最近我们被客户要求撰写关于贝叶斯层次模型的研究报告。在本文中，我将重点介绍使用集成嵌套拉普拉斯近似方法的贝叶斯推理。
可以 估计贝叶斯 层次模型的后边缘分布。 鉴于模型类型非常广泛，我们将重点关注用于分析晶格数据的空间模型。贝叶斯层次模型（Bayesian Hierarchical Models）是一种强大的统计工具，特别适用于处理具有复杂依赖结构和不确定性的数据。在这种模型中，参数的先验分布与数据似然函数相结合，以形成参数的后验分布。后边缘分布（Marginal Posterior Distribution）则是对特定参数在所有其他参数上的积分，反映了我们对该参数不确定性的量化。对于分析晶格数据（Lattice Data）的空间模型，贝叶斯层次模型可以非常有用。晶格数据通常具有空间自相关性，即相邻观测值之间可能存在依赖关系。通过构建适当的层次模型，我们可以考虑这些空间依赖性，并允许参数在空间上变化。
可下载资源
作者
数据集：纽约州北部的白血病
为了说明如何与空间模型拟合，将使用纽约白血病数据集。该数据集记录了普查区纽约州北部的许多白血病病例。数据集中的一些变量是：
Cases：1978-1982年期间的白血病病例数。POP8：1980年人口。PCTOWNHOME：拥有房屋的人口比例。PCTAGE65P：65岁以上的人口比例。AVGIDIST：到最近的三氯乙烯（TCE）站点的平均反距离。
分层贝叶斯模型
分层贝叶斯模型是贝叶斯模型的一种，用来为具有不同水平的问题进行建模，通过贝叶斯方法估计后验分布的参数。很多时候模型会具有多个参数，这些参数也有可能具有结构性的联系。例如在研究第i次射击命中10环的概率
，很显然我们预估
是相互联系的，利用贝叶斯方法，将
看做总体分布的一个样本，观测数据
，其中j为第j次试验，利用观测数据可以用来估计
的分布。这样就构成了一个分层的贝叶斯模型。分层贝叶斯模型是通过计算参数在已知观恶量下的条件后验概率，推到过程为：
1) 写出联合后验密度p(θ,φ|y)，其非正规化的形式是超先验分布p(φ)、总体分布p(θ|φ)和似然函数p(y|θ)的乘积。
2) 在给定超参数φ的情况下，确定θ的条件后验密度，固定观测值y的情况下，它是φ的函数p(θ|φ, y)。
3) 使用贝叶斯分析范例估计φ，也就是要获取边缘后验分布p(φ|y)。
鉴于您有兴趣研究纽约州北部的白血病风险，计算预期的病例数是至关重要的一步。预期病例数通常基于一般人群中的疾病发病率和特定地区的人口数量来估算。
这是通过计算总死亡率（总病例数除以总人口数）并将其乘以总人口数得出的：
rate <- sum(NY8$Cases) / sum(NY8$POP8)
NY8$Expected <- NY8$POP8 * rate一旦获得了预期的病例数，就可以使用标准化死亡率（SMR）来获得原始的风险估计，该标准是将观察到的病例数除以预期的病例数得出的：
NY8$SMR <- NY8$Cases / NY8$Expected
疾病作图
在流行病学中，通过制作地图来显示疾病或健康相关事件的相对风险空间分布是非常重要的。这有助于识别高风险区域，进一步理解疾病的传播模式，以及制定更有效的公共卫生策略。在您的示例中，聚焦于锡拉库扎市（假定是美国的锡拉丘兹市，即Syracuse）以减少生成地图的计算时间是一个实际且明智的选择。
# 取子集
syracuse <- which(NY8$AREANAME == "Syracuse city")可以使用函数spplot（在包中sp）简单地创建疾病图：
spplot(NY8[syracuse, ], "SMR", #at = c(0.6, 0.9801, 1.055, 1.087, 1.125, 13),
col.regions = rev(magma(16))) #gray.colors(16, 0.9, 0.4))
可以轻松创建交互式地图
请注意，先前的地图还包括11个受TCE污染的站点的位置，可以通过缩小看到它。
混合效应模型
泊松回归
我们将考虑的第一个模型是没有潜在随机效应的Poisson模型，因为这将提供与其他模型进行比较的基准。
模型 ：
请注意，它的glm功能类似于该功能。在此，参数 E用于预期的案例数。或 设置了其他参数来计算模型参数的边际
（使用control.predictor）并计算一些模型选择标准 （使用control.compute）。
接下来，可以获得模型的摘要：
summary(m1)
##
## Call:
## Time used:
## Pre = 0.368, Running = 0.0968, Post = 0.0587, Total = 0.524
## Fixed effects:
## mean sd 0.025quant 0.5quant 0.975quant mode kld
## (Intercept) -0.065 0.045 -0.155 -0.065 0.023 -0.064 0
## AVGIDIST 0.320 0.078 0.160 0.322 0.465 0.327 0
##
## Expected number of effective parameters(stdev): 2.00(0.00)
## Number of equivalent replicates : 140.25
##
## Deviance Information Criterion (DIC) ...............: 948.12
## Deviance Information Criterion (DIC, saturated) ....: 418.75
## Effective number of parameters .....................: 2.00
##
## Watanabe-Akaike information criterion (WAIC) ...: 949.03
## Effective number of parameters .................: 2.67
##
## Marginal log-Likelihood: -480.28
## Posterior marginals for the linear predictor and
## the fitted values are computed具有随机效应的泊松回归
可以通过 在线性预测变量中包括iid高斯随机效应，将潜在随机效应添加到模型中，以解决过度分散问题。
现在，该模式的摘要包括有关随机效果的信息：
summary(m2)
##
## Call:
## Time used:
## Pre = 0.236, Running = 0.315, Post = 0.0744, Total = 0.625
## Fixed effects:
## mean sd 0.025quant 0.5quant 0.975quant mode kld
## (Intercept) -0.126 0.064 -0.256 -0.125 -0.006 -0.122 0
## AVGIDIST 0.347 0.105 0.139 0.346 0.558 0.344 0
##
## Random effects:
## Name Model
## ID IID model
##
## Model hyperparameters:
## mean sd 0.025quant 0.5quant 0.975quant mode
## Precision for ID 3712.34 11263.70 3.52 6.94 39903.61 5.18
##
## Expected number of effective parameters(stdev): 54.95(30.20)
## Number of equivalent replicates : 5.11
##
## Deviance Information Criterion (DIC) ...............: 926.93
## Deviance Information Criterion (DIC, saturated) ....: 397.56
## Effective number of parameters .....................: 61.52
##
## Watanabe-Akaike information criterion (WAIC) ...: 932.63
## Effective number of parameters .................: 57.92
##
## Marginal log-Likelihood: -478.93
## Posterior marginals for the linear predictor and
## the fitted values are computed添加点估计以进行映射
这两个模型估计 可以被添加到 SpatialPolygonsDataFrame NY8
NY8$FIXED.EFF <- m1$summary.fitted[, "mean"]
NY8$IID.EFF <- m2$summary.fitted[, "mean"]
spplot(NY8[syracuse, ], c("SMR", "FIXED.EFF", "IID.EFF"),
col.regions = rev(magma(16)))
晶格数据的空间模型
格子数据涉及在不同区域（例如，邻里，城市，省，州等）测量的数据。出现空间依赖性是因为相邻区域将显示相似的目标变量值。
邻接矩阵
可以使用poly2nbpackage中的函数来计算邻接矩阵 spdep。如果其边界 至少在某一点上接触 ，则此功能会将两个区域视为邻居：
这将返回一个nb具有邻域结构定义的对象：
NY8.nb
## Neighbour list object:
## Number of regions: 281
## Number of nonzero links: 1624
## Percentage nonzero weights: 2.056712
## Average number of links: 5.779359另外， 当多边形的重心 已知时，可以绘制对象：
plot(NY8)
plot(NY8.nb, coordinates(NY8), add = TRUE, pch = ".", col = "gray")
回归模型
通常情况是，除了y_i 之外，我们还有许多协变量 X_i 。因此，我们可能想对X_i 回归 y_i。除了 协变量，我们可能还需要考虑数据的空间结构。
可以使用不同类型的回归模型来建模晶格数据：
- 广义线性模型（具有空间随机效应）。
- 空间计量经济学模型。
线性混合模型
一种常见的方法（对于高斯数据）是使用
具有随机效应的线性回归：
Y = X \ beta + Zu + \ varepsilon
随机效应的向量\（u \）被建模为多元正态分布：
u \ sim N（0，\ sigma ^ 2_u \ Sigma）
Sigma的定义是，它会引起与相邻区域的更高相关性，Z 是随机效果的设计矩阵，而
（varepsilon_i sim N（0， sigma ^ 2），i = 1，ldots，n ）是一个误差项。
空间随机效应的结构
在Sigma中包括空间依赖的方法有很多：
- 同步自回归（SAR）：
Sigma ^ {-1} = （I- \ rho W）’（I- \ rho W）
- 条件自回归（CAR）：
Sigma ^ {-1} =（I- \ rho W）
- （ICAR）：
Sigma ^ {-1} = diag（n_i）– W
（n_i \）是区域i 的邻居数。 - Sigma_ {i，j}取决于d（i，j）的函数。例如：
Sigma_ {i，j} = \ exp \ {-d（i，j）/ \ phi \}
- 矩阵的“混合”（Leroux等人的模型）： Sigma = 1 –lambda）I_n + lambda M^ {-1};lambda in（0,1）
ICAR模型
第一个示例将基于ICAR规范。请注意， 使用f-函数定义空间潜在效果。这将需要 一个索引来识别每个区域中的随机效应，模型的类型 和邻接矩阵。为此，将使用稀疏矩阵。
##
## Call:
## Time used:
## Pre = 0.298, Running = 0.305, Post = 0.0406, Total = 0.644
## Fixed effects:
## mean sd 0.025quant 0.5quant 0.975quant mode kld
## (Intercept) -0.122 0.052 -0.226 -0.122 -0.022 -0.120 0
## AVGIDIST 0.318 0.121 0.075 0.320 0.551 0.324 0
##
## Random effects:
## Name Model
## ID Besags ICAR model
##
## Model hyperparameters:
## mean sd 0.025quant 0.5quant 0.975quant mode
## Precision for ID 3.20 1.67 1.41 2.79 7.56 2.27
##
## Expected number of effective parameters(stdev): 46.68(12.67)
## Number of equivalent replicates : 6.02
##
## Deviance Information Criterion (DIC) ...............: 904.12
## Deviance Information Criterion (DIC, saturated) ....: 374.75
## Effective number of parameters .....................: 48.31
##
## Watanabe-Akaike information criterion (WAIC) ...: 906.77
## Effective number of parameters .................: 44.27
##
## Marginal log-Likelihood: -685.70
## Posterior marginals for the linear predictor and
## the fitted values are computedBYM模型
Besag，York和Mollié模型包括两个潜在的随机效应：ICAR 潜在效应和高斯iid潜在效应。线性预测变量eta_i
为：
eta_i = \ alpha + \ beta AVGIDIST_i + u_i + v_i
- u_i 是iid高斯随机效应
- v_i 是内在的CAR随机效应
##
## Call:
## Time used:
## Pre = 0.294, Running = 1, Post = 0.0652, Total = 1.36
## Fixed effects:
## mean sd 0.025quant 0.5quant 0.975quant mode kld
## (Intercept) -0.123 0.052 -0.227 -0.122 -0.023 -0.121 0
## AVGIDIST 0.318 0.121 0.075 0.320 0.551 0.324 0
##
## Random effects:
## Name Model
## ID BYM model
##
## Model hyperparameters:
## mean sd 0.025quant 0.5quant
## Precision for ID (iid component) 1790.06 1769.02 115.76 1265.24
## Precision for ID (spatial component) 3.12 1.36 1.37 2.82
## 0.975quant mode
## Precision for ID (iid component) 6522.28 310.73
## Precision for ID (spatial component) 6.58 2.33
##
## Expected number of effective parameters(stdev): 47.66(12.79)
## Number of equivalent replicates : 5.90
##
## Deviance Information Criterion (DIC) ...............: 903.41
## Deviance Information Criterion (DIC, saturated) ....: 374.04
## Effective number of parameters .....................: 48.75
##
## Watanabe-Akaike information criterion (WAIC) ...: 906.61
## Effective number of parameters .................: 45.04
##
## Marginal log-Likelihood: -425.65
## Posterior marginals for the linear predictor and
## the fitted values are computedLeroux 模型
该模型是使用矩阵的“混合”（Leroux等人的模型）
定义的，以定义潜在效应的精度矩阵：
Sigma ^ {-1} = （1-lambda）I_n + lambda M; lambda in（0,1）
为了定义正确的模型，我们应采用矩阵\（C \）如下：
C = I_n – M; M = diag（n_i）– W
然后，lambda_ {max} = 1和
Sigma ^ {-1} =
frac {1} {\ tau}（I_n- \ frac {\ rho} {\ lambda_ {max}} C）=
frac {1} {\ tau}（I_n- \ rho（I_n – M））= \ frac {1} {\ tau}（（1- \ rho）I_n + \ rho M）
为了拟合模型，第一步是创建矩阵M ：
我们可以检查最大特征值（lambda_ {max} ）是一个：
max(eigen(Cmatrix)$values)
## [1] 1## [1] 1该模型与往常一样具有功能inla。注意，C 矩阵使用参数
传递给f函数Cmatrix：
##
## Call:
## Time used:
## Pre = 0.236, Running = 0.695, Post = 0.0493, Total = 0.98
## Fixed effects:
## mean sd 0.025quant 0.5quant 0.975quant mode kld
## (Intercept) -0.128 0.448 -0.91 -0.128 0.656 -0.126 0.075
## AVGIDIST 0.325 0.122 0.08 0.327 0.561 0.330 0.000
##
## Random effects:
## Name Model
## ID Generic1 model
##
## Model hyperparameters:
## mean sd 0.025quant 0.5quant 0.975quant mode
## Precision for ID 2.720 1.098 1.27 2.489 5.480 2.106
## Beta for ID 0.865 0.142 0.47 0.915 0.997 0.996
##
## Expected number of effective parameters(stdev): 52.25(13.87)
## Number of equivalent replicates : 5.38
##
## Deviance Information Criterion (DIC) ...............: 903.14
## Deviance Information Criterion (DIC, saturated) ....: 373.77
## Effective number of parameters .....................: 53.12
##
## Watanabe-Akaike information criterion (WAIC) ...: 906.20
## Effective number of parameters .................: 48.19
##
## Marginal log-Likelihood: -474.94
## Posterior marginals for the linear predictor and
## the fitted values are computed空间计量经济学模型
空间计量经济学是通过 对空间建模略有不同的方法开发的。除了使用潜在效应，还可以对空间 依赖性进行显式建模。
同步自回归模型（SEM）
该模型包括协变量和误差项的自回归：
y = X \ beta + u; u = \ rho Wu + e; e \ sim N（0，\ sigma ^ 2）
y = X \ beta + \ varepsilon; \ varepsilon \ sim N（0，\ sigma ^ 2（I- \ rho W）^ {-1}（I- \ rho W’）^ {-1}）
空间滞后模型（SLM）
该模型包括协变量和响应的自回归：
y = \ rho W y + X \ beta + e; e \ sim N（0，\ sigma ^ 2）
y =（I- \ rho W）^ {-1} X \ beta + \ varepsilon; \ \ varepsilon \ sim N（0，\ sigma ^ 2（I- \ rho W）^ {-1}（I- \ rho W’）^ {-1}）
潜在影响slm
现在包括一个实验所谓的新的潜在影响slm，以 符合以下模型：
mathbf {x} =（I_n- \ rho W）^ {-1}（X \ beta + e）
该模型的元素是：
- W是行标准化的邻接矩阵。
- rho是空间自相关参数。
- X是协变量的矩阵，系数为 beta。
- e是具有方差sigma ^ 2的高斯iid误差。
该slm潜效果的实验，它可以 与所述线性预测其他效果组合。
模型定义
为了定义模型，我们需要：
X：协变量矩阵W：行标准化的邻接矩阵Q：系数beta的精确矩阵- 范围RHO ，通常由本征值定义
slm潜在作用是通过参数传递 args.sm。在这里，我们创建了一个具有相同名称的列表，以将 所有必需的值保存在一起：
# 'slm'的参数
args.slm = list(
rho.min = rho.min ,
rho.max = rho.max,
W = W,
X = mmatrix,
Q.beta = Q.beta
)此外，还设置了精度参数tau 和空间 自相关参数rho 的先验：
# rho先验参数
hyper.slm = list(
prec = list(
prior = "loggamma", param = c(0.01, 0.01)),
rho = list(initial=0, prior = "logitbeta", param = c(1,1))
)先前的定义使用具有不同参数的命名列表。参数 prior定义了使用之前param及其参数。在此，为 精度分配了带有参数0.01和0.01的伽玛先验值，而 为空间自相关参数指定了带有参数1 和1 的beta先验值即均匀先验。
模型拟合
##
## Call:
## Time used:
## Pre = 0.265, Running = 1.2, Post = 0.058, Total = 1.52
## Random effects:
## Name Model
## ID SLM model
##
## Model hyperparameters:
## mean sd 0.025quant 0.5quant 0.975quant mode
## Precision for ID 8.989 4.115 3.709 8.085 19.449 6.641
## Rho for ID 0.822 0.073 0.653 0.832 0.936 0.854
##
## Expected number of effective parameters(stdev): 62.82(15.46)
## Number of equivalent replicates : 4.47
##
## Deviance Information Criterion (DIC) ...............: 902.32
## Deviance Information Criterion (DIC, saturated) ....: 372.95
## Effective number of parameters .....................: 64.13
##
## Watanabe-Akaike information criterion (WAIC) ...: 905.19
## Effective number of parameters .................: 56.12
##
## Marginal log-Likelihood: -477.30
## Posterior marginals for the linear predictor and
## the fitted values are computed系数的估计显示为随机效应的一部分：
round(m.slm$summary.random$ID[47:48,], 4)
## ID mean sd 0.025quant 0.5quant 0.975quant mode kld
## 47 47 0.4634 0.3107 -0.1618 0.4671 1.0648 0.4726 0
## 48 48 0.2606 0.3410 -0.4583 0.2764 0.8894 0.3063 0空间自相关以内部比例报告（即 0到1 之间），并且需要重新缩放：
## Mean 0.644436
## Stdev 0.145461
## Quantile 0.025 0.309507
## Quantile 0.25 0.556851
## Quantile 0.5 0.663068
## Quantile 0.75 0.752368
## Quantile 0.975 0.869702plot(marg.rho, type = "l", main = "Spatial autocorrelation")
结果汇总
NY8$ICAR <- m.icar$summary.fitted.values[, "mean"]
NY8$BYM <- m.bym$summary.fitted.values[, "mean"]
NY8$LEROUX <- m.ler$summary.fitted.values[, "mean"]
NY8$SLM <- m.slm$summary.fitted.values[, "mean"]
spplot(NY8[syracuse, ],
c("FIXED.EFF", "IID.EFF", "ICAR", "BYM", "LEROUX", "SLM"),
col.regions = rev(magma(16))
)
注意空间模型如何产生相对风险的更平滑的估计。
为了选择最佳模型， 可以使用上面计算的模型选择标准：
参考文献
Bivand, R., E. Pebesma and V. Gómez-Rubio (2013). Applied spatial data
analysis with R. Springer-Verlag. New York.
R语言基于贝叶斯分层、层次Hierarchical Bayesian模型的房价数据空间分析
【视频讲解】Python贝叶斯卷积神经网络BCNN分类胸部X光图像数据集实例
R语言Stan贝叶斯回归置信区间后验分布可视化模型检验
