优化是一种为所有可能的解决方案找到给定问题的最佳解决方案的技术。
优化使用严格的数学模型来找出给定问题的最有效解决方案。
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线性优化简介
最优化问题最抽象的说就是
在一定的约束条件下，求一个函数的最大（小）值。
要理解的其实只有两个概念，函数和约束条件。甚至函数这个概念已经包含了对约束条件的考虑。
所谓函数，简单理解的话，可以当做一个机器，你给它一个输入，它就给你一个输出，它是一个对应。你通过调节输入，达到最好的输出。它是现实状况的数学语言表达。例如我们要最小化总费用，我们知道单价，我们可以决定数量，于是我们得到的数学表达：总费用=单价乘以数量。我们通过调整数量来最小的总费用。
至于约束条件，它有很多种，例如等式的约束，不等式的约束，微分方程的约束，概率的约束，等等等等。他们也是对我们现实状况中的约束的数学表达。
不同的约束配上不同的目标函数就会得到一个不同的问题。例如目标函数和约束都是线性的，这个最优化问题就叫线性规划，如果约束是个常微分方程，就叫最优控制。等等等等。
这些问题有的好解，有的不好，所以其实数学建模在这里头的作用很大。对于一个现实问题，建立一个简单好解又能较好地描述现实情况的模型，是一种艺术。这是数学界甚至科学界追求的美的原则：simple and elegant.要从优化问题开始，首先确定目标非常重要。目标是绩效的量化衡量。例如：最大化利润，最小化时间，最小化成本，最大化销售。
优化问题可分为两组
- 线性规划（LP）：它也被称为线性优化，在这个问题中，目标是在数学模型中获得最佳结果，其中目标和所有约束是决策变量的线性函数。
- 二次规划（QP）：在二次规划中，目标是决策变量和约束的二次函数，它们是变量的线性函数。二次函数也是一种非线性规划。
对于这篇文章，只解释了线性规划问题。
R中的线性优化：
R中可用于优化的常用包包括：
| 问题类型 | 软件包 | 函数 |
|---|---|---|
| General (1-dimensional) | Built-in | optimize() |
| General (n-dimensional) | Built-in | optim() |
| Linear Programming (LP) | lpsolve | lp() |
| Quadratic Programming (QP) | quadprog | solve.qp() |
| General Interface | ROI | ROI_Solve() |
一般优化问题的内置函数示例：
- 这些程序的一般参数结构是：
optimizer(objective, constraints, bounds=NULL, types=NULL, maximum=FALSE)例：
- 定义目标函数
f <- function(x) 2 * (x[1]-1)^2 + 5 * (x[2]-3)^2 + 10- 优化功能
r < - optim（c（1,1），f）- 检查优化是否收敛到最小
r $ convergence == 0 ##如果收敛到最小值，则返回TRUE
## [1]是的- 最佳输入参数
R $par
## [1] 1.000168 3.000232- 目标函数的价值至少
R $value
## [1] 10线性规划（LP）
线性编程表示为：
min c T x = min（c 1 x 1 + … + c n x n）
限制：
A x> = B，x > = 0
线性规划示例：
- 一家公司希望最大化两种产品A和B的利润，分别以25美元和20美元的价格出售。每天有1800个资源单位，产品A需要20个单位，而B需要12个单位。这两种产品都需要4分钟的生产时间，并且可用的总工作时间为每天8小时。每种产品的生产数量应该是什么才能使利润最大化。
上述问题的目标函数是：
max（销售额）=max（25 x 1 + 20 x 2）
其中，
x 1是产品A的单位产生的
x 2是产品B的单位产生的
x 1和x 2也称为决策变量
问题中的约束（资源和时间）：
20x 1 + 12 x 2 <= 1800（资源约束）
4x 1 + 4x 2 <= 8 * 60（时间约束）
解决R中的上述问题：
由于这是一个线性规划问题，我们将使用 lpsolve package和 lp（） 函数来找到最优解。lp（） 函数的语法 是：
lp（direction =“min”，objective.in，const.mat，const.dir，const.rhs）- 方向控制是否最小化或最大化
- 系数c被编码为矢量objective.in
- 约束A作为矩阵const.mat给出，方向为const.dir
- 约束b作为向量const.rhs插入
##设置决策变量的系数
objective.in < - c（25,20）
##创建约束martix
const.mat < - martix（c（20,12,4,4），nrow = 2，byrow = TRUE）
## define constraints
time_constraint < - （8 * 60）
resource_constraint < - 1800
## RHS用于约束
const.rhs < - c（resource_constraint，time_constraint）
##约束方向
const.dir < - c（“<=”，“<=”）
##找到最佳解决方案
最佳< - lp（direction =“max”，objective.in，const.mat，const.dir，const.rhs）##显示x1和x2的最佳值
## [1] 45 75
##在最佳点检查目标函数的值
## [1] 2625从上面的输出中，我们可以看到该公司应该生产45个产品A和75个产品B单位，以获得2625美元的销售额。
在制定目标函数和约束之后，我们可以扩展相同的方法来解决R中的其他LP问题。
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