R语言精算学：使用链梯法Chain Ladder和泊松定律模拟和预测未来赔款数据

---

可下载资源

> Y
     [,1] [,2] [,3] [,4] [,5] [,6]
[1,] 3209 1163   39   17    7   21
[2,] 3367 1292   37   24   10   NA
[3,] 3871 1474   53   22   NA   NA
[4,] 4239 1678  103   NA   NA   NA
[5,] 4929 1865   NA   NA   NA   NA
[6,] 5217   NA   NA   NA   NA   NA


> summary(reg2)

Call:
glm(formula = y ~ as.factor(ai) + as.factor(bj), family = poisson, 
    data = base)

Coefficients:
                  Estimate Std. Error z value Pr(>|z|)    
(Intercept)        8.05697    0.01551 519.426  < 2e-16 ***
as.factor(ai)2001  0.06440    0.02090   3.081  0.00206 ** 
as.factor(ai)2002  0.20242    0.02025   9.995  < 2e-16 ***
as.factor(ai)2003  0.31175    0.01980  15.744  < 2e-16 ***
as.factor(ai)2004  0.44407    0.01933  22.971  < 2e-16 ***
as.factor(ai)2005  0.50271    0.02079  24.179  < 2e-16 ***
as.factor(bj)1    -0.96513    0.01359 -70.994  < 2e-16 ***
as.factor(bj)2    -4.14853    0.06613 -62.729  < 2e-16 ***
as.factor(bj)3    -5.10499    0.12632 -40.413  < 2e-16 ***
as.factor(bj)4    -5.94962    0.24279 -24.505  < 2e-16 ***
as.factor(bj)5    -5.01244    0.21877 -22.912  < 2e-16 ***
---
Signif. codes:  0 ‘***’ 0.001 ‘**’ 0.01 ‘*’ 0.05 ‘.’ 0.1 ‘ ’ 1 

(Dispersion parameter for poisson family taken to be 1)

    Null deviance: 46695.269  on 20  degrees of freedom
Residual deviance:    30.214  on 10  degrees of freedom
  (15 observations deleted due to missingness)
AIC: 209.52

Number of Fisher Scoring iterations: 4

       [,1]   [,2] [,3] [,4] [,5] [,6]
[1,] 3155.7 1202.1 49.8 19.1  8.2 21.0
[2,] 3365.6 1282.1 53.1 20.4  8.8 22.4
[3,] 3863.7 1471.8 61.0 23.4 10.1 25.7
[4,] 4310.1 1641.9 68.0 26.1 11.2 28.7
[5,] 4919.9 1874.1 77.7 29.8 12.8 32.7
[6,] 5217.0 1987.3 82.4 31.6 13.6 34.7

[1] 2426.985

注意到泊松定律的变化太小

---

专栏

精算科学

关于结合数学、统计方法以及程序语言对经济活动来做风险分析、评估的见解。

探索专栏 ➔

Coefficients:
                  Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)    
(Intercept)        8.05697    0.02769 290.995  < 2e-16 ***
as.factor(ai)2001  0.06440    0.03731   1.726 0.115054    
as.factor(ai)2002  0.20242    0.03615   5.599 0.000228 ***
as.factor(ai)2003  0.31175    0.03535   8.820 4.96e-06 ***
as.factor(ai)2004  0.44407    0.03451  12.869 1.51e-07 ***
as.factor(ai)2005  0.50271    0.03711  13.546 9.28e-08 ***
as.factor(bj)1    -0.96513    0.02427 -39.772 2.41e-12 ***
as.factor(bj)2    -4.14853    0.11805 -35.142 8.26e-12 ***
as.factor(bj)3    -5.10499    0.22548 -22.641 6.36e-10 ***
as.factor(bj)4    -5.94962    0.43338 -13.728 8.17e-08 ***
as.factor(bj)5    -5.01244    0.39050 -12.836 1.55e-07 ***
---
Signif. codes:  0 ‘***’ 0.001 ‘**’ 0.01 ‘*’ 0.05 ‘.’ 0.1 ‘ ’ 1 

(Dispersion parameter for quasipoisson family taken to be 3.18623)

    Null deviance: 46695.269  on 20  degrees of freedom
Residual deviance:    30.214  on 10  degrees of freedom
  (15 observations deleted due to missingness)
AIC: NA

Number of Fisher Scoring iterations: 4

通常，通过构造皮尔逊残基的形式为

​

我们已经在定价过程中看到，分母的方差可以被预测代替，因为在泊松模型中，期望和方差是相同的。所以我们考虑

​

​

通过对这些残基进行重采样。为简单起见，我们将生成一个小矩形

> round(matrix(Tb,n,n),1)
       [,1]   [,2] [,3] [,4] [,5] [,6]
[1,] 3115.8 1145.4 58.9 46.0  6.4 26.9
[2,] 3179.5 1323.2 54.5 21.3 12.2   NA
[3,] 4245.4 1448.1 61.0  7.9   NA   NA
[4,] 4312.4 1581.7 68.7   NA   NA   NA
[5,] 4948.1 1923.9   NA   NA   NA   NA
[6,] 4985.3     NA   NA   NA   NA   NA

这样我们就可以做几件事

1. 使用Chain Ladder方法完成流量三角形，即计算我们认为未来几年将支付的平均金额
2. 生成未来几年的付款方案，根据泊松定律（以我们刚刚计算的平均金额为中心）生成付款
3. 产生比Poisson定律方差更大的定律的支付方案。理想情况下，我们希望模拟拟泊松定律，但这不是真实定律。另一方面，我们可以记住，在这种情况下，伽玛定律应该给出一个很好的近似值。

最后一点，我们将使用以下代码生成准定律，

> rqpois = function(n, lambda, phi, roundvalue = TRUE) {
+ b = phi
+ a = lambda/phi
+ r = rgamma(n, shape = a, scale = b)
+ if(roundvalue){r=round(r)}
+ return(r)
+ }

然后，我们将执行一个小函数，该函数将从三角形计算出未来的平均付款额或各付款场景的总和数，

它仍然会生成三角形的数据包。但是，可以生成负增量的三角形。简而言之，当我们支付负数时，将为空值。这样，对分位数的影响（先验）将可以忽略不计。

如果我们查看最佳估计的分布，我们得到

polygon(c(D$x[I],rev(D$x[I])),c(D$y[I],rep(0,length(I))),col="blue",border=NA)

​

但是，我们还可以在下面将基于泊松定律（等散）的情景可视化

​

在后一种情况下，我们可以扣除99％的未来付款额。

> quantile(VRq,.99)
    99% 
2855.01

因此，有必要将拨备金额增加约15％，以确保公司能够在99％的情况下履行承诺，

> quantile(VRq,.99)-2426.985
    99% 
428.025