R语言隐马尔可夫模型HMM连续序列重要性重抽样CSIR估计随机波动率模型SV分析股票收益率时间序列

在本笔记本中,我们向读者介绍了基本的随机波动率模型,并通过连续序列重要性重采样讨论了它们的估计。我们使用收益率数据集来讨论 CSIR 在随机波动率模型估计中的实现和性能。

由Kaizong Ye,Liao Bao撰写

令 yt 为时间 t 的股票收益,σt 为其标准差。

第一个随机波动率模型

考虑以下离散时间随机波动率模型:

zt∼N(0,1) 和 ηt∼N(0,τ2) ,

τ>0 和 |φ1|<1 以确保波动率遵循平稳过程。直观地说,波动过程被建模为一个潜在过程,其中 log(σ2t) 遵循 AR(1) 过程。在下一个块中,我们模拟了这个过程。在笔记本上,我们将继续处理这些模拟数据。为简洁起见,我们定义 αt=log(σ2t) 和 θ=(ϕ0,ϕ1,τ) 为参数向量。

隐马尔可夫模型:定义

上面显示的模型属于更一般的隐马尔可夫模型类。设 h(αt|αt-1;θ) 为跃迁密度,g(yt|αt;θ) 为测量密度。那么在这种情况下,跃迁密度和测量密度都是高斯的,其中  和 .


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序列蒙特卡罗

对于估计,我们使用序列蒙特卡罗,通过生成 P 随机抽取,称为“粒子”,以近似预测和过滤密度。虽然有很多变体,但我们只讨论(连续)序列重要性重采样(SIR)。


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SIR有两个步骤,预测和过滤步骤。

预测步骤 如下:

  • 输入:粒子 从 ;
  • 输出:对于每个粒子  利用跃迁密度对系统进行传播,得到一个新的预测粒子,即

具有连续序列重要性重采样的过滤步骤:算法

连续序列重要性重采样(CSIR) 是 SIR 的一种变体,它提供了过滤粒子的连续版本。

该方法的主要优点是它确保模拟似然相对于参数 θ 的向量是“平滑的”,以便能够使用基于梯度的优化方法进行优化。

使用 CSIR 的过滤步骤的算法如下:

  • 输入:
  • 具有条目 u(j) 的排序均匀随机采样向量(拒绝采样);
  • 对于定义为 W(i)t 的每个粒子 α(i)t 在 yt 处评估的正态 PDF;
  • 从预测密度 α(i)t 中排序。

代码

下面我们生成粒子集,并使用 SIR 近似过滤和预测密度。在第一个图中,我们显示了预测密度平均值及其 95 和 5 分位数。在同一个图中,我们还绘制了波动率的真实值。在第二个图中,我们绘制了过滤密度的热图。黑线是真正的波动率。

在下一部分中,我们提供了 CSIR 的 R 和 C 版本。R 版本仅出于代码可读性的目的而提供。

我们现在提供用于最大化对数似然和估计参数 θ 的代码。为了计算标准误差,我们使用在 MLE 评估的对数似然的 Hessian 矩阵的逆矩阵的对角线。

我们现在可以转到参数 θ 的估计。使用 C 中的函数进行估计。


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关于作者

Kaizong Ye拓端研究室(TRL)的研究员。

本文借鉴了作者最近为《R语言数据分析挖掘必知必会 》课堂做的准备。

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