如上表所示，数据包含了从 1954 年 1 月到 1954 年 6 月的资产收益率序列。具体来说，y 包含了以下资产的超额收益：

• 增长型股票
• 价值型股票
• 长期债券
• 国库券

此外，数据还包含了以下状态变量：

• dp：收益率利差
• yield：收益率
• inrate：贴现率

这些变量将用于预测资产收益率序列 y 的可预测性。

使用脉冲响应函数分析 y

为了分析 y 的动态行为，我们估计了一个包含 4 个变量（增长型股票、价值型股票、长期债券和国库券）的 VAR 模型。脉冲响应函数显示了对 y 中一个变量的冲击对其他变量的影响。

给定的 VAR(1) 模型估计结果表明：

• **增长型股票收益率（gret）**对自身具有正向影响，对价值型股票收益率（vret）具有负向影响。
• **价值型股票收益率（vret）**对自身具有正向影响，对长期债券收益率（bond）具有正向影响。
• **长期债券收益率（bond）**对自身具有正向影响，对国库券收益率（tbill）具有正向影响。
• **国库券收益率（tbill）**对自身具有正向影响，对增长型股票收益率（gret）具有负向影响。

这些估计结果表明，增长型股票收益率、价值型股票收益率、长期债券收益率和国库券收益率之间存在复杂的动态关系。这些关系可以用于预测资产收益率序列的未来值。

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残差图

具有可预测性（x 和 y）的 VAR(1) 模型

参数估计

VAR(1) 模型的参数估计如下：

• 
  **收益率利差（dp）**对增长型股票收益率（gret）、价值型股票收益率（vret）、长期债券收益率（bond）和国库券收益率（tbill）具有负向影响。
• **收益率（yield）**对增长型股票收益率（gret）具有负向影响，对长期债券收益率（bond）和国库券收益率（tbill）具有负向影响。
• **贴现率（inrate）**对长期债券收益率（bond）具有负向影响，对国库券收益率（tbill）具有负向影响。
• **增长型股票收益率（gret）**对长期债券收益率（bond）和国库券收益率（tbill）具有正向影响。
• **价值型股票收益率（vret）**对长期债券收益率（bond）具有正向影响。
• **长期债券收益率（bond）**对国库券收益率（tbill）具有正向影响。
• **国库券收益率（tbill）**对收益率（yield）和贴现率（inrate）具有正向影响。

这些估计结果表明，收益率利差、收益率、贴现率、增长型股票收益率、价值型股票收益率、长期债券收益率和国库券收益率之间存在复杂的动态关系。这些关系可以用于预测资产收益率序列的未来值。

带有状态切换的VAR(1)模型

msm(olsLS, k = 2

给定的马尔可夫转换 VAR(1) 模型估计结果表明：

状态 1

• **收益率利差（dp）**对自身具有正向影响。
• **收益率（yield）**对自身具有负向影响。
• **贴现率（inrate）**对自身具有正向影响。
• **增长型股票收益率（gret）**对自身具有负向影响。
• **长期债券收益率（bond）**对国库券收益率（tbill）具有正向影响。
• **国库券收益率（tbill）**对自身具有正向影响。

状态 2

• **收益率利差（dp）**对自身具有正向影响。
• **收益率（yield）**对自身具有负向影响。
• **贴现率（inrate）**对自身具有负向影响。
• **增长型股票收益率（gret）**对自身具有正向影响。
• **长期债券收益率（bond）**对国库券收益率（tbill）具有正向影响。
• **国库券收益率（tbill）**对自身具有正向影响。

状态转换概率

• 状态 1 到状态 1 的转换概率为 0.826。
• 状态 1 到状态 2 的转换概率为 0.174。
• 状态 2 到状态 1 的转换概率为 0.174。
• 状态 2 到状态 2 的转换概率为 0.831。

这些估计结果表明，收益率利差、收益率、贴现率、增长型股票收益率、价值型股票收益率、长期债券收益率和国库券收益率之间的动态关系存在两种不同的状态。这些状态之间的转换概率表明，模型预测的资产收益率序列的未来值可能会出现突然的变化。

具有单一状态变量（收益率利差和收益率利差分别）（两/三/四种状态）的可预测性且具有状态转换的 VAR(1) 模型

给定的具有单一状态变量（收益率利差和收益率利差分别）且具有两种状态的马克夫转换 VAR(1) 模型估计结果表明：

状态 1

• **贴现率（inrate）**对自身具有正向影响。
• **增长型股票收益率（gret）**对自身具有负向影响。
• **长期债券收益率（bond）**对国库券收益率（tbill）具有正向影响。
• **国库券收益率（tbill）**对自身具有正向影响。

状态 2

• **贴现率（inrate）**对自身具有正向影响。
• **增长型股票收益率（gret）**对自身具有正向影响。
• **长期债券收益率（bond）**对国库券收益率（tbill）具有正向影响。
• **国库券收益率（tbill）**对自身具有正向影响。

状态转换概率

• 状态 1 到状态 1 的转换概率为 0.915。
• 状态 1 到状态 2 的转换概率为 0.085。
• 状态 2 到状态 1 的转换概率为 0.119。
• 状态 2 到状态 2 的转换概率为 0.881。

这些估计结果表明，贴现率、增长型股票收益率、长期债券收益率和国库券收益率之间的动态关系存在两种不同的状态。这些状态之间的转换概率表明，模型预测的资产收益率序列的未来值可能会出现突然的变化。

K=3

给定的具有三个状态的马克夫转换 VAR(1) 模型估计结果表明：

状态 1

• **收益率（yield）**对自身具有正向影响。
• **国库券收益率（tbill）**对自身具有正向影响。

状态 2

• **收益率（yield）**对自身具有正向影响。
• **增长型股票收益率（gret）**对自身具有正向影响。
• **价值型股票收益率（vret）**对自身具有负向影响。
• **国库券收益率（tbill）**对自身具有正向影响。

状态 3

• **增长型股票收益率（gret）**对自身具有正向影响。
• **价值型股票收益率（vret）**对自身具有负向影响。
• **长期债券收益率（bond）**对自身具有正向影响。

状态转换概率

• 状态 1 到状态 1 的转换概率为 0.964。
• 状态 1 到状态 2 的转换概率为 0.000。
• 状态 1 到状态 3 的转换概率为 0.118。
• 状态 2 到状态 1 的转换概率为 0.000。
• 状态 2 到状态 2 的转换概率为 0.546。
• 状态 2 到状态 3 的转换概率为 0.237。
• 状态 3 到状态 1 的转换概率为 0.359。
• 状态 3 到状态 2 的转换概率为 0.454。
• 状态 3 到状态 3 的转换概率为 0.645。

这些估计结果表明，收益率、增长型股票收益率、价值型股票收益率、长期债券收益率和国库券收益率之间的动态关系存在三种不同的状态。这些状态之间的转换概率表明，模型预测的资产收益率序列的未来值可能会出现突然的变化。

k=4