性检验

• 可视化残差与拟合值的散点图（RVF图）和残差按窝的箱线图：

fig = plt.figure(figsize = (16, 9))
ax = sns.scatterplot(y = model.resid,

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图6 RVF图

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图7 残差按窝的箱线图

• 正式的White’s拉格朗日乘数异方差检验：

t p-value"]
for key, val in dict(zip(labels, het_white_res)).items():
 print(key, val)

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正式检验表明方差齐性假设被违反。

结论

本文全面介绍了混合效应回归模型，从理论基础到Python实现，包括模型的构建、假设检验以及结果分析。通过对大鼠幼崽体重数据的分析，展示了混合效应回归在处理具有层次结构数据时的有效性。在实际应用中，需根据数据特点和研究目的选择合适的混合效应模型类型，并严格检验模型假设，以确保分析结果的可靠性。未来的研究可以进一步探索如何更好地处理假设违反的情况，以及将混合效应回归应用于更复杂的数据场景。

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