任何MCMC方案的目标都是从“目标”分布产生样本。

由Kaizong Ye，Coin Ge撰写

在这种情况下，我们将使用平均值为1的指数分布作为我们的目标分布。所以我们从定义目标密度开始：

target = function(x){
  if(x<0){
    return(0)}
  else {
    return( exp(-x))
  }
}

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定义了函数之后，我们现在可以用它来计算几个值（只是为了说明函数的概念）：

target(1)

mcmc方法的一般步骤：

先在参数空间中选择一个
在参数空间中提议一个新的位置
根据先验信息和观测数据决定接收或者拒绝
如果接收跳跃，则跳转到新的位置，并且返回到 step1
如果拒绝，则保持当前位置并返回到 step1
连续采用一系列点，最后返回接受的点集合

[1] 0.3678794

target(-1)

[1] 0

接下来，我们将规划一个Metropolis-Hastings方案，从与目标成比例的分布中进行抽样

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贝叶斯推断线性回归与R语言预测工人工资数据

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x[1] = 3     #这只是一个起始值，我设置为3
for(i in 2:1000){
  A = target(proposedx)/target(currentx) 
  if(runif(1)<A){
    x[i] = proposedx       # 接受概率min（1，a）
  } else {
    x[i] = currentx        #否则“拒绝”行动，保持原样
  }

注意，x是马尔可夫链的实现。我们可以画几个x的图：

我们可以将其封装在一个mcmc函数中，以使代码更整洁，这样更改起始值和提议分布更容易

 for(i in 2:niter){
    currentx = x[i-1]
    proposedx = rnorm(1,mean=currentx,sd=proposalsd) 
    A = target(proposedx)/target(currentx)
    if(runif(1)<A){
      x[i] = proposedx       # 接受概率min（1，a）
    } else {
      x[i] = currentx        # 否则“拒绝”行动，保持原样
    }

现在我们将运行MCMC方案3次，看看结果有多相似：

z1=MCMC(1000,3,1)
z2=MCMC(1000,3,1)
z3=MCMC(1000,3,1)

plot(z1,type="l")

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par(mfcol=c(3,1)) #告诉R将3个图形放在一个页面上

hist(z1,breaks=seq(0,maxz,length=20))

R语言使用Metropolis- Hasting抽样算法进行逻辑回归

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练习

使用函数easyMCMC了解以下内容：

不同的起始值如何影响MCMC方案？
较大/较小的提案标准差有什么影响？
尝试将目标函数更改为

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target = function(x){

  return((x>0 & x <1) + (x>2 & x<3))
}

这个目标看起来像什么？如果提议sd太小怎么办？（例如，尝试1和0.1）

例2：估计等位基因频率

在对双等位基因座的基因型（如具有AA和AA等位基因的基因座）进行建模时，一个标准的假设是群体是“随机”的。这意味着如果p是等位基因AA的频率，那么基因型和将分别具有频率和。

p一个简单的先验是假设它在[0,1]上是均匀的。假设我们抽样n个个体，观察基因型、基因型和基因型。

下面的R代码给出了一个简短的MCMC例程，可以从p的后验分布中进行采样。请尝试遍历该代码，看看它是如何工作的。

prior = function(p){
  if((p<0) || (p>1)){  # || 这里意思是“或”
    return(0)}
  else{
    return(1)}
}

likelihood = function(p, nAA, nAa, naa){
  return(p^(2*nAA) * (2*p*(1-p))^nAa * (1-p)^(2*naa))
}

psampler = function(nAA, nAa, naa){

  for(i in 2:niter){

    if(runif(1)<A){
      p[i] = newp       # 接受概率min（1，a）
    } else {
      p[i] = currentp        # 否则“拒绝”行动，保持原样
    }

对运行此样本。

现在用一些R代码来比较后验样本和理论后验样本（在这种情况下可以通过分析获得；因为我们观察到121个As和79个as，在200个样本中，p的后验样本是β（121+1,79+1）。

 hist(z,prob=T)
lines(x,dbeta(x,122, 80))  # 在直方图上叠加β密度

您也可能希望将前5000 z的值丢弃为“burnin”（预烧期）。这里有一种方法，在R中仅选择最后5000 z

hist(z[5001:10000])

练习

研究起点和提案标准偏差如何影响算法的收敛性。

例3：估计等位基因频率和近交系数

在大多数情况下，将f作为种群特征来对待是很自然的，因此假设f在各个位点上是恒定的。

一个复杂一点的替代方法是假设人们有一种倾向，即人们会与比“随机”关系更密切的其他人近交（例如，在地理结构上的人口中可能会发生这种情况）。一个简单的方法是引入一个额外的参数，即“近亲繁殖系数”f，并假设和基因型有频率

和。

请注意，f和p都被约束为介于0和1之间（包括0和1）。对于这两个参数中的每一个，一个简单的先验是假设它们在[0,1]上是独立的。假设我们抽样n个个体，观察基因型、基因型和基因型。

练习：

编写一个短的MCMC程序，从f和p的联合分布中取样。

sampler = function(){

  f[1] = fstartval
  p[1] = pstartval
  for(i in 2:niter){
    currentf = f[i-1]
    currentp = p[i-1]
    newf = currentf + 
    newp = currentp + 

  }
  return(list(f=f,p=p)) # 返回一个包含两个名为f和p的元素的“list”
}