概率编程使我们能够实现统计模型，而不必担心技术细节。这对于基于MCMC采样的贝叶斯模型特别有用。
Stan是用于贝叶斯推理的C ++库。它基于No-U-Turn采样器（NUTS），该采样器用于根据用户指定的模型和数据估计后验分布。
视频
R语言中RStan贝叶斯层次模型分析示例
使用Stan执行分析涉及以下步骤：
- 使用Stan建模语言指定统计模型。通过专用的.stan 文件完成此操作 。
- 准备要提供给模型的数据。
- 使用该
stan函数从后验分布中采样 。 - 分析结果。
分层贝叶斯模型 (Bayesian hieratical model) 首先是基于可交换性的基础的。不记得的自觉看前文。
在理解了可交换性这个基础之后，一起来看到这里的模型的外在。
其实这个模型可以分两层，也可以分很多很多层。如果仅考虑两层的话，类似于此：
三阶段的话，则会像是：
但这个式子怎么用来做预测呢？
总归得先看公式的.
如果还没忘记可交换性的概念的话(忘记了的请举手，并自觉往上看)，从一个群体中独立采样的结果是可以看作是可交换的。这样的话群体的属性就可以用一个固定的未知参数 来描述，即：
从而当考虑分层数据 ，其中
时，有
而对于 同样而可以假定：
这样就有了三个模型
组内：
组间：
先验分布：
而为了表现各组的差异，回归手段就需要被派上用场了
组内模型：
组间模型：
而要估计这些参数，方法还是挺多的，常用的有蒙特卡洛方法 (Monte Carlo Method, MC) 马尔科夫链蒙特卡洛方法 (Markov Chain Monte Carlo Method, MCMC)
蒙特卡洛方法即使用随机数解决实际问题，比如求个积分。
为了计算 ，取一列服从
上均匀分布的随机变量
，则
且
从而 ，而由大数定理
而当结果为 时，对
MCMC入门
而MCMC则是基于马尔科夫链的蒙特卡洛方法，(完全不了解或已经忘了马尔科夫链的话戳这里 )
在引入Gibbs采样方法之前，一直使用的是一个 M-H (Metropolis-Hastings) 采样方法，一共分两步走
-
初始化马尔科夫链初始状态
-
对
循环以下过程
-
第
个时刻马氏链状态为
，采样
-
从均匀分布采样
-
如果
则接受转移
，即
-
否则不接受转移，即
收敛之后就得到了所需的样本。然而接受率 通常小于1，使 M-H 算法效率不够高，为了提高效率有了 Gibbs 方法。
通过构造转移矩阵Q
从而该转移矩阵对平面内任意两点均满足细致平稳条件（并可推广到多维）
-
随机初始化
-
对
循环采样
-
-
-
-
-
-
收敛后就可以得到样本了。
在本文中，我将通过两个层次模型展示Stan的用法。我将使用第一个模型讨论Stan的基本功能，并使用第二个示例演示更高级的应用。
学校数据集
我们要使用的第一个数据集是 学校的数据集 。该数据集衡量了教练计划对大学入学考试（在美国使用的学业能力测验（SAT））的影响。 数据集如下所示：
正如我们所看到的：对于八所学校中的大多数，短期教练计划的确提高了SAT分数 。对于此数据集，我们有兴趣估算与每所学校相关的真实教练计划效果大小。我们考虑两种替代方法。首先，我们可以假设所有学校彼此独立。但是，这将难以解释，因为学校的后验区间由于高标准差而在很大程度上重叠。第二，假设所有学校的真实效果都相同，则可以汇总所有学校的数据。但是，这也是不合理的，因为该计划有针对学校的不同效果（例如，不同的老师和学生应该有不同的计划）。
因此，需要另一个模型。分层模型的优点是可以合并来自所有八所学校的信息，而无需假定它们具有共同的真实效果。我们可以通过以下方式指定层次贝叶斯模型：
根据该模型，教练的效果遵循正态分布，其均值是真实效果θj，其标准偏差为σj（从数据中得知）。真正的影响θj遵循参数μ和τ的正态分布。
定义Stan模型文件
在指定了要使用的模型之后，我们现在可以讨论如何在Stan中指定此模型。在为上述模型定义Stan程序之前，让我们看一下Stan建模语言的结构。
变量
在Stan中，可以通过以下方式定义变量：
int<lower=0> n; # 下界是0
int<upper=5> n; # 上限是5
int<lower=0,upper=5> n; # n 的范围是 [0,5]注意，如果先验已知变量，则应指定变量的上下边界。
多维数据可以通过方括号指定：
vector[n] numbers; // 长度为n的向量
real[n] numbers; // 长度为n的浮点数组
matrix[n,n] matrix; // n乘n矩阵程序
Stan中使用以下程序 ：
- data：用于指定以贝叶斯规则为条件的数据
- 转换后的数据：用于预处理数据
- 参数 （必填）：用于指定模型的参数
- 转换后的参数：用于计算后验之前的参数处理
- 模型 （必填）：用于指定模型
- 生成数量：用于对结果进行后处理
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对于 模型 程序块，可以两种等效方式指定分布。第一个，使用以下统计符号：
y ~ normal(mu, sigma); # y 服从正态分布第二种方法使用基于对数概率密度函数（lpdf）的程序化表示法：
target += normal_lpdf(y | mu, sigma); # 增加正态对数密度Stan支持大量的概率分布。通过Stan指定模型时，该 lookup 函数会派上用场：它提供从R函数到Stan函数的映射。考虑以下示例：
library(rstan) # 加载stan包
lookup(rnorm)## StanFunction Arguments ReturnType Page
## 355 normal_rng (real mu, real sigma) real 494在这里，我们看到R中的rnorm 等价于 Stan的 normal_rng 。
模型
现在，我们了解了Stan建模语言的基础知识，我们可以定义模型，并将其存储在一个名为的文件中 schools.stan：
注意，θ 永远不会出现在参数中。这是因为我们没有显式地对θ进行建模，而是对η（各个学校的标准化效果）进行了建模。然后， 根据μ，τ和η在变换后的参数部分构造θ 。此参数化使采样器更高效。
准备数据进行建模
在拟合模型之前，我们需要将输入数据编码为一个列表，其参数应与Stan模型的数据部分相对应。对于学校数据，数据如下：
schools.data <- list(
n = 8,
y = c(28, 8, -3, 7, -1, 1, 18, 12),
sigma = c(15, 10, 16, 11, 9, 11, 10, 18)
)从后验分布抽样
我们可以使用stan 函数从后验分布中采样，函数执行以下三个步骤：
- 它将模型规范转换为C ++代码。
- 它将C ++代码编译为共享对象。
- 它根据指定的模型，数据和设置从后验分布中采样。
如果 rstan_options(auto_write = TRUE)，则相同模型的后续调用将比第一次调用快得多，因为该 stan 函数随后跳过了前两个步骤（转换和编译模型）。
此外，我们将设置要使用的内核数：
options(mc.cores = parallel::detectCores()) # 并行化
rstan_options(auto_write = TRUE) # 存储编译的stan模型现在，我们可以从后验中编译模型和样本。
模型解释
我们将首先对模型进行基本解释，然后研究MCMC程序。
基本模型解释
要使用拟合模型执行推断，我们可以使用 print 函数。
print(fit1) # 可选参数：pars，probs## Inference for Stan model: schools.
## 4 chains, each with iter=2000; warmup=1000; thin=1;
## post-warmup draws per chain=1000, total post-warmup draws=4000.
##
## mean se_mean sd 2.5% 25% 50% 75% 97.5% n_eff Rhat
## mu 7.67 0.15 5.14 -2.69 4.42 7.83 10.93 17.87 1185 1
## tau 6.54 0.16 5.40 0.31 2.52 5.28 9.05 20.30 1157 1
## eta[1] 0.42 0.01 0.92 -1.47 -0.18 0.44 1.03 2.18 4000 1
## eta[2] 0.03 0.01 0.87 -1.74 -0.54 0.03 0.58 1.72 4000 1
## eta[3] -0.18 0.02 0.92 -1.95 -0.81 -0.20 0.45 1.65 3690 1
## eta[4] -0.03 0.01 0.92 -1.85 -0.64 -0.02 0.57 1.81 4000 1
## eta[5] -0.33 0.01 0.86 -2.05 -0.89 -0.34 0.22 1.43 3318 1
## eta[6] -0.20 0.01 0.87 -1.91 -0.80 -0.21 0.36 1.51 4000 1
## eta[7] 0.37 0.02 0.87 -1.37 -0.23 0.37 0.96 2.02 3017 1
## eta[8] 0.05 0.01 0.92 -1.77 -0.55 0.05 0.69 1.88 4000 1
## theta[1] 11.39 0.15 8.09 -2.21 6.14 10.30 15.56 30.22 2759 1
## theta[2] 7.92 0.10 6.25 -4.75 4.04 8.03 11.83 20.05 4000 1
## theta[3] 6.22 0.14 7.83 -11.41 2.03 6.64 10.80 20.97 3043 1
## theta[4] 7.58 0.10 6.54 -5.93 3.54 7.60 11.66 20.90 4000 1
## theta[5] 5.14 0.10 6.30 -8.68 1.40 5.63 9.50 16.12 4000 1
## theta[6] 6.08 0.10 6.62 -8.06 2.21 6.45 10.35 18.53 4000 1
## theta[7] 10.60 0.11 6.70 -0.94 6.15 10.01 14.48 25.75 4000 1
## theta[8] 8.19 0.14 8.18 -8.13 3.59 8.01 12.48 25.84 3361 1
## lp__ -39.47 0.07 2.58 -45.21 -41.01 -39.28 -37.70 -34.99 1251 1
##
## Samples were drawn using NUTS(diag_e) at Thu Nov 29 11:17:50 2018.
## For each parameter, n_eff is a crude measure of effective sample size,
## and Rhat is the potential scale reduction factor on split chains (at
## convergence, Rhat=1).在此，行名称表示估计的参数：mu是后验分布的平均值，而tau是其标准偏差。eta和theta的条目分别表示矢量η和θ的估计值。这些列表示计算值。百分比表示置信区间。例如，教练计划的总体效果的95％可信区间μ为[-1.27,18.26]。由于我们不确定平均值，因此θj的95％置信区间也很宽。例如，对于第一所学校，95％置信区间为[−2.19,32.33]。
我们可以使用以下plot 函数来可视化估计中的不确定性 ：
黑线表示95％的间隔，而红线表示80％的间隔。圆圈表示平均值的估计。
我们可以使用以下extract 函数获取生成的样本 ：
# 获取样本
samples <- extract(fit1, permuted = TRUE) # 每个参数1000个样本MCMC诊断
通过绘制采样过程的轨迹图，我们可以确定采样期间是否出了问题。例如，链条在一个位置停留的时间过长或在一个方向上走了太多步，就会有问题。我们可以使用traceplot 函数绘制模型中使用的四个链的轨迹 ：
# 诊断:
要从各个马尔可夫链中获取样本，我们可以extract 再次使用函数：
## parameters
## chains mu tau eta[1] eta[2] eta[3] eta[4]
## chain:1 1.111120 2.729124 -0.1581242 -0.8498898 0.5025965 -1.9874554
## chain:2 3.633421 2.588945 1.2058772 -1.1173221 1.4830778 0.4838649
## chain:3 13.793056 3.144159 0.6023924 -1.1188243 -1.2393491 -0.6118482
## chain:4 3.673380 13.889267 -0.0869434 1.1900236 -0.0378830 -0.2687284
## parameters
## chains eta[5] eta[6] eta[7] eta[8] theta[1]
## chain:1 0.3367602 -1.1940843 0.5834020 -0.08371249 0.6795797
## chain:2 -1.8057252 0.7429594 0.9517675 0.55907356 6.7553706
## chain:3 -1.5867789 0.6334288 -0.4613463 -1.44533007 15.6870727
## chain:4 0.1028605 0.3481214 0.9264762 0.45331024 2.4657999
## parameters
## chains theta[2] theta[3] theta[4] theta[5] theta[6] theta[7]
## chain:1 -1.208335 2.482769 -4.31289292 2.030181 -2.147684 2.703297
## chain:2 0.740736 7.473028 4.88612054 -1.041502 5.556902 6.097494
## chain:3 10.275294 9.896345 11.86930758 8.803971 15.784656 12.342510
## chain:4 20.201935 3.147213 -0.05906019 5.102037 8.508530 16.541455
## parameters
## chains theta[8] lp__
## chain:1 0.8826584 -41.21499
## chain:2 5.0808317 -41.17178
## chain:3 9.2487083 -40.35351
## chain:4 9.9695268 -36.34043为了对采样过程进行更高级的分析，我们可以使用该 shinystan 软件包 。使用该软件包，可以通过以下方式启动Shiny应用程序来分析拟合模型：
library(shinystan)
launch_shinystan(fit1)层次回归
现在，我们对Stan有了基本的了解，我们可以深入研究更高级的应用程序：让我们尝试一下层次回归。在常规回归中，我们对以下形式的关系进行建模
此表示假设所有样本都具有相同的分布。如果只存在一组样本，那么我们就会遇到问题，因为将忽略组内和组之间的潜在差异。
另一种选择是为每个组建立一个回归模型。但是，在这种情况下，估计单个模型时，小样本量会带来问题。
层次回归是两个极端之间的折衷。该模型假设组是相似的，但存在差异。
假设每个样本都属于K组之一。然后，层次回归指定如下：
其中Yk是第k组的结果，αk是截距，Xk是特征，β（k）表示权重。层次模型不同于其中Yk分别拟合每个组的模型，因为假定参数αk和β（k）源自共同的分布。
数据集
分层回归的经典示例是 老鼠数据集。该数据集包含5周内测得的 鼠体重。让我们加载数据：
## day8 day15 day22 day29 day36
## 1 151 199 246 283 320
## 2 145 199 249 293 354
## 3 147 214 263 312 328
## 4 155 200 237 272 297
## 5 135 188 230 280 323
## 6 159 210 252 298 331让我们调查数据：
library(ggplot2)
ggplot(ddf, aes(x = variable, y = value, group = Group)) + geom_line() + geom_point()
数据显示线性增长趋势对于不同的大鼠非常相似。但是，我们还看到，大鼠的初始体重不同，需要不同的截距，并且生长速度也需要不同的斜率。因此，分层模型似乎是适当的。
层次回归模型的规范
该模型可以指定如下：
第i个大鼠的截距由αi表示，斜率由βi表示。注意，测量时间的中心是x = 22，它是时间序列数据的中值测量值（第22天）。
现在，我们可以指定模型并将其存储在名为 rats.stan的文件中 ：
请注意，模型代码估算的是方差（ sigmasq 变量）而不是标准差。
资料准备
为了准备模型数据，我们首先将测量点提取为数值，然后将所有内容编码为列表结构：
data <- list(N = nrow(df), T = ncol(df), x = days,
y = df, xbar = median(days)) 拟合回归模型
现在，我们可以为老鼠体重数据集拟合贝叶斯层次回归模型：
# 模型包含截距（alpha）和斜率（beta）的估计层次回归模型的预测
在确定了每只大鼠的α和β之后，我们现在可以估计任意时间点单个大鼠的体重。在这里，我们寻找从第0天到第100天的大鼠体重。
ggplot(pred.df[pred.df$Rat %in% sel.rats, ],
aes(x = Day, y = Weight, group = Rat,
geom_line() +与原始数据相比，该模型的估计是平滑的，因为每条曲线都遵循线性模型。研究最后一个图中所示的置信区间，我们可以看到方差估计是合理的。我们对采样时（第8至36天）的老鼠体重充满信心，但是随着离开采样区域，不确定性会增加。
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关于作者
Kaizong Ye是拓端研究室（TRL）的研究员。在此对他对本文所作的贡献表示诚挚感谢，他在上海财经大学完成了统计学专业的硕士学位，专注人工智能领域。擅长Python.Matlab仿真、视觉处理、神经网络、数据分析。
本文借鉴了作者最近为《R语言数据分析挖掘必知必会 》课堂做的准备。
非常感谢您阅读本文，如需帮助请联系我们！
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