因此，在我们的模型中，差距（B3）是因变量，年龄和年龄平方是预测因素。

数据是一个.csv文件，但你可以使用以下语法直接将其加载到R中。

绘图

在继续分析数据之前，我们还可以绘制期望的关系。

plot(aes(x = age,
             y = diff))

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回归

在这个练习中，你将研究博士生的年龄和age2对他们的项目时间延期的影响，这作为结果变量使用回归分析。

如你所知，贝叶斯推理包括将先验分布与从数据中获得的似然性相结合。指定先验分布是贝叶斯推断中最关键的一点，应该受到高度重视（例如Van de Schoot等人，2017）。在本教程中，我们将首先依赖默认的先验设置。

要用运行多元回归，首先要指定模型，然后拟合模型，最后获得总结。模型的指定方法如下。

• 我们想要预测的因变量。
• “~”，我们用它来表示我们现在给其他感兴趣的变量。(相当于回归方程的”=”）。
• 用求和符号’+’分隔的不同自变量。
• 最后，我们插入因变量有一个方差，有一个截距。

现在我们用summary(fit.bayes)来看看总结。

显示输出

贝叶斯统计推断和_频率_主义统计方法之间的关键区别在于估计的未知参数的性质。在_频率_主义框架中，一个感兴趣的参数被假定为未知的，但却是固定的。也就是说，假设在人口中只有一个真实的人口参数，例如，一个真实的平均值或一个真实的回归系数。在贝叶斯的主观概率观中，所有的未知参数都被视为不确定的，因此要用一个概率分布来描述。每个参数都是未知的，而所有未知的东西都会得到一个分布。

这就是为什么在_频率_推断中，你主要得到的是一个未知但固定的群体参数的点估计。这是一个参数值，考虑到数据，它最有可能出现在人群中。附带的置信区间试图让你进一步了解这个估计值的不确定性。重要的是要认识到，置信区间只是构成一个模拟量。在从人口中抽取的无限多的样本中，构建（95%）置信区间的程序将使其在95%的时间内包含真实的人口值。这并没有为你提供任何信息，即人口参数位于你所分析的非常具体和唯一的样本中的置信区间边界内的可能性有多大。

在贝叶斯分析中，你推断的关键是感兴趣的参数的后验分布。它满足了概率分布的每一个属性，并量化了人口参数位于某些区域的概率。一方面，你可以通过它的模式来描述后验的特点。这是一个参数值，考虑到数据和它的先验概率，它在人群中是最有可能的。另外，你也可以使用后验的平均数或中位数。使用相同的分布，你可以构建一个95%的置信区间，与_频率_主义统计中的置信区间相对应。除了置信区间之外，贝叶斯的对应区间直接量化了人口值在一定范围内的概率。所关注的参数值有95%的概率位于95%置信区间的边界内。与置信区间不同，这不仅仅是一个模拟量，而是一个简明直观的概率声明。

回答：

检查使用了哪些默认的先验。

（Jags）利用一个非常宽的正态分布来得出这个无信息的先验。默认情况下，平均值为0，标准差为10（精度为0.01）。

回归–用户指定的先验

你也可以手动指定你的先验分布。理论上，你可以使用你喜欢的任何一种分布来指定你的先验知识。然而，如果你的先验分布不遵循与你的似然相同的参数形式，计算模型可能会很麻烦。 共轭先验避免了这个问题，因为它们采用了你构建的模型的函数形式。对于你的正态线性回归模型，如果你的回归参数的预设是用正态分布来指定的，就可以达到共轭性（残差得到一个反伽马分布，这里忽略不计）。你可以很灵活地指定信息性先验。

让我们用共轭先验来重新指定上面练习的回归模型。我们暂时不涉及截距和残差的预设。关于你的回归参数，你需要指定其正态分布的超参数，即均值和方差。平均值表示你认为哪一个参数值最有可能。方差表示你对此的确定程度。我们为β年龄回归系数和β年龄2系数尝试了4种不同的先验规范。

首先，我们使用以下先验。

Age ~ N(3,0.4)

Age2 ~ N(0,0.1)

先验指标是在模型制定步骤中设置的。请注意，精度而不是正态分布的方差。精度是方差的倒数，所以方差为0.1对应的精度为10，方差为0.4对应的精度为2.5。

先验参数在代码中呈现如下。

  '#带有priors的回归模型
prior("dnorm(3,2.5)")\*age + prior("dnorm(0,10)")\*age2

现在拟合模型并提供汇总统计。

回答：

summary(fit)

问题 在下表中填写结果。

年龄	默认情况下 先验	N(3,.4)	N(3,1000)	N(20,.4)	N(20,1000)
后验平均值	2.317
后验标准差	0.568

年龄2	默认情况下 先验	N(0,.1)	N(0,1000)	N(20,.1)	N(20,1000)
后验平均值	-0.022
后验标准差	0.006

回答：

年龄	默认情况下 先验	N(3,.4)	N(3,1000)	N(20,.4)	N(20,1000)
后验平均值	2.317	2.625
后验标准差	0.568	0.408

年龄2	默认情况下 先验	N(0,.1)	N(0,1000)	N(20,.1)	N(20,1000)
后验平均值	-0.022	-0.026
后验标准差	0.006	0.004

下一步，尝试改编代码，使用其他列的先验规范，然后完成该表。

回答：

 '#有priors的回归模型
  ~ prior("dnorm(3,0.001)")\*age + prior("dnorm(0,0.001)")\*age2

summary(prior2)

summary(prior3)

summary(prior4)

年龄	默认情况下 先验	N(3,.4)	N(3,1000)	N(20,.4)	N(20,1000)
Posterior mean	2.317	2.625	2.422	11.143	2.457
Posterior sd	0.568	0.408	0.502	0.536	0.576

年龄2	默认情况下 先验	N(0,.1)	N(0,1000)	N(20,.1)	N(20,1000)
Posterior mean	-0.022	-0.026	-0.023	-0.113	-0.024
Posterior sd	0.006	0.004	0.005	0.006	0.006

问题：比较不同先验的结果。结果是否与默认模型有可比性？

问题：使用不同的先验，我们最终的结论是否相似？

要回答这些问题，请按以下步骤进行。我们可以计算出相对偏差来表示这种差异。我们将只计算两个回归系数的偏差，比较默认（无信息）模型和使用N(20,.4)和N(20,.1)先验的模型。

#1）减去MCMC链的内容
fitbayes( what = "mcmc")

#2) 绑定不同的链，计算回归系数的平均值（估计值）。
 colMeans(as.matrix(mcmc.list)

#3) 计算偏差
100*((estimat-estimat)/estimat)

beta[1,2,1]和beta[1,3,1]指数分别代表了βage和βage2。Beta[x,x,x]是回归系数（按照我们在模型中指定的顺序，所以首先是age，然后是age2），alpha[x,x,x]是截距，psi[x,x,x]是方差，def[x,x,x]是间接效应（如果你的模型中有这些）。它们的排列顺序与summary()输出中的顺序相同。因此，首先是回归系数，然后是截距，然后是协方差，然后是间接效应。

我们还可以通过绘制我们运行的五个不同模型的后验和先验来绘制这些差异。在这个例子中，我们只绘制年龄βage的回归系数。

首先我们提取5个不同模型的MCMC链，只针对这一个参数（βage=beta[1,2,1]）。

 binrows(posterior1.5, prior1.5)

然后，我们可以通过使用以下代码绘制不同的后验和前验。

qplot(data = post,)+
  density(size = 1)+
  scale\_x\_continuous(limit )

现在，根据表格中的信息、偏差估计和图表，你可以回答关于先验因素对结果的影响的两个问题。

答案

#1）减去MCMC链
fit.bayes(what = "mcmc")

#2) 绑定不同的链，计算回归系数的平均值（估计值）。
colMeans(as.matrix(mcmc.list)


#3) 计算偏差
100*((imstim-estima)/estimat)

## beta\[1,2,1\] beta\[1,3,1\]. 
## 374.55 397.31

我们看到，这种高信息量先验的影响对两个回归系数的影响分别为375%和397%左右。这是一个很大的差异，因此我们肯定不会得出类似的结论。

不同的先验，结果会发生变化，但仍具有可比性。只有对年龄使用N(20,.4)，才会产生真正不同的系数，因为这个先验均值离数据的均值很远，而其方差却相当确定。然而，一般来说，其他的结果是可以比较的。因为我们使用了一个大的数据集，先验的影响相对较小。如果使用一个较小的数据集，先验的影响就会更大。为了检查这一点，你可以所有案例的大约20%进行抽样，然后重新进行同样的分析。结果当然会不同，因为我们使用的案例少了很多。使用这段代码。

indices   <- sample.int(333, 60)
smalldata <- data\[indices,\]

我们做了一个新的数据集，从原始数据集的333个观测值中随机选择了60个。用同样的代码重复分析，只改变数据集的名称，以观察先验因素对较小数据集的影响。用这个新的数据集运行priors2模型

fit.bayes(model = priors2,smalldata)
summary(fit)

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参考文献

Benjamin, D. J., Berger, J., Johannesson, M., Nosek, B. A., Wagenmakers, E.,… Johnson, V. (2017, July 22). Redefine statistical significance_. Retrieved from psyarxiv.com/mky9j_

Greenland, S., Senn, S. J., Rothman, K. J., Carlin, J. B., Poole, C., Goodman, S. N. Altman, D. G. (2016). Statistical tests, P values, confidence intervals, and power: a guide to misinterpretations_._ European Journal of Epidemiology 31 (4_). https://doi.org/10.1007/s10654-016-0149-3  _

van de Schoot R, Yerkes MA, Mouw JM, Sonneveld H (2013) What Took Them So Long? Explaining PhD Delays among Doctoral Candidates_._ PLoS ONE 8(7): e68839. https://doi.org/10.1371/journal.pone.0068839