R语言RStan贝叶斯示例：重复试验模型和种群竞争模型Lotka Volterra

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Stan是一种用于指定统计模型的概率编程语言。Stan通过马尔可夫链蒙特卡罗方法（例如No-U-Turn采样器，一种汉密尔顿蒙特卡洛采样的自适应形式）为连续变量模型提供了完整的贝叶斯推断。

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由Kaizong Ye，Liao Bao撰写

可以通过R使用rstan 包来调用Stan，也可以 通过Python使用 pystan 包。这两个接口都支持基于采样和基于优化的推断，并带有诊断和后验分析。


在本文中，简要展示了Stan的主要特性。还显示了两个示例：第一个示例与简单的伯努利模型相关，第二个示例与基于常微分方程的Lotka-Volterra模型有关。

可下载资源

     完整程序、数据和文档（word）


什么是Stan？

  • Stan是命令式概率编程语言。
  • Stan程序定义了概率模型。
  • 它声明数据和（受约束的）参数变量。
  • 它定义了对数后验。
  • Stan推理：使模型拟合数据并做出预测。
  • 它可以使用马尔可夫链蒙特卡罗（MCMC）进行完整的贝叶斯推断。
  • 使用变分贝叶斯（VB）进行近似贝叶斯推断。
  • 最大似然估计（MLE）用于惩罚最大似然估计。

 

×

先验概率与后验概率

1、先验概率 – 定义：直观理解，所谓“先”，就是在事情之前，即在事情发生之前事情发生的概率。是根据以往经验和分析得到的概率。 – 例子：比如抛硬币，我们都认为正面朝上的概率是0.5，这就是一种先验概率，在抛硬币前，我们只有常识。这个时候事情还没发生，我们进行概率判断。所谓的先验概率是对事情发生可能性猜测的数学表示

2、后验概率 – 定义：事情已经发生了，事情发生可能有很多原因，判断事情发生时由哪个原因引起的概率。 – 例子：比如今天你没去学校，原因有两个，可能是生病了，也可能是自行车坏了。然后上课时老师发现你没来。（这里是一个结果，就是你没来学校这件事情已经发生了）老师叫同学计算一下概率，分别是因为生病了没来学校的概率和自行车坏了没来学校的概率。

贝叶斯定理

开始谈贝叶斯定理之前，必须首先从条件概率 (conditional probability) 说起。所谓条件概率，就是在一个事件发生的情况下，去判断另一个相关联的事件发生的概率，或者简单说，就是指在事件 B 发生的情况下，事件 A 发生的概率。通常记为 P(A|B) 。接下来对贝叶斯公式做一个简单的推导，根据概率知识，我们可以求得 P(A|B) 为：

[公式]

同理可得：

[公式]

所以可以得到：

[公式]

最终可以得到大名鼎鼎的贝叶斯公式：

[公式]


实例、偷窃与狗吠

住在一座别墅里的一家人，在过去的 20 年中，发生了 2 次盗窃，这家人养了一只狗，这只狗平均每周晚上叫 3 次，而且，当发生盗窃时，这只狗会叫的概率是 0.9，那么问题是：在这只狗叫的情况下，发生盗窃的概率是多少？

我们假设 A 事件是狗晚上叫，则 P(A) = 3/7 ，假设 B 事件是发生盗窃，则P(B) = 2/365*20 。我们还知道，当 B 事件发生的条件下，A 事件发生的概率 P(A|B) = 0.9 。因此，根据贝叶斯公式，我们推断得到，狗叫时，发生盗窃的概率，即：

[公式]



Stan计算什么？

  • 得出后验分布 。
  • MCMC采样。
  • 绘制顺序，其中每个绘制都按后验概率的边缘分布。
  • 使用直方图，核密度估计等进行绘图

安装 rstan

要在R中运行Stan，必须安装 rstan C ++编译器。在Windows上， Rtools 是必需的。

最后，安装 rstan：

install.packages(rstan)

Stan中的基本语法

视频

R语言中RStan贝叶斯层次模型分析示例

定义模型

Stan模型由六个程序块定义 ：

  • 数据（必填）。
  • 转换后的数据。
  • 参数（必填）。
  • 转换后的参数。
  • 模型（必填）。
  • 生成的数量。

数据块读出的外部信息。

data {
  int N;
  int x[N];
  int offset;
}

变换后的数据 块允许数据的预处理。

 


transformed data {
  int y[N];
  for (n in 1:N)
    y[n] = x[n] - offset;
}

 参数 块定义了采样的空间。

parameters {
  real<lower=0> lambda1;
  real<lower=0> lambda2;
}

变换参数 块定义计算后验之前的参数处理。

 


transformed parameters {
  real<lower=0> lambda;
  lambda = lambda1 + lambda2;
}

在 模型 块中，我们定义后验分布。

model {
  y ~ poisson(lambda);
  lambda1 ~ cauchy(0, 2.5);
  lambda2 ~ cauchy(0, 2.5);
}

最后， 生成的数量 块允许进行后处理。

generated quantities {
  int x_predict;
  x_predict = poisson_rng(lambda) + offset;
}

类型

Stan有两种原始数据类型， 并且两者都是有界的。

  • int 是整数类型。
  • real 是浮点类型。

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int<lower=1> N;
 
real<upper=5> alpha;
real<lower=-1,upper=1> beta;
 
real gamma;
real<upper=gamma> zeta;

实数扩展到线性代数类型。

vector[10] a;     // 列向量
matrix[10, 1] b;
 
row_vector[10] c; // 行向量
matrix[1, 10] d;

整数，实数，向量和矩阵的数组均可用。

R语言中的Stan概率编程MCMC采样的贝叶斯模型

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real a[10];
 
vector[10] b;
 
matrix[10, 10] c;

Stan还实现了各种 约束 类型。

simplex[5] theta;        // sum(theta) = 1
 
ordered[5] o;            // o[1] < ... < o[5]
positive_ordered[5] p;
 
corr_matrix[5] C;        // 对称和
cov_matrix[5] Sigma;     // 正定的

关于Stan的更多信息

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所有典型的判断和循环语句也都可用。

if/then/else
 
for (i in 1:I)
 
while (i < I)

有两种修改 后验的方法。


y ~ normal(0, 1);
 
target += normal_lpdf(y | 0, 1);
 
# 新版本的Stan中已弃用：
increment_log_posterior(log_normal(y, 0, 1))

而且许多采样语句都是 矢量化的。

parameters {
  real mu[N];
  real<lower=0> sigma[N];
}
 
model {
  // for (n in 1:N)
  // y[n] ~ normal(mu[n], sigma[n]);
 
  y ~ normal(mu, sigma);  // 向量化版本
}

贝叶斯方法

概率是 认知的。例如， 约翰·斯图亚特·米尔 （John Stuart Mill）说：

事件的概率不是事件本身，而是我们或其他人期望发生的情况的程度。每个事件本身都是确定的，不是可能的；如果我们全部了解，我们应该或者肯定地知道它会发生，或者它不会。

对我们来说，概率表示对它发生的期望程度。

概率可以量化不确定性。

Stan的贝叶斯示例：重复试验模型

我们解决一个小例子，其中的目标是给定从伯努利分布中抽取的随机样本，以估计缺失参数的后验分布  （成功的机会）。

步骤1：问题定义

在此示例中，我们将考虑以下结构：

  • 数据：
    • ，试用次数。
    • ，即试验n的结果  （已知的建模数据）。
  • 参数：
  • 先验分布
  • 概率
  • 后验分布

步骤2：Stan

我们创建Stan程序，我们将从R中调用它。

 
data {
  int<lower=0> N;               // 试验次数
  int<lower=0, upper=1> y[N];   // 试验成功
}
 
 
model {
  theta ~ uniform(0, 1);        // 先验
  y ~ bernoulli(theta);         // 似然
}

步骤3：数据

在这种情况下，我们将使用示例随机模拟一个随机样本，而不是使用给定的数据集。

# 生成数据
 
y = rbinom(N, 1, 0.3)
y
##  [1] 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 1

 根据数据计算 MLE作为样本均值：

sum(y) / N
## [1] 0.25

步骤4：rstan使用贝叶斯后验估计 

最后一步是使用R中的Stan获得我们的估算值。

## 
## SAMPLING FOR MODEL '6dcfbccbf2f063595ccc9b93f383e221' NOW (CHAIN 1).
## Chain 1: 
## Chain 1: Gradient evaluation took 7e-06 seconds
## Chain 1: 1000 transitions using 10 leapfrog steps per transition would take 0.07 seconds.
## Chain 1: Adjust your expectations accordingly!
## Chain 1: 
## Chain 1: 
## Chain 1: Iteration:    1 / 5000 [  0%]  (Warmup)
## Chain 1: Iteration:  500 / 5000 [ 10%]  (Warmup)
## Chain 1: Iteration: 1000 / 5000 [ 20%]  (Warmup)
## Chain 1: Iteration: 1500 / 5000 [ 30%]  (Warmup)
## Chain 1: Iteration: 2000 / 5000 [ 40%]  (Warmup)
## Chain 1: Iteration: 2500 / 5000 [ 50%]  (Warmup)
## Chain 1: Iteration: 2501 / 5000 [ 50%]  (Sampling)
## Chain 1: Iteration: 3000 / 5000 [ 60%]  (Sampling)
## Chain 1: Iteration: 3500 / 5000 [ 70%]  (Sampling)
## Chain 1: Iteration: 4000 / 5000 [ 80%]  (Sampling)
## Chain 1: Iteration: 4500 / 5000 [ 90%]  (Sampling)
## Chain 1: Iteration: 5000 / 5000 [100%]  (Sampling)
## Chain 1: 
## Chain 1:  Elapsed Time: 0.012914 seconds (Warm-up)
## Chain 1:                0.013376 seconds (Sampling)
## Chain 1:                0.02629 seconds (Total)
## Chain 1: 
...
## SAMPLING FOR MODEL '6dcfbccbf2f063595ccc9b93f383e221' NOW (CHAIN 4).
## Chain 4: 
## Chain 4: Gradient evaluation took 3e-06 seconds
## Chain 4: 1000 transitions using 10 leapfrog steps per transition would take 0.03 seconds.
## Chain 4: Adjust your expectations accordingly!
## Chain 4: 
## Chain 4: 
## Chain 4: Iteration:    1 / 5000 [  0%]  (Warmup)
## Chain 4: Iteration:  500 / 5000 [ 10%]  (Warmup)
## Chain 4: Iteration: 1000 / 5000 [ 20%]  (Warmup)
## Chain 4: Iteration: 1500 / 5000 [ 30%]  (Warmup)
## Chain 4: Iteration: 2000 / 5000 [ 40%]  (Warmup)
## Chain 4: Iteration: 2500 / 5000 [ 50%]  (Warmup)
## Chain 4: Iteration: 2501 / 5000 [ 50%]  (Sampling)
## Chain 4: Iteration: 3000 / 5000 [ 60%]  (Sampling)
## Chain 4: Iteration: 3500 / 5000 [ 70%]  (Sampling)
## Chain 4: Iteration: 4000 / 5000 [ 80%]  (Sampling)
## Chain 4: Iteration: 4500 / 5000 [ 90%]  (Sampling)
## Chain 4: Iteration: 5000 / 5000 [100%]  (Sampling)
## Chain 4: 
## Chain 4:  Elapsed Time: 0.012823 seconds (Warm-up)
## Chain 4:                0.014169 seconds (Sampling)
## Chain 4:                0.026992 seconds (Total)
## Chain 4:
print(fit, probs=c(0.1, 0.9))
## Inference for Stan model: 6dcfbccbf2f063595ccc9b93f383e221.
## 4 chains, each with iter=5000; warmup=2500; thin=1; 
## post-warmup draws per chain=2500, total post-warmup draws=10000.
## 
##         mean se_mean   sd    10%    90% n_eff Rhat
## theta   0.27    0.00 0.09   0.16   0.39  3821    1
## lp__  -13.40    0.01 0.73 -14.25 -12.90  3998    1
## 
# 提取后验抽样
# 计算后均值（估计）
mean(theta_draws)
## [1] 0.2715866
# 计算后验区间

##       10%       90% 
## 0.1569165 0.3934832
 ggplot(theta_draws_df, aes(x=theta)) +
  geom_histogram(bins=20, color="gray")

RStan：MAP，MLE

Stan的估算优化；两种观点：

  • 最大后验估计(MAP)。
  • 最大似然估计（MLE）。
optimizing(model, data=c("N", "y"))

## $par
## theta 
##   0.4 
## 
## $value
## [1] -3.4
## 
## $return_code
## [1] 0

种群竞争模型 —Lotka-Volterra模型

  • 洛特卡（Lotka，1925）和沃尔泰拉（Volterra，1926）制定了参数化微分方程，描述了食肉动物和猎物的竞争种群。
  • 完整的贝叶斯推断可用于估计未来（或过去）的种群数量。
  • Stan用于对统计模型进行编码并执行完整的贝叶斯推理，以解决从噪声数据中推断参数的逆问题。

在此示例中，我们希望根据公司每年收集的毛皮数量，将模型拟合到1900年至1920年之间各自种群的加拿大猫科食肉动物和野兔猎物。

数学模型

我们表示U（t）和V（t）作为猎物和捕食者种群数量 分别。与它们相关的微分方程为：

这里：

  • α：猎物增长速度。
  • β：捕食引起的猎物减少速度。
  • γ：自然的捕食者减少速度。
  • δ：捕食者从捕食中增长速度。

stan中的Lotka-Volterra

real[] dz_dt(data real t,       // 时间
  real[] z,                     // 系统状态
  real[] theta,                 // 参数
  data real[] x_r,              // 数值数据
  data int[] x_i)               // 整数数据
{
  real u = z[1];                // 提取状态
  real v = z[2];

观察到已知变量：

  • ：表示在时间 的物种数量

必须推断未知变量）：

  • 初始状态： ：k的初始物种数量。
  • 后续状态：在时间t的物种数量k。
  • 参量 。

假设误差是成比例的（而不是相加的）：

等效：

与

建立模型

已知常数和观测数据的变量。

data {
  int<lower = 0> N;       // 数量测量
  real ts[N];             // 测量次数>0
  real y0[2];             // 初始数量
  real<lower=0> y[N,2];   // 后续数量
}

未知参数的变量。

parameters {
  real<lower=0> theta[4];    // alpha, beta, gamma, delta
  real<lower=0> z0[2];       // 原始种群
  real<lower=0> sigma[2];    // 预测误差
}

先验分布和概率。

model {
  // 先验
  sigma ~ lognormal(0, 0.5);
  theta[{1, 3}] ~ normal(1, 0.5);
 
  // 似然（对数正态）
  for (k in 1:2) {
    y0[k] ~ lognormal(log(z0[k]), sigma[k]);

我们必须为预测的总体定义变量 ：

  • 初始种群（z0）。
  • 初始时间（0.0），时间（ts）。
  • 参数（theta）。
  • 最大迭代次数（1e3）。

Lotka-Volterra参数估计

print(fit, c("theta", "sigma"), probs=c(0.1, 0.5, 0.9))

获得结果：

               mean  se_mean   sd  10%  50%  90%  n_eff  Rhat
## theta[1]    0.55    0     0.07 0.46 0.54 0.64   1168     1
## theta[2]    0.03    0     0.00 0.02 0.03 0.03   1305     1
## theta[3]    0.80    0     0.10 0.68 0.80 0.94   1117     1
## theta[4]    0.02    0     0.00 0.02 0.02 0.03   1230     1
## sigma[1]    0.29    0     0.05 0.23 0.28 0.36   2673     1
## sigma[2]    0.29    0     0.06 0.23 0.29 0.37   2821     1

分析所得结果：

  • Rhat接近1表示收敛；n_eff是有效样本大小。
  • 10％，后验分位数；例如。
  • 后验均值是贝叶斯点估计：α=0.55。
  • 后验平均估计的标准误为0。
  • α的后验标准偏差为0.07。

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关于作者

Kaizong Ye是拓端研究室（TRL）的研究员。

本文借鉴了作者最近为《R语言数据分析挖掘必知必会 》课堂做的准备。

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