VARs的结构也允许联合检验多个方程的限制。

由Kaizong Ye，Liao Bao撰写

例如，检验滞后p的所有回归变量的系数是否为零，可能是有意义的。

这相当于检验滞后阶数p-1是正确的原假设。系数估计值的大样本联合正态性很方便，因为它意味着我们可以简单地使用F检验来解决这个检验问题。

考虑以下简单的双变量系统（序列 $\{y_t\}$ 的时间路径受到序列 $\{z_t\}$ 的当期或过去的实际值的影响；序列 $\{z_t\}$ 的时间路径受到序列 $\{y_t\}$ 的当期或过去的实际值的影响）

$\begin{aligned} y_t&=b_{10}-b_{12}z_t+\gamma_{11}y_{t-1}+\gamma_{12}z_{t-1}+\varepsilon_{yt}\qquad(1)\\ z_t&=b_{20}-b_{21}y_t+\gamma_{21}y_{t-1}+\gamma_{22}z_{t-1}+\varepsilon_{zt}\qquad(2) \end{aligned} \\$ 其中，假设① $y_t$ 和 $z_t$ 都是平稳的；② $\varepsilon_{yt}$ 和 $\varepsilon_{zt}$ 是白噪声干扰项，标准差分别为 $\sigma_y,\sigma_z$ ；③ $\{\varepsilon_{yt}\}$ 和 $\{\varepsilon_{zt}\}$ 是独立不相关的白噪声干扰项。

因为最长的滞后长度为1，因此，式(1)和式(2)构成了一个1阶向量自回归(vector autoregression，VAR)。

因为允许 $y_t$ 和 $z_t$ 相互影响，所以，系统结构中结合了反馈因素。例如， $-b_{12}$ 是1单位 $z_t$ 的变化对 $y_t$ 的影响， $\gamma_{12}$ 表示1单位 $z_{t-1}$ 对 $y_t$ 的影响。注意， $\varepsilon_{yt}$ 和 $\varepsilon_{zt}$ 分别是 $y_t$ 和 $z_t$ 中的新息（或冲击）。当然，如果 $b_{21}$ 不为0，则 $\varepsilon_{yt}$ 同时对 $z_t$ 有一个间接地影响。如果 $b_{12}$ 不为0，则 $\varepsilon_{zt}$ 同时对 $y_t$ 有一个间接地影响。

我们可以进一步地将方程写成如下形式：

$\begin{bmatrix} 1&b_{12}\\ b_{21}&1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} y_t\\ z_t \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} b_{10}\\ b_{20} \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} \gamma_{11}&\gamma_{12}\\ \gamma_{21}&\gamma_{22} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} y_{t-1}\\ z_{t-1} \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} \varepsilon_{yt}\\ \varepsilon_{zt} \end{bmatrix} \\$

或

$Bx_t=\Gamma_0+\Gamma_1x_{t-1}+\varepsilon_t \\$

其中，

$\begin{aligned} &B=\begin{bmatrix} 1&b_{12}\\ b_{21}&1 \end{bmatrix}, x_t= \begin{bmatrix} y_t\\ z_t \end{bmatrix}, \Gamma_0= \begin{bmatrix} b_{10}\\ b_{20} \end{bmatrix}, \\ &\Gamma_1= \begin{bmatrix} \gamma_{11}&\gamma_{12}\\ \gamma_{21}&\gamma_{22} \end{bmatrix}, \varepsilon_t= \begin{bmatrix} \varepsilon_{yt}\\ \varepsilon_{zt} \end{bmatrix} \end{aligned} \\$

用 $B^{-1}$ 左乘以方程，得到向量自回归（VAR）模型的标准形式

$x_t=A_0+A_1x_{t-1}+e_t\qquad(3) \\$

式中， $A_0=B^{-1}\Gamma_0,A_1=B^{-1}\Gamma_1,e_t=B^{-1}\varepsilon_t$ 。

为了便于标记，我们定义

$A_0= \begin{bmatrix} a_{10}\\ a_{20} \end{bmatrix}, A_1= \begin{bmatrix} a_{11}&a_{12}\\ a_{21}&a_{22} \end{bmatrix}, e_t= \begin{bmatrix} e_{1t}\\ e_{2t} \end{bmatrix} \\$

那么，我们可以将式(3)表示为

$\begin{aligned} y_t&=a_{10}+a_{11}y_{t-1}+a_{12}z_{t-1}+e_{1t}\qquad(4)\\ z_t&=a_{20}+a_{21}y_{t-1}+a_{22}z_{t-1}+e_{2t}\qquad(5) \end{aligned} \\$

式(1)、(2)所代表的系统和式(4)、(5)所代表的的系统的差异在于，第一组被称为结构性VAR或原始系统，第二组被称为标准型VAR。

值得注意的是，误差项（即 $e_{1t},e_{2t}$ ）是由两个冲击 $\{\varepsilon_{yt}\},\{\varepsilon_{zt}\}$ 的组合。因为

$e_t=B^{-1}\varepsilon_t= \begin{bmatrix} 1&b_{12}\\ b_{21}&1 \end{bmatrix}^{-1} \begin{bmatrix} \varepsilon_{yt}\\ \varepsilon_{zt} \end{bmatrix} =\frac{1}{1-b_{12}{b_{21}}}\begin{bmatrix} 1&-b_{12}\\ -b_{21}&1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \varepsilon_{yt}\\ \varepsilon_{zt} \end{bmatrix} \\$

因此，我们很容易得到

$\begin{aligned} e_{1t}&=(\varepsilon_{yt}-b_{12}\varepsilon_{zt})/(1-b_{12}b_{21})\\ e_{2t}&=(\varepsilon_{zt}-b_{21}\varepsilon_{yt})/(1-b_{12}b_{21}) \end{aligned} \\$

接着，我们有

$\begin{aligned} E(e_{1t})&=E[(\varepsilon_{yt}-b_{12}\varepsilon_{zt})/(1-b_{12}b_{21})]=0\\ var(e_{1t})&=E(e_{1t}^2)=E[((\varepsilon_{yt}-b_{12}\varepsilon_{zt})/(1-b_{12}b_{21}))^2]\\ &=(\sigma^2_y+b_{12}\sigma^2_z)/(1-b_{12}b_{21})^2 \end{aligned} \\$

并且， $e_{1t}$ 的自协方差为

$E(e_{1,t}e_{1,t-i})=E[(\varepsilon_{y,t}-b_{12}\varepsilon_{z,t})(\varepsilon_{y,t-i}-b_{12}\varepsilon_{z,t-i})]/(1-b_{12}b_{21})^2=0$

因此， $\{e_{1t}\}$ 是一个平稳的过程，均值为0，方差恒定，并且所有的自协方差为0。同理 $\{e_{2t}\}$ 。

所要注意的是 $e_{1t}$ 和 $e_{2t}$ 是相关的，它们的互协方差为

$\begin{aligned} cov(e_{1t},e_{2t})&=E(e_{1t}e_{2t})=E[(\varepsilon_{yt}-b_{12}\varepsilon_{zt})(\varepsilon_{zt}-b_{21}\varepsilon_{yt})]/(1-b_{12}b_{21})^2\\ &=-(b_{21}\sigma_y^2+b_{12}\sigma_z^2)/(1-b_{12}b_{21})^2\\ &\neq 0\,\,\text{(一般情况下)} \end{aligned} \\$

所以，两个冲击 $e_{1t}$ 和 $e_{2t}$ 是相关的。在特殊情况下，令 $b_{12}=b_{21}=0$ （无同期影响），则冲击不相关。

把 $e_{1t}$ 和 $e_{2t}$ 冲击的方差-协方差矩阵写为

$\Sigma= \begin{bmatrix} var(e_{1t})&cov(e_{1t},e_{2t}) \\ cov(e_{1t},e_{2t})&var(e_{2t}) \end{bmatrix} \\$

因为 $\Sigma$ 的所有元素在时间上都是独立的，所以可使用更紧凑的形式

$\Sigma= \begin{bmatrix} \sigma_1^2&\sigma_{12}\\ \sigma_{21}&\sigma_2^2 \end{bmatrix} \\$

其中， $var(e_{it})=\sigma^2_i,cov(e_{1t},e_{2t})=\sigma_{12}=\sigma_{21}$ 。

参考文献：

沃尔特·恩格斯.《应用计量经济学：时间序列分析》.机械工业出版社.2012

这种检验统计量的明确公式相当复杂，但我们使用R函数可以轻松完成这种计算。

另一种确定最佳滞后长度的方法是像BIC这样的信息标准，我们对单变量时间序列回归进行了介绍。就像单方程的情况一样，对于多方程模型，我们选择具有最小的BIC(p)的模型，其中

其中 ^Σu表示对 VAR 误差的 k×k协方差矩阵的估计，det(·)表示行列式。

对于单变量分布式滞后模型，应该仔细考虑要包含在 VAR 中的变量，因为添加不相关的变量会通过增加估计误差来降低预测准确性。这一点特别重要，因为要估计的参数数量与 VAR 建模的变量数量成二次增长。

GDP增长率和期限利差的VAR模型

我们现在展示如何估计 GDP 增长率 GDPGR 和期限价差 TSpread 的 VAR 模型。关于 GDP 增长非平稳性的讨论，我们使用 1981:Q1 到 2012:Q4 的数据。两个模型方程是

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数据集包含从 1947 年到 2004 年实际（即通胀调整后）GDP 的季度数据。我们首先导入数据集并进行一些格式化。

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#加载宏观经济数据集
UWQ <- read_xlsx

#格式化日期列
UWQ$Date <- as.yearqtr(USMte, format = "%Y:0%q")

# 将GDP定义为ts对象
GDP <- ts
# 将GDP增长定义为一个ts对象
GDPoth <- ts

# 3个月的国库券利率是一个'ts'对象
MS <- ts

# 10年期国债的利率是一个'ts'对象
TS <- ts

我们通过 OLS 分别估计这两个方程，并使用test 来获得稳健的标准误差。

# 估计两个方程

# 稳健的系数总结
coeftest(VAR1, vcov.)

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我们最终得到以下结果：

VAR可用于获得与上述相同的系数估计，因为它也适用于每个方程的 OLS。

#使用\`VAR()\`设置数据进行估计
VARta <- window 
# 使用\`VAR()\`估计模型系数
VARest <- VAR

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VAR返回可以传递给常用函数的 lm 对象列表，例如 summary() ，因此可以直接获取各个方程的模型统计信息。

#从'VAR()'的输出中获得 adj.R^2
summaryadj.r.squared

我们可以使用单个模型对象来进行格兰杰因果检验。

# 格兰杰因果关系测试。

# 检验期限差在解释GDP增长方面是否无用
linearHypothesis

# 检验GDP增长是否没有解释期差的能力
linearHypothesis

两个格兰杰因果关系检验都拒绝了 5%的水平。

使用迭代 VAR 的迭代多元预测

迭代预测的理念，在一个时期内 T + 2 迭代预测的想法，是基于：到目前为止T时期的观察结果是使用提前一个时期的预测作为中间步骤。即，在预测 T+2 期间的水平序列时，将 T+1 期间的预测用作观察值。这可以推广到提前 h 期预测，其中 T 和 T+h之间的所有中间期都必须被预测，因为它们被用作过程中的观察。

关键概念

迭代多期预测

_迭代多期 AR 预测_的步骤是：

使用 OLS 估计 AR(p) 模型并计算提前一期的预测。
使用提前一期预测获得提前两期预测。
继续迭代以获得更远的未来的预测。

**迭代的多期 VAR 预测按如下方式进行：**

使用每个方程的 OLS 估计 VAR(p) 模型，并计算 VAR 中所有 变量的提前一期预测。
使用提前一期的预测来获得提前两期的预测。
继续迭代以获得对未来 VAR 中所有变量的预测。

由于 VAR 使用各个其他变量的滞后对所有变量进行建模，因此我们需要计算所有变量的预测。当 VAR 很大时，这样做可能很麻烦，但幸运的是，有 R 函数可以促进这一点。例如，函数 predict() 可用于获得由函数 VAR() 估计的 VAR 模型的迭代多元预测。

下面的代码块显示了如何使用模型对象VAR_est计算到2015:Q1期间的GDP增长和期限利差的迭代预测，也就是h=10。

# 计算未来10个季度的GDP增长和期限差的迭代预测。
forecasts <- predict

这表明使用截至 2012:Q4 的数据对 2013:Q2 的 GDP 增长的前两个季度预测为 1.69。同期，期限利差的迭代 VAR 预测为 1.88。

返回的矩阵 predict(VAR_est) 还包括 95% 的预测区间。

我们还可以在的输出上调用 plot() 来绘制两个变量的迭代预测。

# 将迭代后的预测结果可视化
plot

直接多期预测

直接多期预测使用一个模型，其中预测因子被适当地滞后，这样就可以直接使用现有的观测值来进行预测。

例如，为了获得对 GDP 增长和期限利差的提前两个季度的预测，我们首先估计方程

然后将 GDPGR2012:Q4、GDPGR2012:Q3、TSpread2012:Q4 和 TSpread2012:Q3 的值代入两个方程。

# 直接计算两个季度前的预测结果
coef(VARQ1) %*%


coef(VARQ2) %*%

应用经济学家经常使用迭代法，因为就MSFE而言，这种预测更可靠，前提是一周期前模型是正确指定的。如果情况不是这样，例如因为VAR中的一个方程被认为是错误的，那么使用直接预测可能是有益的，因为这时迭代法会有偏差，因此MSFE比直接法高。

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关于作者

Kaizong Ye是拓端研究室（TRL）的研究员。在此对他对本文所作的贡献表示诚挚感谢，他在上海财经大学完成了统计学专业的硕士学位，专注人工智能领域。擅长Python.Matlab仿真、视觉处理、神经网络、数据分析。

本文借鉴了作者最近为《R语言数据分析挖掘必知必会 》课堂做的准备。

非常感谢您阅读本文，如需帮助请联系我们！

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