R语言中的模拟过程和离散化:泊松过程和维纳过程

本文中,我们讨论了一个将Poisson过程与Wiener过程结合在一起的最佳算法的问题。

由Kaizong Ye,Liao Bao撰写

实际上,为了生成泊松过程,我们总是习惯于模拟跳跃之间的持续时间。我们使用给定时间间隔内跳跃的均匀性,该条件取决于跳跃的次数

首先,我们可以生成一个可能具有漂移的维纳过程,然后在其旁边,我们可以生成指数定律(这将对应于跳跃之间的时间),还可以生成跳跃幅度 。

我们在这里

要么 ​。我们首先通过注意

其中增量是高斯(均值和方差),并且彼此独立。

至于跳跃之间的持续时间,它们是独立的平均指数定律。这是代码,


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问题是对于维纳过程,我们必须离散化,而对于复合泊松过程,我们不能离散化。但是,他们有相同的时间范围。第一种方法是建立trunc函数 

然后可视化

该属性可在 Wolff(1982)中找到。我们从一个(单个)跳跃开始,

即我们找到一个统一的分布函数。然后,我们进行2跳,3跳等迭代。

这个想法的R翻译很简单

然后,一种策略是离散化Poisson过程,与Wiener过程的时间步长相同,

我们发现与以前相同的轨迹

通过此过程,我们不能在同一时间间隔内有两次跳跃。泊松过程的特征是

因此,极少有机会同时进行两次跳跃,尤其是在时间步长较小的情况下。如果我们生成数千条轨迹,那么一次出现问题的可能性就可以忽略不计。

有一个主意是采用离散均匀分布,

以避免同时发生两次跳跃。

为此,我们可以做一些测试。例如,生成一些模拟以具有一百次跳跃(因此两次跳跃之间的持续时间为一百次),然后进行指数定律检验。

我们在这里做了20个循环

我想进行一百次观察来进行检验。然后,我们可以进行指数拟合检验,

如果我们重复很多次,则通过更改时间步长(或时间间隔的细分数),实际上,如果时间步长很大(在左下方),我们将通常拒绝,指数定律也是如此。但是很快,这是一个不成立的假设,

 

我们有两个不错的算法来生成莱维过程。


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关于作者

Kaizong Ye拓端研究室(TRL)的研究员。

本文借鉴了作者最近为《R语言数据分析挖掘必知必会 》课堂做的准备。

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