【视频讲解】R语言极值理论EVT:基于GPD模型的火灾损失分布分析

极值理论关注风险损失分布的尾部特征,通常用来分析概率罕见的事件,它可以依靠少量样本数据,在总体分布未知的情况下,得到总体分布中极值的变化情况,具有超越样本数据的估计能力。

因此,基于GPD(generalized pareto distribution)分布的模型可更有效地利用有限的巨灾损失数据信息,从而成为极值理论当前的主流技术。

由Kaizong Ye,Weilong Zhang撰写

针对巨灾发生频率低、损失高、数据不足且具有厚尾性等特点,利用GPD模型对火灾经济损失数据进行了统计建模;并对形状参数及尺度参数进行了估计。


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R语言极值理论EVT:基于GPD模型的火灾损失分布分析

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模型检验表明,GPD模型对巨灾风险厚尾特点具有较好的拟合效果和拟合精度,为巨灾风险估计的建模及巨灾债券的定价提供了理论依据。

火灾损失数据

本文使用的数据是在再保险公司收集的,包括1980年至1990年期间的2167起火灾损失。已对通货膨胀进行了调整。总索赔额已分为建筑物损失、利润损失。

base1=read.table( "dataunivar.txt",
 header=TRUE)
base2=read.table( "datamultiva.txt",
 header=TRUE)

考虑第一个数据集(到目前为止,我们处理的是单变量极值),

 > D=as.Date(as.character(base1$Date),"%m/%d/%Y")
> plot(D,X,type="h")

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检测异常值的4种方法和R语言时间序列分解异常检测

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图表如下:

然后一个自然的想法是可视化

http://freakonometrics.hypotheses.org/files/2015/12/hill01.gif

例如

 > plot(log(Xs),log((n:1)/(n+1)))

重尾分布

这里的斜率与分布的尾部指数有关。考虑一些重尾分布


R语言风险价值VaR(Value at Risk)和损失期望值ES(Expected shortfall)的估计

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由于自然估计量是阶次统计量,因此直线的斜率与尾部指数相反 http://freakonometrics.hypotheses.org/files/2015/12/hill98.gif​. 斜率的估计值为(仅考虑最大的观测值)

希尔估算量

希尔估算量基于以下假设:上面的分母几乎为1(即等于)。

http://freakonometrics.hypotheses.org/files/2015/12/hill02.gif


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那么可以得到收敛性假设。进一步

基于这个(渐近)分布,可以得到一个(渐近)置信区间 http://freakonometrics.hypotheses.org/files/2015/12/hill98.gif

> xi=1/(1:n)*cumsum(logXs)-logXs
> xise=1.96/sqrt(1:n)*xi

> polygon(c(1:n,n:1),c(xi+xise,rev(xi-xise)), 

增量方法

与之类似(同样还有关于收敛速度的附加假设) 

(使用增量方法获得)。同样,我们可以使用该结果得出(渐近)置信区间

 > alphase=1.96/sqrt(1:n)/xi
> polygon(c(1:n,n:1),c(alpha+alphase,rev(alpha-alphase)), 

Deckers-einmal-de-Haan估计量

然后(再次考虑收敛速度的条件,即),

Pickands估计

由于 ​,

代码

> xi=1/log(2)*log( (Xs[seq(1,length=trunc(n/4),by=1)]-
+ Xs[seq(2,length=trunc(n/4),by=2)])/

> xise=1.96/sqrt(seq(1,length=trunc(n/4),by=1))*
+sqrt( xi^2*(2^(xi+1)+1)/((2*(2^xi-1)*log(2))^2))

> polygon(c(seq(1,length=trunc(n/4),by=1),rev(seq(1, 

拟合GPD分布

也可以使用最大似然方法来拟合高阈值上的GPD分布。

 > gpd
$n
[1] 2167

$threshold
[1] 5

$p.less.thresh
[1] 0.8827873

$n.exceed
[1] 254

$method
[1] "ml"

$par.ests
xi      beta
0.6320499 3.8074817

$par.ses
xi      beta
0.1117143 0.4637270

$varcov
[,1]        [,2]
[1,]  0.01248007 -0.03203283
[2,] -0.03203283  0.21504269

$information
[1] "observed"

$converged
[1] 0

$nllh.final
[1] 754.1115

attr(,"class")
[1] "gpd"

或等效地

> gpd.fit
$threshold
[1] 5

$nexc
[1] 254

$conv
[1] 0

$nllh
[1] 754.1115

$mle
[1] 3.8078632 0.6315749

$rate
[1] 0.1172127

$se
[1] 0.4636270 0.1116136

它可以可视化尾部指数的轮廓似然性,

> gpd.prof

或者

> gpd.prof

因此,可以绘制尾指数的最大似然估计量,作为阈值的函数(包括置信区间),

Vectorize(function(u){gpd(X,u)$par.ests[1]})

plot(u,XI,ylim=c(0,2))
segments(u,XI-1.96*XIS,u,XI+ 

最后,可以使用块极大值技术。

gev.fit
$conv
[1] 0

$nllh
[1] 3392.418

$mle
[1] 1.4833484 0.5930190 0.9168128

$se
[1] 0.01507776 0.01866719 0.03035380

尾部指数的估计值是在这里最后一个系数。


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关于作者

Kaizong Ye拓端研究室(TRL)的研究员。在此对他对本文所作的贡献表示诚挚感谢,他在上海财经大学完成了统计学专业的硕士学位,专注人工智能领域。擅长Python.Matlab仿真、视觉处理、神经网络、数据分析。

本文借鉴了作者最近为《R语言数据分析挖掘必知必会 》课堂做的准备。

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