R语言泊松回归对保险定价建模中的应用:风险敞口作为可能的解释变量

在保险定价中,风险敞口通常用作模型索赔频率的补偿变量。

如果我们必须使用相同的程序,但是一个程序的暴露时间为6个月,而另一个则是一年,那么自然应该假设平均而言,第二个驾驶员的事故要多两倍。

这是使用标准(均匀)泊松过程来建模索赔频率的动机。人们在这里还可以看到法律问题,因为如果(部分)退还保费,则可以按比例进行。风险与暴露成正比。因此,如果  Yi表示被保险人的理赔数量i,则具有特征Xi​和风险敞口Ei​,通过泊松回归,我们写

https://latex.codecogs.com/gif.latex?Y_i\sim\mathcal{P}(E_i\cdot%20\exp(\boldsymbol{X}_i%27\boldsymbol{\beta}))

或等同

https://latex.codecogs.com/gif.latex?Y_i\sim\mathcal{P}(\exp(\log(E_i)+\boldsymbol{X}_i%27\boldsymbol{\beta}))

根据该表达式,曝光量的对数是一个解释变量,不应有系数(此处的系数取为1)。我们不能使用暴露作为解释变量吗?我们会得到一个单位参数吗?

当然,在进行费率评估的过程中,这可能不是一个相关的问题,因为精算师需要预测年度索赔频率(因为保险合同应提供一年的保险期)。但是,更好地了解人们为什么会离开我们的投资组合(例如,在任期前取消保险单,或者某天不续签)可能会很有趣。

为了更具体和更好地理解,请考虑以下模型:考虑使用Poisson流程对索赔到达进行建模,以及专职于其保险公司的人员。

在这里,两次索赔之间的预期时间为1000天。泊松过程的(年度)强度在这里

因此,如果我们对曝光的对数进行Poisson回归,我们应该获取一个相近参数

在这里,具有偏移量的常数的回归为


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这与我们刚才所说的一致。如果我们以曝光量的对数作为可能的解释变量进行回归,则我们期望其系数接近1。

如果我们保留偏移量并添加变量,我们可以看到它变得无用(对单位参数的测试)

在这里,我们确实具有纯泊松过程,因此曝光至关重要,因为泊松分布的参数与曝光成正比。但是我们不能从曝光中学到其他东西。

考虑一些真实数据

如果考虑暴露的对数的泊松回归,将会得到什么?

如果将曝光量添加到偏移量中,会发生什么情况?(我们使用非参数转换,可视化发生的情况)

有明显而显着的效果。时间越长,他们获得索赔的可能性就越小。实际上,无需进行回归即可观察到它。

蓝色为没有索赔人的风险密度,红色为有一个或多个索赔人的风险密度。

因此,在这里,我们不能假设参数的单位值。这意味着什么 ?我们可以重现这种行为吗?

为了更好地理解被保险人,请考虑两种可能的行为。第一个是:如果公司在没有索赔的几年后没有提供大幅折扣,则被保险人可能会离开公司。例如,如果被保险人在5年内没有索偿,那么5年后,他将离开公司(例如,获得更高的价格)。该代码

如果我考虑的是1500天而不是5年。

此处,系数(明显)大于1。

这里显然存在偏见:长时间待在办公室的人更可能发生事故。这与我们的想法一致,因为客户的风险较低。

第二种行为是:有时,被保险人对索赔的处理方式不满意,他们可能会在第一次索赔后离开。考虑一种情况,在一项索赔之后,被保险人很可能(例如,概率为50%)离开公司。与其假设被保险人不喜欢理赔管理,不如考虑汽车被严重损坏以至于他不能再开车了。因此,支付保险费将毫无用处。这里的代码

在这里,在每次索赔之后,被保险人扔硬币查看他是否取消合同。

这次,参数(再次显着)小于1。

现在的情况已经大不相同了,因为那些待久的人应该不会遇到很多离开的机会。显然,他们没有太多要求。如果某人的风险敞口很大,那么上面输出中的负号表示该人平均应该没有太多债权。

如我们所见,这些模型产生了相当大的差异输出。注意,可能有更多的解释。例如,根据提取数据的方式,

  • 在过去的二十年中,所有遵守的政策,
  • 到现在为止所有在特定日期生效的政策
  • 在某个特定日期生效的所有政策,直到之后的一年
  • 现在生效的所有政策

到目前为止,我们一直在使用第一种方法,但是其他方法会产生不同的解释。


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关于作者

Kaizong Ye拓端研究室(TRL)的研究员。

本文借鉴了作者最近为《R语言数据分析挖掘必知必会 》课堂做的准备。


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