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植物动力学

考虑一个在输入u[n]上有加性高斯噪声w[n]。

离散卡尔曼滤波器

该问题的稳态卡尔曼滤波器方程如下。

您可以将时间和测量更新方程组合到一个状态空间模型中，即卡尔曼滤波器：

该滤波器生成 yn 的最佳估计 ˆy[nn]。请注意，过滤器状态是 ˆx[nn−1]。

M

kalmf 的输入 是 u 和 yv，以及。输出是工厂输出和状态估计，ye=ˆy[nn] 和 ˆx[nn]。

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因为您对输出估计 ye 感兴趣，所以选择第一个输出 kalmf 并丢弃其余的。

kalmf

要查看滤波器的工作原理，请生成一些输入数据和随机噪声，并将滤波后的因变量 ye 与真实因变量 _y 进行比较_。您可以单独生成每个因变量，也可以同时生成两者。要分别模拟每个因变量，先单独使用 植物，然后将植物和过滤器连接在一起。接下来详细介绍联合仿真替代方案。

s(a,b,c,d,-1,'iptnme',{'u' 'w' 'v'},'ouutnae',{'y' 'yv'});

然后形成下图的并联。

pal(P,kf,1,1,\[\],\[\]);

Smoe = feedback; % 围绕输入#4和输出#2关闭循环
SiMe = SMdl % 从I/O列表中删除yv

生成的仿真模型将 w_、  _v_、  _u 作为输入，  y 和 ye 作为输出。查看属性进行验证。

InuNe


OupNme

您现在已准备好模拟过滤器。生成正弦输入 u 并处理和测量噪声向量 w 和 _v_。

以图形方式比较真实和过滤后的因变量。

plot
xlabel
title
subplot
xlabel

第一个图显示了真实因变量 y  （虚线）和过滤后的输出 ye（实线）。第二个图将测量误差（点划线）与估计误差（实线）进行比较。该图显示噪音水平已显着降低。这是通过计算协方差误差来确认的。滤波前的误差协方差（测量误差）为：

MEro = sum/length

滤波后的误差协方差（估计误差）降低：

EsrCv = sum/length

时变卡尔曼滤波器

时变卡尔曼滤波器是对时变系统或具有非平稳噪声协方差的 LTI 系统的稳态滤波器的推广。

考虑以下工厂状态和测量方程。

时变卡尔曼滤波器由以下递归给出：

• 测量更新：

• 时间更新：

这里，ˆx[nn−1] 和 ˆx[nn] 如前所述。此外：

为简单起见，表示状态空间矩阵的时间依赖性的下标已被删除。

给定初始条件 x[10] 和 P[10]，您可以迭代这些方程来执行过滤。您必须在每个时间样本更新状态估计 x[n.] 和误差协方差矩阵 P[n.]。

时变设计

要实现这些滤波器递归，首先要生成噪声输出测量值。使用 之前产生的过程噪声 w 和测量噪声 v。

y = lsim

假设以下初始条件：

用for 循环实现时变滤波器 。

P = B\*Q\*B'; %初始误差协方差
x = zeros; % 状态的初始条件

for i = 1:length
  % 测量更新
  erv(i) = C\*P\*C';

  % 时间更新
  x = A\*x + B\*u;

以图形方式比较真实输出和估计输出。

subplot(211)

subplot
xlabel

第一个图显示了真实因变量 y  （虚线）和过滤后的因变量 ye（实线）。第二个图将测量误差（点划线）与估计误差（实线）进行比较。

时变滤波器还估计errcov 每个样本的估计误差 y-ye的协方差 。绘制它以查看您的滤波器是否达到稳定状态（正如您对固定输入噪声所期望的那样）。

subplot(211)
plot

从这个协方差图中，您可以看到输出协方差确实在大约五个样本中达到了稳定状态。从那时起，您的时变滤波器具有与稳态版本相同的性能。

与由实验数据导出的估计误差协方差比较：

Esro = sum/length

该值小于理论值 errcov ，接近稳态设计获得的值。

最后，注意最终值 M[n] 和 创新增益矩阵的稳态值 _M_重合。

Mn

M