R语言用于线性回归的稳健方差估计

为了说明，我们首先从线性回归模型中模拟一些简单数据，其中残差方差随着协变量的增加而急剧增加：

 n < -  100 
x < -  rnorm（n）
residual_sd < -  exp（x）
y < -  2 * x + residual_sd * rnorm（n）

该代码从给定X的线性回归模型生成Y，具有真正的截距0和真实斜率2.然而，残差标准差已经生成为exp（x），使得残差方差随着X的增加而增加。可以直观地看到这个效果：

这使​ 模拟Y对X数据的图，其中残差方差随着X的增加而增加

在这个简单的情况下，视觉上清楚的是，对于较大的X值，残差方差要大得多，因此违反了“基于模型”的标准误差所需的关键假设之一。无论如何，如果我们像往常一样拟合线性回归模型，让我们看看结果是什么：

> summary（mod）

 lm（formula = y~x）

      最小1Q中位数3Q最大值
-25.9503 -0.8574 -0.1751 0.9809 13.4015 

系数：
            估计标准。误差t值Pr（> | t |）     
（截距）-0.08757 0.36229 -0.242 0.809508     
x 1.18069 0.31071 3.800 0.000251 *** 
--- 
Signif。代码：0'***'0.001'**'0.01'*'0.05'。' 0.1 '' 1 

残余标准误差：3.605 98上的自由度的
多R平方：0.1284，调整R平方：0.1195 
F统计：14.44 1和98 DF，p值：0.0002512

这表明我们有强有力的证据反对Y和X独立的零假设。为了便于比较，我们注意到X效果的标准误差是0.311。

 接下来，我 然后将先前安装的lm对象传递给包中​​的函数，该函数计算 方差估计值：

> vcovHC（mod，type =“HC”）
            （
截距）x （截距）0.08824454 0.1465642 
x 0.14656421 0.3414185

得到的矩阵是两个模型参数的估计方差协方差矩阵。因此，对角线元素是估计的方差（平方标准误差）。因此，我们可以通过采用这些对角元素和平方根来计算夹心标准误差：

 > sandwich_se 
（Intercept）x 
  0.2970598 0.5843103

因此，X系数的 标准误差为0.584。这与先前基于模型的标准误差0.311形成对比。因为此处残差方差不是恒定的，所以基于模型的标准误差低估了估计的可变性，并且夹心标准误差对此进行了校正。让我们看看它对置信区间和p值有何影响。为此，我们使用估计量渐近（在大样本中）正态分布的结果。首先，要获得置信区间限制，我们可以使用：

> coef（mod）-1.96 * sandwich_se 
（
截距）x -0.66980780 0.03544496 
> coef（mod）+ 1.96 * sandwich_se 
（
  截距）x 0.4946667 2.3259412

因此，X系数的95％置信区间限制为（0.035,2.326）。为了找到p值，我们可以首先计算z-统计量（系数除以它们相应的标准误差），并将平方z-统计量与一个自由度上的卡方分布进行比较：

 > p_values < -  pchisq（z_stat ^ 2,1，lower.tail = FALSE）
> p_values 
（
 截距）x 0.76815365 0.04331485

我们现在有一个p值表示Y对X的依赖性为0.043，而早期从lm为0.00025得到的p值。