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这里考虑月平均温度数据。

现在，我们可以计算所有年份的三个不同平稳性检验的p值

for(y in 1955:2013){
Temp[which(Year==y)]
as.numeric(pp.test(Zc)$p.value)    
as.numeric(kpss.test(Zc)$p.value)    
as.numeric(adf.test(Zc)$p.value)

可以看到大部分序列在5%显著性水平下无法拒绝原检验说明序列非平稳。

冬天和夏天的温度是完全不同的。我们可以来可视化：

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看起来我们的时间序列是周期性的，因为每年都是季节性的。自相关函数：

ARIMA模型

现在的问题是有季节性单位根吗?这意味着我们的模型应该是

如果我们忘记了自回归和移动平均分量，我们可以估计

和1差不多。实际上，它不能太接近1。如果是的话，我们会收到一条错误信息…
为了说明一些有趣的模型，让我们考虑季度温度，

sp(1:4,N,theta=-50,col="yellow",shade=TRUE,

VAR季度温度模型

VAR模型描述在同一样本期间内的n个变量（内生变量）可以作为它们过去值的线性函数。

一个VAR(p)模型可以写成为：

其中：c\_是\_n × \_1\_常数向量，Ai\_是\_n × n\_矩阵。e\_t\_是\_n × \_1\_误差向量，满足：

1.  —误差项的均值为0
2.  —误差项的协方差矩阵为Ω（一个\_n\_ × ‘n\_正定矩阵）\_
3.  （对于所有不为0的\_k\_都满足）—误差项不存在自相关

其中A是4X4矩阵。这个模型很容易估计

model=VAR(df)

矩阵A在这里

> A=rbind(
+ coefficients(varresult$y1)[1:4],
+ coefficients(varresult$y2)[1:4],
+ coefficients(varresult$y3)[1:4],
+ coefficients(varresult$y4)[1:4])

> eigen(A)
[1]  0.35834830 -0.32824657 -0.14042175  0.09105836
> Mod(eigen(A)
[1] 0.35834830 0.32824657 0.14042175 0.09105836

周期自回归(PAR)模型

看起来这里不存在平稳性问题。有限制的模型称为周期自回归模型，被称为 模型

其中

并且

这是一个VAR(1)模型，因此

可以来估计这个模型

par(wts=tsq,  type="PAR", p=1)
> PAR(model)

特征方程为

所以有一个(季节性的)单位根，如果

但在这里显然不是这样。可以进行 Canova Hansen(CH)检验。

看起来我们拒绝了季节性单位根的假设。我提到以下检验程序

> nsdiffs(tsm, test="ch")
[1] 0

其中输出:“1”表示有一个季节单位根，“0”表示没有季节单位根。读起来很简单，不是吗?如果我们考虑每月数据的周期自回归模型，输出是

> model

所以，不管是什么检验，我们总是拒绝有季节性单位根的假设。这并不意味着我们的序列不能是周期性的！实际上，这个序列几乎是周期性的。但是没有单位根！所以所有这些都是有意义的。

为了确保我们得到的是正确的，考虑两个时间序列。第一个是周期序列(有非常小的噪声)，第二个是单整序列。

> p1=Xp2=as.numeric(t(M))
> for(t in 13:length(M)){

+ p2[t]=Xp2[t-12]+rnorm(1,0,2)

查看

3D(tsp1)
3D(tsp2)

如果我们快速地看一下这些序列，我会说第一个没有单位根-即使它不是平稳的，但这是因为这个序列是周期性的-而第二个有单位根。如果我们看一下 Canova Hansen(CH)检验，我们会得到

> CH.test(tsp1)

考虑一下

> nsdiffs(tsp1, 12,test="ch")
[1] 0
> nsdiffs(tsp2, 12,test="ch")
[1] 1

这里我们有相同的结论。第一个没有单位根，但是第二个有单位根。但要小心：用\_Osborn-Chui-Smith-Birchenhall\_检验

> nsdiffs(tsp1, 12,test="ocsb")
[1] 1
> nsdiffs(tsp2, 12,test="ocsb")
[1] 1

我们感觉在我们的循环序列中也有一个单位根… …

所以在这里，在低频上，我们拒绝在我们的温度序列中有单位根的假设，甚至是季节性的单位根。